- 二项式定理
- 共3480题
某校举行环保知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛：答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答对每个问题的概率相同，并且相互之间没有影响，答题连续两次答错的概率为
（1）求选手甲可进入决赛的概率；
（2）设选手甲在初赛中答题的个数为ξ，试求ξ的分布列，并求ξ的数学期望．
正确答案
解：（1）设选手甲任答一题，正确的概率为p，
依题意
甲选答3道题目后进入决赛的概率为
甲选答4道、5道题目后进入决赛的概率分别为
∴选手甲可进入决赛的概率
（2）由题意知ξ可取3，4，5，
依题意
∴ξ的分布列为：
∴．
解析
解：（1）设选手甲任答一题，正确的概率为p，
依题意
甲选答3道题目后进入决赛的概率为
甲选答4道、5道题目后进入决赛的概率分别为
∴选手甲可进入决赛的概率
（2）由题意知ξ可取3，4，5，
依题意
∴ξ的分布列为：
∴．
（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；
（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）
正确答案
解：（1）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10=1
解得a=0.03；
又由最高矩形中点的横坐标为20，
可估计盒子中小球重量的众数约为20，
而50个样本小球重量的平均值为：
故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．
（2）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在[5，15]内的0.2；
则X～B（3，
X=0，1，2，3；
P（X=0）=
P（X=1）=
P（X=2）=
P（X=3）=
∴X的分布列为：
即E（X）=0×=．
解析
解：（1）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10=1
解得a=0.03；
又由最高矩形中点的横坐标为20，
可估计盒子中小球重量的众数约为20，
而50个样本小球重量的平均值为：
故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．
（2）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在[5，15]内的0.2；
则X～B（3，
X=0，1，2，3；
P（X=0）=
P（X=1）=
P（X=2）=
P（X=3）=
∴X的分布列为：
即E（X）=0×=．
设随机变量X的分布列为：
则k=______．
正确答案
解析
解：∵随机变量X的概率分布列为 P（X=n）=2n-1•k，n=1，2，3，…，
∴k+2k+3k+…2n-1•k=1，即（2n-1）k=1
∴k=
故答案为：
某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
已知ξ的数学期望E（ξ）=8.9，则y的值为（ ）
正确答案
解析
解：由表格可知：x+0.1+0.3+y=1，
7x+8×0.1+9×0.3+10×y=8.9
解得y=0.4．
故选：C．
在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．
（Ⅰ） 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
（Ⅱ） X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列和数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）设事件A表示：“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手”，
观众甲选中3号歌手的概率为
∴P（A）=
∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为
（Ⅱ） X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，则X可取0，1，2，3．
观众甲选中3号歌手的概率为
当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时，这时X=0，P（X=0）=（1-
当观众甲、乙、丙只有一人选中3号歌手时，这时X=1，
P（X=1）=
当观众甲、乙、丙只有二人选中3号歌手时，这时X=2，
P（X=2）=
当观众甲、乙、丙都选中3号歌手时，这时X=3，
P（X=3）=
X的分布列如下：
∴数学期望EX=0×+1×+2×+3×=．
解析
解：（Ⅰ）设事件A表示：“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手”，
观众甲选中3号歌手的概率为
∴P（A）=
∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为
（Ⅱ） X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，则X可取0，1，2，3．
观众甲选中3号歌手的概率为
当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时，这时X=0，P（X=0）=（1-
当观众甲、乙、丙只有一人选中3号歌手时，这时X=1，
P（X=1）=
当观众甲、乙、丙只有二人选中3号歌手时，这时X=2，
P（X=2）=
当观众甲、乙、丙都选中3号歌手时，这时X=3，
P（X=3）=
X的分布列如下：
∴数学期望EX=0×+1×+2×+3×=．
抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“X＞4”表示试验的结果为（ ）
正确答案
解析
解：∵X表示第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差，
∴“X＞4”表示试验的结果为第一枚为6点，第二枚为1点
故选C．
小明参加某项资格测试，现有10道题，其中6道客观题，4道主观题，小明需从10道题中任取3道题作答
（1）求小明至少取到1道主观题的概率
（2）若取的3道题中有2道客观题，1道主观题，设小明答对每道客观题的概率都是
正确答案
解：（1）设事件A=“小明所取的3道题至少有1道主观题”
则有
因为P（
P（A）=1-P（
（2）X的所有可能的取值为0，1，2，3．
P（X=0）=（
P（X=1）=
P（X=2）=（
P（X=3）=（
∴X的分布列为
∴E（X）=0×=2．
解析
解：（1）设事件A=“小明所取的3道题至少有1道主观题”
则有
因为P（
P（A）=1-P（
（2）X的所有可能的取值为0，1，2，3．
P（X=0）=（
P（X=1）=
P（X=2）=（
P（X=3）=（
∴X的分布列为
∴E（X）=0×=2．
某食品店每天以每瓶2元的价格从厂家购进一种酸奶若干瓶，然后以每瓶3元的价格出售，如果当天卖不完，余下的酸奶变质作垃圾处理．
（1）若食品店一天购进170瓶，求当天销售酸奶的利润y（单位：元）关于当天的需求量n（单位：瓶，n∈N）的函数解析式；
（2）根据市场调查，100天的酸奶的日需求量（单位：瓶）数据整理如下表：
若以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．食品店一天购进170瓶酸奶，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列和数学期望EX．
正确答案
解：（1）当n＜170时，y=3n-170×2=3n-340；
当n＞170时，y=（3-2）×170=170
∴y=
（2）X的可能取值为：110，140，170
由题意，n=150，160及不小于170的频率分别为0.17.0.23.0.6
∴X的分布列为
∴EX=110×0.17+140×0.23+170×0.6=152.9．
解析
解：（1）当n＜170时，y=3n-170×2=3n-340；
当n＞170时，y=（3-2）×170=170
∴y=
（2）X的可能取值为：110，140，170
由题意，n=150，160及不小于170的频率分别为0.17.0.23.0.6
∴X的分布列为
∴EX=110×0.17+140×0.23+170×0.6=152.9．
一学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A、B、C、D、E五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试．已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A、B、C、D四项考试不合格的概率均为
（1）求该生被录取的概率．
（2）记该生参加考试的项数为ξ，求ξ的分布列和期望．
正确答案
解：（1）该生被录取，则A、B、C、D四项考试答对3道或4道，并且答对第五项．
所以该生被录取的概率为
（2）该生参加考试的项数ξ的所有取值为：2，3，4，5．
该生参加考试的项数ξ的分布列为：
解析
解：（1）该生被录取，则A、B、C、D四项考试答对3道或4道，并且答对第五项．
所以该生被录取的概率为
（2）该生参加考试的项数ξ的所有取值为：2，3，4，5．
该生参加考试的项数ξ的分布列为：
设a和b分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x2+|a-b|x+1=0实根的个数（重根按一个计）．则ξ的数学期望是______．
正确答案
解析
解：ξ的可能取值为0，1，2，则
故
故答案为：
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