- 二项式定理
- 共3480题
同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿1张贺年卡，记取回自己贺年卡的同学个数为ξ，则ξ的数学期望为______．
正确答案
1
解析
解：由题意可得：ξ可能取到的数值为0，1，2，4．
所以P（ξ=0）=
所有ξ的分布列为：
由分布列可得：Eξ=1×+2×+4×=1，
故答案为：1．
一名篮球运动员投篮一次得3分，1分，0分的概率分别为a，b，c（a，b，c∈（0，1）），已知他投篮一次得分的数学期望为1，则ab的最大值为______．
正确答案
解析
解：由题意，投篮一次得3分的概率为a，得1分的概率为b，不得分的概率为c（a、b、c∈（0，1）），投篮一次得分的数学期望为1，
∴3a+b=1，
∴1≥2
∴ab≤
∴ab的最大值为
故答案为：
若X是离散型随机变量，
A
B
C
D
正确答案
解析
解：由题意EX=
又∵x1＜x2，解得x1=-
∴x1+x2=
故选C．
为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚．为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，得到如表数据：
（Ⅰ）若用表中数据所得频率代替概率，则处罚10元时与处罚20元时，行人会闯红灯的概率的差是多少？
（Ⅱ）若从这5种处罚金额中随机抽取2种不同的金额进行处罚，在两个路口进行试验．
①求这两种金额之和不低于20元的概率；
②若用X表示这两种金额之和，求X的分布列和数学期望．
正确答案
（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意知，处罚10元会闯红灯的概率与罚20元会闯红灯的概率的差是：
（Ⅱ）①设“两种金额之和不低于20元”的事件为A，
从5种金额中随机抽取2种，总的选法有
故所求的概率为：
②根据条件，X的可能取值为5，10，15，20，25，30，35，
分布列为：
EX=+=20．
解析
（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意知，处罚10元会闯红灯的概率与罚20元会闯红灯的概率的差是：
（Ⅱ）①设“两种金额之和不低于20元”的事件为A，
从5种金额中随机抽取2种，总的选法有
故所求的概率为：
②根据条件，X的可能取值为5，10，15，20，25，30，35，
分布列为：
EX=+=20．
袋中装有大小相同的球共6个，其中红球3个，白球2个，黑球1个．
（ I）若每次摸出一球，记下颜色后放回，连续摸三次，设摸得红球的次数为X，写出X的概率分布列并求其数学期望；
（ II）现从袋中一次摸出3球，在摸得红球的条件下，求摸出的球中有白球的概率．
正确答案
解：（I）由题意，X的可能取值为0，1，2，3，摸到红球的概率为
P（X=0）=
∴X的概率分布列为
∴EX=0×+1×+2×+3×=；
（II）从袋中一次摸出3球，在摸得红球的条件下，摸出的球中有白球的概率为=．
解析
解：（I）由题意，X的可能取值为0，1，2，3，摸到红球的概率为
P（X=0）=
∴X的概率分布列为
∴EX=0×+1×+2×+3×=；
（II）从袋中一次摸出3球，在摸得红球的条件下，摸出的球中有白球的概率为=．
（理科）某中学有5名体育类考生要到某大学参加体育专业测试，学校指派一名教师带队，已知每位考生测试合格的概率都是
（2）若5人中恰有r人合格的概率为
（3）记测试合格的人数为ξ，求ξ的期望和方差．
正确答案
解：（1）由题意可得：老师进行选择时共有6种不同的选法，体育教师不坐后排的不同选法有C31=3种，
记“体育教师不坐后排”为事件A，则
（2）每位考生测试合格的概率
则
∴C5r2r=80，解得：r=3，4．
（3）由题意可得：ξ～
∴
解析
解：（1）由题意可得：老师进行选择时共有6种不同的选法，体育教师不坐后排的不同选法有C31=3种，
记“体育教师不坐后排”为事件A，则
（2）每位考生测试合格的概率
则
∴C5r2r=80，解得：r=3，4．
（3）由题意可得：ξ～
∴
某玩具厂生产甲、乙两种儿童玩具，其质量按测试指示划分：指示大于或等于85为合格品，小于85为次品，现随机抽取这两种玩具个100件进行检测，检测结果统计如下：
（1）试分别估计玩具甲，玩具乙为合格品的概率
（2）生产一件玩具甲，若是合格品可盈利80圆，若是次品则亏损15元，生产一件玩具乙，若是合格品可盈利50圆，若是次品则亏损10元，在（1）的前提下，①记X为生产1件玩具甲和1件玩具乙所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望．②求生产5件玩具乙所获得的利润不少于140元的概率．
正确答案
解：（1）玩具甲为合格品的概率为
玩具乙为合格品的概率为
（2）①随机变量X的所有可能取值为130，70，35，-25．
P（X=130）=
P（X=70）=
P（X=35）=
P（X=-25）=
所有随机变量X的分布列为：
随机变量X的数学期望为：E（X）=130×+70×=86.5，
②设生产5件玩具乙中合格品有n件，则次品有5-n件，依题意得50n-10（5-n）≥140，n，
所有n=4，或n=5，
设“生产5件玩具乙所获得的利润不少于140元”为事件A，
则P（A）=（）4×+（）5=．
解析
解：（1）玩具甲为合格品的概率为
玩具乙为合格品的概率为
（2）①随机变量X的所有可能取值为130，70，35，-25．
P（X=130）=
P（X=70）=
P（X=35）=
P（X=-25）=
所有随机变量X的分布列为：
随机变量X的数学期望为：E（X）=130×+70×=86.5，
②设生产5件玩具乙中合格品有n件，则次品有5-n件，依题意得50n-10（5-n）≥140，n，
所有n=4，或n=5，
设“生产5件玩具乙所获得的利润不少于140元”为事件A，
则P（A）=（）4×+（）5=．
甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为
（1）求ξ的分布列及数学期望；
（2）在概率P（ξ=i）（i=0，1，2，3）中，若P（ξ=1）的值最大，求实数a的取值范围．
正确答案
解：（1）P（ξ）是“ξ个人命中，3-ξ个人未命中”的概率．其中ξ的可能取值为0，1，2，3.
所以ξ的分布列为
ξ的数学期望为．
（2），，
．
由和0＜a＜1，得，即a的取值范围是．（10分）
解析
解：（1）P（ξ）是“ξ个人命中，3-ξ个人未命中”的概率．其中ξ的可能取值为0，1，2，3.
所以ξ的分布列为
ξ的数学期望为．
（2），，
．
由和0＜a＜1，得，即a的取值范围是．（10分）
某人参加某电视台举办的答题游戏，从8道备选题中任抽取4道作答．已知他答对题目的个数ξ的分布律如下表所示，则ξ的数学期望E（ξ）=______．
正确答案
解析
解：由题意，
故答案为
盒中装有7个零件，其中2个是使用过的，另外5个未经使用．
（Ⅰ）从盒中每次随机抽取1个零件，每次观察后都将零件放回盒中，求3次抽取中恰有1次抽到使用过的零件的概率；
（Ⅱ）（理）从盒中随机抽取2个零件，使用后放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为X，求X的分布列和数学期望．
（Ⅱ）（文）从盒中随机抽取2个零件，使用后放回盒中，求此时盒中使用过的零件个数为3或4概率．
正确答案
解：（Ⅰ）记“从盒中随机抽取1个零件，抽到的是使用过的零件”为事件A，则
所以3次抽取中恰有1次抽到使用过的零件的概率
（Ⅱ）（理）随机变量X的所有取值为2，3，4．
所以，随机变量X的分布列为：
． …（12分）
（Ⅱ）（文）∵；．
∴． …（12分）
解析
解：（Ⅰ）记“从盒中随机抽取1个零件，抽到的是使用过的零件”为事件A，则
所以3次抽取中恰有1次抽到使用过的零件的概率
（Ⅱ）（理）随机变量X的所有取值为2，3，4．
所以，随机变量X的分布列为：
． …（12分）
（Ⅱ）（文）∵；．
∴． …（12分）
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