- 二项式定理
- 共3480题
某中学举行了一次“环保知识竞赛”．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分100分）作为样本（样本容量为疗）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．
（Ⅰ）求样本容量月和频率分布直方图中x，y的值；
（Ⅱ）把在[60，70），[70，80），[80，90）的成绩分组的学生按分层抽样的方法抽取8人．求[60，70），[70，80），[80，90）成绩分组中各应该抽取的人数；
（Ⅲ）在（II）中的8人中随机抽取4名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，记X为成绩在[60，70）的人数，求X的分布列和数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量n=
x=0.1-0.004-0.010-0.016-0.04=0.030…（3分）
（Ⅱ）在[60，70），[70，80），[80，90）成绩分组的学生分别为15人，20人，5人，
现要按分层抽样抽取8人，则在[60，70），[70，80），[80，90）成绩分组中各抽取3人，4人，1人…（6分）
（Ⅲ）X=0，1，2，3
P（X=0）=
X的分布列为：
…（10分）．
∴EX=0×+1×+2×+3×=…（12分）
解析
解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量n=
x=0.1-0.004-0.010-0.016-0.04=0.030…（3分）
（Ⅱ）在[60，70），[70，80），[80，90）成绩分组的学生分别为15人，20人，5人，
现要按分层抽样抽取8人，则在[60，70），[70，80），[80，90）成绩分组中各抽取3人，4人，1人…（6分）
（Ⅲ）X=0，1，2，3
P（X=0）=
X的分布列为：
…（10分）．
∴EX=0×+1×+2×+3×=…（12分）
某商场在儿童节矩形回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射击到3次为止，设甲每次击中的概率为p（p≠0），射击参数为η，若η的数学期望E（η）＞
正确答案
（0，0.5）
解析
解：根据题意，学生一次发球成功的概率为p，即P（η=1）=p，
二次发球成功的概率P（η=2）=p（1-p），
三次发球成功的概率P（η=3）=（1-p）2，
则Ex=p+2p（1-p）+3（1-p）2=p2-3p+3，
依题意有E（η）＞
解可得，p＞2.5或p＜0.5，
结合p的实际意义，可得0＜p＜0.5，即p∈（0，0.5）
故答案为：（0，0.5）．
某盒子里装有大小、形状完全相同的卡片10张，上面分别写着数字0，1，2，3，以下是10张卡片上的数字的统计结果：
根据表中信息解答以下问题：
（Ⅰ）从10张卡片中随机抽取2张，求这两张卡片上的数字之和为4的概率；
（Ⅱ）从10张卡片中随机抽取2张，用X表示抽取的这两张卡片上的数字之差的绝对值，求随机变量X的分布列及数字期望．
正确答案
解：（Ⅰ）记事件A：两张卡片上的数字之和为4，则P（A）=
（Ⅱ）X=0，1，2，3，则
P（X=0）=
P（X=2）=
X的分布列为
EX=0×+1×+2×+3×=．
解析
解：（Ⅰ）记事件A：两张卡片上的数字之和为4，则P（A）=
（Ⅱ）X=0，1，2，3，则
P（X=0）=
P（X=2）=
X的分布列为
EX=0×+1×+2×+3×=．
某部门对当地城乡居民进行了主题为“你幸福吗？”的幸福指数问卷调査，并在已被问卷调查的居民中随机抽选部分居民参加“幸福职业”或“幸福愿景”的座谈会，被邀请的居民只能选择其中一场座谈会参加．已知A小区有1人，B小区有3人收到邀请并将参加一场座谈会，若A小区已经收到邀请的人选择参加“幸福愿景”座谈会的概率是
（Ⅰ）求A、B两个小区已收到邀请的人选择“幸福愿景”座谈会的人数相等的概率；
（Ⅱ）在参加“幸福愿景”座谈会的人中，记A、B两个小区参会人数的和为 ξ，试求ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解析 （Ⅰ）记“A、B两小区已经收到邀请的人选择“幸福愿景”座谈会的人数相等”为事件A，
则P（A）=（1-
（Ⅱ）随机变量ξ的可能值为0，1，2，3，4．
P（ξ=0）=（1-
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
P（ξ=4）=
故ξ的分布列如下：
（10分）
∴ξ的数学期望Eξ==（12分）
解析
解析 （Ⅰ）记“A、B两小区已经收到邀请的人选择“幸福愿景”座谈会的人数相等”为事件A，
则P（A）=（1-
（Ⅱ）随机变量ξ的可能值为0，1，2，3，4．
P（ξ=0）=（1-
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
P（ξ=4）=
故ξ的分布列如下：
（10分）
∴ξ的数学期望Eξ==（12分）
某高中社团进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次是否开通“微博”的调查，若开通“微博”的称为“时尚族”，否则称为“非时尚族”，通过调查分别得到如图所示统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
完成以下问题：
（Ⅰ）补全频率分布直方图并求n，a，p的值；
（Ⅱ）从[40，50）岁年龄段的“时尚族”中采用分层抽样法抽取18人参加网络时尚达人大赛，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40，45）岁的人数为X，求X的分布列和期望E（X）..
正确答案
解：（Ⅰ）第二组的频率为1-（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，
所以高为
频率直方图如下：
（2分）
第一组的人数为
由题可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1000×0.3=300，
所以
第四组的频率为0.03×5=0.15，所以第四组的人数为1000×0.15=150，
所以a=150×0.4=60．（5分）
（Ⅱ）因为[40，45）岁年龄段的“时尚族”与[45，50）岁年龄段的“时尚族”的比值
为60：30=2：1，所以采用分层抽样法抽取18人，[40，45）岁中有12人，[45，50）岁中有6人．（6分）
随机变量X服从超几何分布．
所以随机变量X的分布列为
（10分）
∴数学期望
（或者 ）．（12分）
解析
解：（Ⅰ）第二组的频率为1-（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，
所以高为
频率直方图如下：
（2分）
第一组的人数为
由题可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1000×0.3=300，
所以
第四组的频率为0.03×5=0.15，所以第四组的人数为1000×0.15=150，
所以a=150×0.4=60．（5分）
（Ⅱ）因为[40，45）岁年龄段的“时尚族”与[45，50）岁年龄段的“时尚族”的比值
为60：30=2：1，所以采用分层抽样法抽取18人，[40，45）岁中有12人，[45，50）岁中有6人．（6分）
随机变量X服从超几何分布．
所以随机变量X的分布列为
（10分）
∴数学期望
（或者 ）．（12分）
甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为
（Ⅰ）记甲投中的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ；
（Ⅱ）求乙至多投中2次的概率；
（Ⅲ）求乙恰好比甲多投进2次的概率．
正确答案
解：（Ⅰ）ξ的可能取值为：0，1，2，3． …（1分）
则
ξ的分布列如下表：
…（4分）
∴． …（5分）
（Ⅱ）利用对立事件，可得乙至多投中2次的概率为． …（8分）
（Ⅲ）设乙比甲多投中2次为事件A，乙恰投中2次且甲恰投中0次为事件B1，乙恰投中3次且甲恰投中1次为事件B2，
则A=B1∪B2，B1，B2为互斥事件． …（10分）
所以P（A）=P（B1）+P（B2）=．
所以乙恰好比甲多投中2次的概率为． …（13分）
解析
解：（Ⅰ）ξ的可能取值为：0，1，2，3． …（1分）
则
ξ的分布列如下表：
…（4分）
∴． …（5分）
（Ⅱ）利用对立事件，可得乙至多投中2次的概率为． …（8分）
（Ⅲ）设乙比甲多投中2次为事件A，乙恰投中2次且甲恰投中0次为事件B1，乙恰投中3次且甲恰投中1次为事件B2，
则A=B1∪B2，B1，B2为互斥事件． …（10分）
所以P（A）=P（B1）+P（B2）=．
所以乙恰好比甲多投中2次的概率为． …（13分）
某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题．竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得-100分．假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
（Ⅰ）求这名同学回答这三个问题的总得分ξ的概率分布和数学期望；
（Ⅱ）求这名同学总得分不为负分（即ξ≥0）的概率．
正确答案
解：（Ⅰ）ξ的可能值为-300，-100，100，300．
P（ξ=-300）=0.23=0.008，P（ξ=-100）=3×0.22×0.8=0.096，
P（ξ=100）=3×0.2×0.82=0.384，P（ξ=300）=0.83=0.512，
所以ξ的概率分布为
根据ξ的概率分布，可得ξ的期望
Eξ=（-300）×0.008+（-100）×0.096+100×0.384+300×0.512=180．
（Ⅱ）这名同学总得分不为负分的概率为P（ξ≥0）=0.384+0.512=0.896．
解析
解：（Ⅰ）ξ的可能值为-300，-100，100，300．
P（ξ=-300）=0.23=0.008，P（ξ=-100）=3×0.22×0.8=0.096，
P（ξ=100）=3×0.2×0.82=0.384，P（ξ=300）=0.83=0.512，
所以ξ的概率分布为
根据ξ的概率分布，可得ξ的期望
Eξ=（-300）×0.008+（-100）×0.096+100×0.384+300×0.512=180．
（Ⅱ）这名同学总得分不为负分的概率为P（ξ≥0）=0.384+0.512=0.896．
（理）甲、乙两人参加A，B，C三个科目的学业水平考试，他们考试成绩合格的概率如下表．设每人每个科目考试相互独立．
（1）求甲、乙两人中恰好有1人科目B考试不合格的概率；
（2）求甲、乙两人中至少有1人三个科目考试成绩都合格的概率；
（3）设甲参加学业水平考试成绩合格的科目数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
正确答案
解：（1）由题意，甲、乙两人中恰好有1人科目B考试不合格的概率为
（2）甲三个科目考试成绩都合格的概率为
∴甲、乙两人中至少有1人三个科目考试成绩都合格的概率为1-
（3）X=0，1，2，3，则
P（X=0）=
P（X=3）=
X的分布列
EX=0×+1×+2×+3×=．
解析
解：（1）由题意，甲、乙两人中恰好有1人科目B考试不合格的概率为
（2）甲三个科目考试成绩都合格的概率为
∴甲、乙两人中至少有1人三个科目考试成绩都合格的概率为1-
（3）X=0，1，2，3，则
P（X=0）=
P（X=3）=
X的分布列
EX=0×+1×+2×+3×=．
（1）试估计该市2014年P值的日平均值；
（2）把频率视作概率，求该市的后续3天时间里至少有1天空气质量超标的概率；
（3）从这10天的P值数据中任取3天的数据，将其中空气质量达到一级的天数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（1）估计该市2014年P值的日平均值为
（2）由题意，1天空气质量超标的概率为p=
由于空气质量是否超标相互独立，所以该市的后续3天时间里至少有1天空气质量超标的概率为1-
（3）ξ的可能取值为3，2，1，0，这10天的P值数据中空气质量达到一级的天数共有4天，
所以P（ξ=3）=
P（ξ=1）=
∴ξ的分布列如下：
∴Eξ=3×+2×+1×+0×=．
解析
解：（1）估计该市2014年P值的日平均值为
（2）由题意，1天空气质量超标的概率为p=
由于空气质量是否超标相互独立，所以该市的后续3天时间里至少有1天空气质量超标的概率为1-
（3）ξ的可能取值为3，2，1，0，这10天的P值数据中空气质量达到一级的天数共有4天，
所以P（ξ=3）=
P（ξ=1）=
∴ξ的分布列如下：
∴Eξ=3×+2×+1×+0×=．
一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的．
（I）从袋子中摸出3个球，求摸出的球为2个红球和1个白球的概率；
（II）从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（I）从10个球中任取3个球有
∴P=
（II）ξ=0，1，2．由“超几何分布”可得：P（ξ=k）=
∴Eξ==
解析
解：（I）从10个球中任取3个球有
∴P=
（II）ξ=0，1，2．由“超几何分布”可得：P（ξ=k）=
∴Eξ==
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