- 二项式定理
- 共3480题
袋中有8个大小相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球．
（I）若从袋中一次摸出2个小球，求恰为异色球的概率；
（II）若从袋中一次摸出3个小球，且3个球中，黑球与白球的个数都没有超过红球的个数，记此时红球的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．
正确答案
解：（Ⅰ）摸出的2个小球为异色球的种数为
从8个球中摸出2个小球的种数为
故所求概率为
（Ⅱ）符合条件的摸法包括以下三种：
一种是有1个红球，1个黑球，1个白球，共有
一种是有2个红球，1个其它颜色球，共有
一种是所摸得的3小球均为红球，共有
故符合条件的不同摸法共有40种．
P（ξ=1）=
由题意知，随机变量ξ的取值为1，2，3．其分布列为：
Eξ==．
解析
解：（Ⅰ）摸出的2个小球为异色球的种数为
从8个球中摸出2个小球的种数为
故所求概率为
（Ⅱ）符合条件的摸法包括以下三种：
一种是有1个红球，1个黑球，1个白球，共有
一种是有2个红球，1个其它颜色球，共有
一种是所摸得的3小球均为红球，共有
故符合条件的不同摸法共有40种．
P（ξ=1）=
由题意知，随机变量ξ的取值为1，2，3．其分布列为：
Eξ==．
一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，得0分的概率为0.5（投篮一次得分只能3分、2分、1分或0分），其中a、b∈（0，1），已知他投篮一次得分的数学期望为1，则ab的最大值为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：设这个篮球运动员得1分的概率为c，
∵这个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，得0分的概率为0.5，
投篮一次得分只能3分、2分、1分或0分，他投篮一次得分的数学期望为1，
∴
解得2a+b=0.5，
∵a、b∈（0，1），
∴
∴ab
当且仅当2a=b=
故选D．
设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为
正确答案
3
解析
解：设口袋中有白球n个，
由题意知口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，
取到白球的概率是
∵每一次取到白球的概率是一个定值，且每一次的结果只有取到白球和取不到白球两种结果，
∴符合二项分布，
∴2×
∴n=3
故答案为：3
一个袋子内装有若干个黑球，3个白球，2个红球（所有的球除颜色外其它均相同），从中一次性任取2个球，每取得一个黑球得0分，每取一个白球得1分，每取一个红球得2分，用随机变量ξ表示取2个球的总得分，已知得0分的概率为
（Ⅰ）求袋子内黑球的个数；
（Ⅱ）求ξ的分布列与期望．
正确答案
解：（Ⅰ）设袋中黑球的个数为n个，
（Ⅱ）依题意：ξ=0，1，2，3，4 
∴ξ 的期望为
解析
解：（Ⅰ）设袋中黑球的个数为n个，
（Ⅱ）依题意：ξ=0，1，2，3，4
∴ξ 的期望为
某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的车辆，单位获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）．设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为0.1，0.2，0.4，且各车是否发生事故相互独立．求一年内该单位在此保险中：
（1）获赔的概率；
（2）获赔金额ξ的分布列与期望．
正确答案
解：（1）用Ai表示“第i辆车发生此种事故”，
A表示“一年内该单位在此保险中获赔”，则P（A）=1-
（2）由题意可得ξ=0，9000，18000，27000．
则P（ξ=0）=
P（ξ=27000）=P（A1）P（A2）P（A3）=0.1×0.2×0.4=0.008．P（ξ=18000）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=0.116．
故ξ的分布列为可得ξ的分布列为
Eξ=0×0.432+9000×0.444+18000×0116+27000×0.008=6300．
解析
解：（1）用Ai表示“第i辆车发生此种事故”，
A表示“一年内该单位在此保险中获赔”，则P（A）=1-
（2）由题意可得ξ=0，9000，18000，27000．
则P（ξ=0）=
P（ξ=27000）=P（A1）P（A2）P（A3）=0.1×0.2×0.4=0.008．P（ξ=18000）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=0.116．
故ξ的分布列为可得ξ的分布列为
Eξ=0×0.432+9000×0.444+18000×0116+27000×0.008=6300．
（1）某机场候机室中一天的游客数量为ξ；（2）某寻呼台一天内收到的寻呼次数为ξ；（3）某水文站观察到一天中长江水位为ξ；（4）某立交桥一天经过的车辆数为ξ，则（ ）不是离散型随机变量．
正确答案
解析
解：根据离散型随机变量的定义：其可能取到的不相同的值是有限个或可列为有限个，即可以按一定次序一一列出；
分析题干的四个变量可得
（1）中的ξ，符合定义，是离散型随机变量；
（2）中的ξ，符合定义，是离散型随机变量；
（3）中的ξ，水文站观察到一天中长江水位即ξ的值是连续的，无法按一定次序一一列出，不符合定义，不是离散型随机变量；
（4）中的ξ，符合定义，是离散型随机变量；
故选C．
（理）某单位有8名员工，其中有5名员工曾经参加过一种或几种技能培训，另外3名员工没有参加过任何技能培训，现要从8名员工中任选3人参加一种新的技能培训；
（I）求恰好选到1名曾经参加过技能培训的员工的概率；
（Ⅱ）这次培训结束后，仍然没有参加过任何技能培训的员工人数X是一个随机变量，求X的分布列和数学期望．
正确答案
解：（I）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
∵试验发生包含的事件是从8人中选3个，共有C83=56种结果，
满足条件的事件是恰好选到1名曾经参加过技能培训的员工，共有C51C32=15
∴恰好选到1名已参加过其他技能培训的员工的概率P=
（II）随机变量X可能取的值是：0，1，2，3．
P（X=0）=
P（X=1）=
P（X=2）=
P（X=3）=
∴随机变量X的分布列是
∴X的数学期望是=
解析
解：（I）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
∵试验发生包含的事件是从8人中选3个，共有C83=56种结果，
满足条件的事件是恰好选到1名曾经参加过技能培训的员工，共有C51C32=15
∴恰好选到1名已参加过其他技能培训的员工的概率P=
（II）随机变量X可能取的值是：0，1，2，3．
P（X=0）=
P（X=1）=
P（X=2）=
P（X=3）=
∴随机变量X的分布列是
∴X的数学期望是=
在某电视节目的一次有奖竞猜活动中，主持人准备了A、B两个相互独立的问题，并且宣布：幸运观众答对问题A可获奖金1000元，答对问题B可获奖金2000元，先答哪个题由观众自由选择，但只有第一个问题答对，才能再答第二题，否则终止答题．若你被选为幸运观众，且假设你答对问题A、B的概率分别为
（Ⅰ）记先回答问题A获得的奖金数为随机变量ξ，则ξ的取值分别是多少？
（Ⅱ）你觉得应先回答哪个问题才能使你获得更多的奖金？请说明理由．
正确答案
解：（Ⅰ）随机变量ξ的可能取值为0，1000，3000．
（Ⅱ）设先答问题A获得的奖金为ξ元，先答问题B获得的奖金为η元．则有
∴
同理：
∴
故知先答问题A，所获得的奖金期望较多．
解析
解：（Ⅰ）随机变量ξ的可能取值为0，1000，3000．
（Ⅱ）设先答问题A获得的奖金为ξ元，先答问题B获得的奖金为η元．则有
∴
同理：
∴
故知先答问题A，所获得的奖金期望较多．
（A题）某射击运动员一次射击所得环数X的分布如下：
现进行两次射击，以该运动员两次射击所得环数最高环数作为他的成绩，记为Y．
（Ⅰ）求该运动员两次都命中8环的概率；
（Ⅱ）求Y的分布及平均值（期望）EY．
正确答案
解：（I）该运动员两次都命中8环的概率P=0.32=0.09；
（II）Y的可能值为8，9，10．
P（Y=8）=0.09．
“Y=9”表示一下三种命中情况：先中8环，后中9环；先中9环，后中8环；两次都中9环．
∴P（Y=9）=（0.3×0.5）×2+0.52=0.55．
“Y=10”表示一下三种命中情况：先中8环或9环，后中10环；先中10环，后中8环或9环；两次都中10环．
∴P（Y=10）=（0.3+0.5）×0.2×2+0.22=0.36．
可得Y的分布列：
∴EY=8×0.09+9×0.55+10×0.36=9.27．
解析
解：（I）该运动员两次都命中8环的概率P=0.32=0.09；
（II）Y的可能值为8，9，10．
P（Y=8）=0.09．
“Y=9”表示一下三种命中情况：先中8环，后中9环；先中9环，后中8环；两次都中9环．
∴P（Y=9）=（0.3×0.5）×2+0.52=0.55．
“Y=10”表示一下三种命中情况：先中8环或9环，后中10环；先中10环，后中8环或9环；两次都中10环．
∴P（Y=10）=（0.3+0.5）×0.2×2+0.22=0.36．
可得Y的分布列：
∴EY=8×0.09+9×0.55+10×0.36=9.27．
A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1，A2，A3，B队队员是B1，B2，B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：
现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后所得总分分别为ξ、η．
（1）求ξ、η的概率分布；
（2）求Eξ，Eη．
正确答案
解：（1）ξ、η的可能取值分别为3，2，1，0．
根据题意知ξ+η=3，
∴P（η=0）=P（ξ=3）=
P（η=1）=P（ξ=2）=
P（η=2）=P（ξ=1）=
P（η=3）=P（ξ=0）=
（2）
∵ξ+η=3，
∴
解析
解：（1）ξ、η的可能取值分别为3，2，1，0．
根据题意知ξ+η=3，
∴P（η=0）=P（ξ=3）=
P（η=1）=P（ξ=2）=
P（η=2）=P（ξ=1）=
P（η=3）=P（ξ=0）=
（2）
∵ξ+η=3，
∴
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