- 二项式定理
- 共3480题
（Ⅰ）从甲、乙两班的10名学生中各抽取一人，已知有人及格，求乙班学生不及格的概率；
（Ⅱ）从甲班10人中取1人，乙班10人中取2人，三人中及格人数记为ξ，求ξ的分布列及期望．
正确答案
解：（I）由茎叶图可知：甲班有4人及格，乙班有5人及格．
事件“从甲、乙两班的10名学生中各抽取一人，有人及格”记作A，事件“从甲、乙两班的10名学生中各抽取一人，乙班学生不及格”记作B．
则P（A）=1-
P（AB）=
P（B|A）=
（II）由题意可知ξ可取0，1，2，3．
P（ξ=0）=
P（ξ=3）=
可得ξ的分布列：
∴E（ξ）==．
解析
解：（I）由茎叶图可知：甲班有4人及格，乙班有5人及格．
事件“从甲、乙两班的10名学生中各抽取一人，有人及格”记作A，事件“从甲、乙两班的10名学生中各抽取一人，乙班学生不及格”记作B．
则P（A）=1-
P（AB）=
P（B|A）=
（II）由题意可知ξ可取0，1，2，3．
P（ξ=0）=
P（ξ=3）=
可得ξ的分布列：
∴E（ξ）==．
杭州市教育局开展支教活动，有五位高级教师被随机分配到A，B，C三个所不同的学校，且每所学校至少分配一名教师．
（1）求甲、乙两位教师同时分配到一个中学的概率；
（2）设随机变量X为这五位教师分到A中学的人数，求X的分布列和期望．
正确答案
解：（1）由题意知本题是一个古典概型，
设甲乙两位教师同时分到一个中学为事件A，五位高级教师被随机分配到A，B，C三个所不同的学校，且每所学校至少分配一名教师，先把五位高级教师分组2，2，1；或3，1，1．基本事件总数 
因甲、乙两位教师同时分配到一个中学，也分为两类，一类是甲、乙两位教师同时分配到一个中学，再分配另一位教师到这个中学，一类是甲、乙两位教师同时分配到一个中学后不再分配其它老师到这个中学，满足条件的事件数C32A33+C31A33=36
∴P（A）=
（2）由题知X取值1，2，3．则
P（X=1）=（
P（X=2）=
P（X=3）=（
所以X的分布列为
E（X）=1×+2×+3×=．…（14分）
解析
解：（1）由题意知本题是一个古典概型，
设甲乙两位教师同时分到一个中学为事件A，五位高级教师被随机分配到A，B，C三个所不同的学校，且每所学校至少分配一名教师，先把五位高级教师分组2，2，1；或3，1，1．基本事件总数
因甲、乙两位教师同时分配到一个中学，也分为两类，一类是甲、乙两位教师同时分配到一个中学，再分配另一位教师到这个中学，一类是甲、乙两位教师同时分配到一个中学后不再分配其它老师到这个中学，满足条件的事件数C32A33+C31A33=36
∴P（A）=
（2）由题知X取值1，2，3．则
P（X=1）=（
P（X=2）=
P（X=3）=（
所以X的分布列为
E（X）=1×+2×+3×=．…（14分）
道路交通安全法中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q（简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当20≤Q＜80时，为酒后驾车，当Q≥80时为醉酒驾车．某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了160辆机动车驾驶员的血酒含量，其中查处酒后驾车的有4人，查处醉酒驾车的有2人，依据上述材料回答下列问题：
（1）分别写出违法驾车发生的频率和违法驾车中醉酒驾车的频率；
（2）设酒后驾车为事件E，醉酒驾车为事件F，
判断下列命题是否正确（正确的填写“√”，错误的填写“×”）（填在答题卷中）
①E与F不是互斥事件．______
②E与F是互斥事件，但不是对立事件．______
③事件E包含事件F．______
④P（E∪F）=P（E）+P（F）=1．______
（3）从违法驾车的6人中，抽取2人，请一一列举出所有的抽取结果，并求取到的2人中含有醉酒驾车的概率．（酒后驾车的4人用大写字母A，B，C，D表示，醉酒驾车的2人用小写字母a，b表示）．
正确答案
解：（1）检查的总数为160，其中查处酒后驾车的有4人，查处醉酒驾车的有2人，共6人，则违法驾车发生的频率为
（2）酒后违法驾车中有2人是醉酒驾车，则酒后违法驾车中醉酒驾车的频率为
∵酒后驾车为事件E，醉酒驾车为事件F，
∴E与F是互斥事件，但不是对立事件；
∴①×；②√；③×；④×，（8分）
（3）从违法驾车的6人中，任意抽取2人的结果有：（A，B），（A，C），（A，D），
（A，a），（A，b），（B，C），（B，D），（B，a），（B，b），（C，D），（C，a），（C，b），（D，a），（D，b），（a，b）共有15个…（11分）
设取到的2人中含有醉酒驾车为事件G，则事件G含有9个结果：（A，a），（A，b），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b），（D，a），（D，b），（a，b），∴P（E）=
故答案为：×√××
解析
解：（1）检查的总数为160，其中查处酒后驾车的有4人，查处醉酒驾车的有2人，共6人，则违法驾车发生的频率为
（2）酒后违法驾车中有2人是醉酒驾车，则酒后违法驾车中醉酒驾车的频率为
∵酒后驾车为事件E，醉酒驾车为事件F，
∴E与F是互斥事件，但不是对立事件；
∴①×；②√；③×；④×，（8分）
（3）从违法驾车的6人中，任意抽取2人的结果有：（A，B），（A，C），（A，D），
（A，a），（A，b），（B，C），（B，D），（B，a），（B，b），（C，D），（C，a），（C，b），（D，a），（D，b），（a，b）共有15个…（11分）
设取到的2人中含有醉酒驾车为事件G，则事件G含有9个结果：（A，a），（A，b），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b），（D，a），（D，b），（a，b），∴P（E）=
故答案为：×√××
为选拔选手参加“中国汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．
（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；
（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取4名学生参加“中国汉字听写大会”，设随机变量X表示所抽取的4名学生中得分在[80，90）内的学生人数，求随机变量X的分布列及数学期望．
正确答案
解：（1）由题意可知，样本容量n=
x=0.100-0.004-0.010-0.016-0.040=0.030
（2）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，分数在[90.100]内的学生有2人，共7人．抽取的4名学生中得分在[80，90）的人数X的可能取值为2，3，4，则
P（X=2）=
所以X的分布列为
所以EX=2×=
解析
解：（1）由题意可知，样本容量n=
x=0.100-0.004-0.010-0.016-0.040=0.030
（2）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，分数在[90.100]内的学生有2人，共7人．抽取的4名学生中得分在[80，90）的人数X的可能取值为2，3，4，则
P（X=2）=
所以X的分布列为
所以EX=2×=
甲、乙两人独自破译一个密码，他们能独立译出密码的概率分别为
①求甲、乙两人都不能译出密码的概率；
②假设有3个与甲同样能力的人一起独自破译该密码（甲、乙两人均不参加），求译出该密码的人数ξ概率分布和数学期望．
正确答案
解：①由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，
设“甲、乙两人均不能译出密码”为事件A，
则P（A）=（1-
②译出该密码的人数ξ的可能取值有0、1、2、3，且
P（ξ=0）=
∴ξ的概率分布列为
∴Eξ=0×+1×+2×+3×=1.5．
解析
解：①由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，
设“甲、乙两人均不能译出密码”为事件A，
则P（A）=（1-
②译出该密码的人数ξ的可能取值有0、1、2、3，且
P（ξ=0）=
∴ξ的概率分布列为
∴Eξ=0×+1×+2×+3×=1.5．
（1）当ξ≥6时，则保证线路信息畅通，求线路信息畅通的概率；
（2）求ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（1）∵1+1+4=1+2+3=6，∴P（ξ=6）=
∵1+2+4=2+2+3=7，∴P（ξ=7）=
∵2+2+4=1+3+4=8，∴P（ξ=8）=
∵2+3+4=9，∴P（ξ=9）=
∴线路信息畅通的概率是
（2）ξ=4，5，6，7，8，9
∵1+1+2=4，∴P（ξ=4）=
∵1+1+3=1+2+2=5，∴P（ξ=5）=
ξ的分布列为
∴线路通过信息量的数学期望=4×+5×+6×+7×+8×+9×=6.5
解析
解：（1）∵1+1+4=1+2+3=6，∴P（ξ=6）=
∵1+2+4=2+2+3=7，∴P（ξ=7）=
∵2+2+4=1+3+4=8，∴P（ξ=8）=
∵2+3+4=9，∴P（ξ=9）=
∴线路信息畅通的概率是
（2）ξ=4，5，6，7，8，9
∵1+1+2=4，∴P（ξ=4）=
∵1+1+3=1+2+2=5，∴P（ξ=5）=
ξ的分布列为
∴线路通过信息量的数学期望=4×+5×+6×+7×+8×+9×=6.5
某地决定新建A，B，C三类工程，A，B，C三类工程所含项目的个数分别占总项目数的
（Ⅰ）求他们选择的项目所属工程类别相同的概率；
（Ⅱ）记ξ为3人中选择的项目属于B类工程或C类工程的人数，求ξ的分布列及数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）∵3名工人选择的项目均为A类工程的概率
均为B类工程的概率
均为C类工程的概率
∴他们选择的项目所属工程类别相同的概率
（Ⅱ）设三名工人中选择项目属于A类工程的人数为η，
∵每次试验中事件发生的概率是相同的，
各次试验中的事件是相互独立的，
每次试验只要两种结果，要么发生要么不发生，
∴
故ξ的分布列是：
ξ的数学期望Eξ=0×
解析
解：（Ⅰ）∵3名工人选择的项目均为A类工程的概率
均为B类工程的概率
均为C类工程的概率
∴他们选择的项目所属工程类别相同的概率
（Ⅱ）设三名工人中选择项目属于A类工程的人数为η，
∵每次试验中事件发生的概率是相同的，
各次试验中的事件是相互独立的，
每次试验只要两种结果，要么发生要么不发生，
∴
故ξ的分布列是：
ξ的数学期望Eξ=0×
设随机变量ξ的分布列为P（ξ=i）=m（
正确答案
解析
解：∵随机变量ξ的分布列为 
∴
∵
故答案为
某电视台举办的技能比赛节目中，每位参赛选手需参加两场比赛，两场比赛都胜出获得10万现金；若只胜一场，则奖励5万；两场都失利则无奖金．设甲选手每场比赛胜利的概率都为
（I）求比赛结束后甲选手只胜一场的概率；
（Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（I）设“比赛结束后甲选手只胜一场”为事件A，则P（A）=
（II）ξ的可能值为0，5，10．且P（ξ=0）=
ξ的分布列：
数学期望Eξ=0×
解析
解：（I）设“比赛结束后甲选手只胜一场”为事件A，则P（A）=
（II）ξ的可能值为0，5，10．且P（ξ=0）=
ξ的分布列：
数学期望Eξ=0×
将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，设复数z=a+bi．
（1）设事件A：“z-3i为实数”，求事件A的概率；
（2）当“|z-2|≤3”成立时，令ξ=a+b，求ξ的分布列和期望．
正确答案
解：（1）z-3i为实数，即a+bi-3i=a=（b-3）i为实数，∴b=3，
又依题意，b可取1，2，3，4，5，6，故出现b=3的概率为
即事件“z-3i为实数”的概率为
（2）由已知，|z-2|=|a-2+bi|=
可知，b的值只能取1、2、3，
当b=1时，（a-2）2≤8，即a可取1，2，3，4
当b=2时，（a-2）2≤5，即a可取1，2，3，4
当b=3时，（a-2）2≤0，即a可取2，
由上可知，ξ=2、3、4、5，6
ξ的分布列为
Eξ=+=．
解析
解：（1）z-3i为实数，即a+bi-3i=a=（b-3）i为实数，∴b=3，
又依题意，b可取1，2，3，4，5，6，故出现b=3的概率为
即事件“z-3i为实数”的概率为
（2）由已知，|z-2|=|a-2+bi|=
可知，b的值只能取1、2、3，
当b=1时，（a-2）2≤8，即a可取1，2，3，4
当b=2时，（a-2）2≤5，即a可取1，2，3，4
当b=3时，（a-2）2≤0，即a可取2，
由上可知，ξ=2、3、4、5，6
ξ的分布列为
Eξ=+=．
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