- 二项式定理
- 共3480题
某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．
（Ⅰ）求当天商品不进货的概率；
（Ⅱ）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望．
正确答案
解：（I）P（“当天商店不进货”）=P（“当天商品销售量为0件”）+（“当天的商品销售量为1件”）
=
（II）由题意知，X的可能取值为2，3
P（X=2）=P（“当天商品销售量为1件”）=
P（X=3）=（“当天的销售量为0”）+P（“当天的销售量为2件”）+P（“当天的销售量为3件”）=
故x的分布列
X的数学期望为EX=
解析
解：（I）P（“当天商店不进货”）=P（“当天商品销售量为0件”）+（“当天的商品销售量为1件”）
=
（II）由题意知，X的可能取值为2，3
P（X=2）=P（“当天商品销售量为1件”）=
P（X=3）=（“当天的销售量为0”）+P（“当天的销售量为2件”）+P（“当天的销售量为3件”）=
故x的分布列
X的数学期望为EX=
（Ⅰ）求出频率分布表中①、②、③位置上相应的数据，并补全图3所示频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计众数的值；
（Ⅱ）若按身高分层抽样，抽取20人参加2015年庆元旦全民健身运动，其中有3名学生参加越野比赛，记这3名学生中“身高低于170cm”的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）设①，②处分别为m，n，由
则n=100-（5+20+30+10）=35，∴[170，175）内的频率为
∴①、②、③处分别填5、35、0.350，众数是172.5cm，
补全频率分布直方图如图3所示：
图3
（Ⅱ）用分层抽样的方法，从中选取20人，则“身高低于170cm”的有5人，
∴ξ可能的取值为0，1，2，3，
则P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
则ξ的分布列如下：
∴E（ξ）=．
解析
解：（Ⅰ）设①，②处分别为m，n，由
则n=100-（5+20+30+10）=35，∴[170，175）内的频率为
∴①、②、③处分别填5、35、0.350，众数是172.5cm，
补全频率分布直方图如图3所示：
图3
（Ⅱ）用分层抽样的方法，从中选取20人，则“身高低于170cm”的有5人，
∴ξ可能的取值为0，1，2，3，
则P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
则ξ的分布列如下：
∴E（ξ）=．
（1）求x的值和数学成绩在110分以上的人数；
（2）从数学成绩在110分以上的学生中任意抽取3人，成绩在130分以上的人数为ξ，求ξ的期望．
正确答案
解：（1）x=[1-（0.0025+0.005+0.0125+0.0125）×20]÷20=0.0175
数学成绩110分以上的人数为：（0.005+0.0125）×20×20=7人．
（2）数学成绩在130分以上的人数为：0.005×20×20=2人
∴ξ的取值为：0，1，2
P（ξ=0）=
∴ξ的分布列为：
∴ξ的期望为：Eξ=
解析
解：（1）x=[1-（0.0025+0.005+0.0125+0.0125）×20]÷20=0.0175
数学成绩110分以上的人数为：（0.005+0.0125）×20×20=7人．
（2）数学成绩在130分以上的人数为：0.005×20×20=2人
∴ξ的取值为：0，1，2
P（ξ=0）=
∴ξ的分布列为：
∴ξ的期望为：Eξ=
已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．
方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．
（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；
（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．
正确答案
解：（Ⅰ）若乙验两次时，有两种可能：
①先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中概率为：
②先验三只结果为阴性，再从其它两只中验出阳性（无论第二次试验中有没有，均可以在第二次结束）
∴乙只用两次的概率为
若乙验三次时，只有一种可能：
先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好二次验中概率为在三次验出时概率为
∴甲种方案的次数不少于乙种次数的概率为：
（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，
∴ξ的期望为Eξ=2×0.6+3×0.4=2.4．
解析
解：（Ⅰ）若乙验两次时，有两种可能：
①先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中概率为：
②先验三只结果为阴性，再从其它两只中验出阳性（无论第二次试验中有没有，均可以在第二次结束）
∴乙只用两次的概率为
若乙验三次时，只有一种可能：
先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好二次验中概率为在三次验出时概率为
∴甲种方案的次数不少于乙种次数的概率为：
（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，
∴ξ的期望为Eξ=2×0.6+3×0.4=2.4．
设离散型随机变量ξ可能取的值为1，2，3，4．P（ξ=k）=ak+b（k=1，2，3，4），又ξ的数学期望Eξ=3，则a+b=______．
正确答案
解析
解：设离散性随机变量ξ可能取的值为1，2，3，4，
P（ξ=k）=ak+b（k=1，2，3，4），
∴（a+b）+（2a+b）+（3a+b）+（4a+b）=1，
即10a+4b=1，
又ξ的数学期望Eξ=3，
则（a+b）+2（2a+b）+3（3a+b）+4（4a+b）=3，
即30a+10b=3，
∴a+b=
设一随机试验的结果只有A和
正确答案
解析
解：Eξ=0×（1-p）+1×p=p，
Dξ=（0-p）2•（1-p）+（1-p）2×p
=p（1-p）．
故选D．
设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．
（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．
正确答案
解：由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为
0.6×0.5×0.5×0.4+（1-0.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×（1-0.5）×0.5×0.4+0.6×0.5×（1-0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1-0.4）=0.31．
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4
P（X=0）=（1-0.6）×0.52×（1-0.4）=0.06
P（X=1）=0.6×0.52×（1-0.4）+（1-0.6）×0.52×0.4+（1-0.6）×2×0.52×（1-0.4）=0.25
P（X=4）=P（A2•B•C）=0.52×0.6×0.4=0.06，
P（X=3）=P（D）-P（X=4）=0.25，
P（X=2）=1-P（X=0）-P（X=1）-P（X=3）-P（X=4）=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38．
故数学期望EX=0×0.06+1×0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2
解析
解：由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为
0.6×0.5×0.5×0.4+（1-0.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×（1-0.5）×0.5×0.4+0.6×0.5×（1-0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1-0.4）=0.31．
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4
P（X=0）=（1-0.6）×0.52×（1-0.4）=0.06
P（X=1）=0.6×0.52×（1-0.4）+（1-0.6）×0.52×0.4+（1-0.6）×2×0.52×（1-0.4）=0.25
P（X=4）=P（A2•B•C）=0.52×0.6×0.4=0.06，
P（X=3）=P（D）-P（X=4）=0.25，
P（X=2）=1-P（X=0）-P（X=1）-P（X=3）-P（X=4）=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38．
故数学期望EX=0×0.06+1×0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2
目前，省检查团对某市正在创建“环境优美”示范城市的成果进行验收，主要工作是对辖区内的单位进行验收．
（1）若每个被检单位验收合格的概率为0.9，求3个被检单位中至少有一个不合格的概率．
（2）若从10个候检单位中选两个进行验收，已知其中有三个单位平时不重视，肯定不合格，其余都合格．一检查人员提出方案：若两个单位都合格，则该市被评为“环境优美”示范城市，否则不评为“环境优美”示范城市．根据这一方案，试求两个被检单位中不合格单位的个数ξ的分布列及Eξ，并求该市未评为“环境优美”示范城市的概率．
正确答案
解：（1）记“3个被检单位至少有一个不合格”为事件A，则
P（A）=1-0.93=0.271；
（2）ξ的可能值为：0，1，2．
∴
记该市未评为“环境优美”示范城市为事件B，则：P（B）=1-P（ξ=0）=
解析
解：（1）记“3个被检单位至少有一个不合格”为事件A，则
P（A）=1-0.93=0.271；
（2）ξ的可能值为：0，1，2．
∴
记该市未评为“环境优美”示范城市为事件B，则：P（B）=1-P（ξ=0）=
某公司采用招考的方式引进人才，规定考生必须在B、C、D三个测试点中任意选取两个进行测试，若在这两个测试点都测试合格，则可参加面试，否则不被录用．已知考生在每个测试点的测试结果只有合格与不合格两种，且在每个测试点的测试结果互不影响．若考生小李和小王一起前来参加招考，小李在测试点B、C、D测试合格的概率分别为
（Ⅰ）问小李选择哪两个测试点测试才能使得可以参加面试的可能性最大？请说明理由；
（Ⅱ）假设小李选择测试点B、C进行测试，小王选择测试点B、D进行测试，记ξ为两人在各测试点测试合格的测试点个数之和，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．
正确答案
解：（Ⅰ）设考生小李在B，C，D各测试点测试合格记为事件B、C、D，且各事件相互独立，
由题意，
若选择在B、C测试点测试，则参加面试的概率
若选择在B、D测试点测试，则参加面试的概率
若选择在C、D测试点测试，则参加面试的概率
∵P2＞P1＞P3，∴小李在B、D测试点测试，参加面试的可能性大．
（Ⅱ）记小李在测试点B、C合格为事件B、C，小王在测试点B、D合格为事件B1、D1，
则
P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
=
P（ξ=2）=
=
P（ξ=3）=
=
P（ξ=4）=
ξ的分布列为：
∴数学期望Eξ=．
解析
解：（Ⅰ）设考生小李在B，C，D各测试点测试合格记为事件B、C、D，且各事件相互独立，
由题意，
若选择在B、C测试点测试，则参加面试的概率
若选择在B、D测试点测试，则参加面试的概率
若选择在C、D测试点测试，则参加面试的概率
∵P2＞P1＞P3，∴小李在B、D测试点测试，参加面试的可能性大．
（Ⅱ）记小李在测试点B、C合格为事件B、C，小王在测试点B、D合格为事件B1、D1，
则
P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
=
P（ξ=2）=
=
P（ξ=3）=
=
P（ξ=4）=
ξ的分布列为：
∴数学期望Eξ=．
已知随机变量x的分布列为
则随机变量x的方差为______．
正确答案
1.2
解析
解：Ex=1×0.2+2×0.4+3×0.2+4×0.1=2
Dx=0.1×（0-2）2+0.2×（1-2）2+0.4×（2-2）2+0.2×（3-2）2+0.1×（4-2）2=1.2
故答案为：1.2
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