- 二项式定理
- 共3480题
甲、乙两名射手在一次射击中的得分是两个随机变量，分别记为ξ和η，它们的分布列分别为
（1）求a，b 的值（2）计算ξ和η的期望与方差，并以此分析甲、乙两射手的技术情况．
正确答案
（1）由分布列的性质知：
a=1-0.1-0.4=0.5，
b=1-0.2-0.2=0.6．
（2）Eξ=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3，
Dξ=（0-1.3）2×0.1+（1-1.3）2×0.5+（2-1.3）2×0.4=0.41．
Eη=0×0.2+1×0.2+2×0.6=1.4，
Dη=（0-1.4）2×0.2+（1-1.4）2×0.2+（2-1.4）2×0.6=0.64．
∵Eξ＜Eη，Dξ＜Dη．
∴甲射手的平均得分比乙射手的平均得分低，但甲射手的稳定好乙射手的稳定性好．
甲、乙两名射手在一次射击中的得分是两个随机变量，分别记为ξ和η，它们的分布列分别为
（1）求a，b 的值（2）计算ξ和η的期望与方差，并以此分析甲、乙两射手的技术情况．
正确答案
（1）由分布列的性质知：
a=1-0.1-0.4=0.5，
b=1-0.2-0.2=0.6．
（2）Eξ=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3，
Dξ=（0-1.3）2×0.1+（1-1.3）2×0.5+（2-1.3）2×0.4=0.41．
Eη=0×0.2+1×0.2+2×0.6=1.4，
Dη=（0-1.4）2×0.2+（1-1.4）2×0.2+（2-1.4）2×0.6=0.64．
∵Eξ＜Eη，Dξ＜Dη．
∴甲射手的平均得分比乙射手的平均得分低，但甲射手的稳定好乙射手的稳定性好．
某旅行社为3个旅游团提供了4条参观园博园的旅游线路，每个旅游团任选其中一条，
（1）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率；
（2）求恰有2条线路没有被选择的概率；
（3）求选择甲线路的旅游团数的分布列和数学期望．
正确答案
3个旅游团提供了4条参观园博园的旅游线路，每个旅游团任选其中一条的选法有43=64种
（1）记：“3个旅游团选择3条不同的线路”为事件A，则A的结果有
∴P（A）=
（2）记：“恰有2条线路没有被选择”为事件B，则B的结果有
∴P（B）=
（3）设选择甲线路的旅游团数X，则X的取值有0，1，2，3
P（X=0）=
P（X=1）=
P（X=2）=
P（X=3）=
EX=0×
某公司为庆祝元旦举办了一个抽奖活动，现场准备的抽奖箱里放置了分别标有数字1000、800﹑600、0的四个球（球的大小相同）．参与者随机从抽奖箱里摸取一球（取后即放回），公司即赠送与此球上所标数字等额的奖金（元），并规定摸到标有数字0的球时可以再摸一次﹐但是所得奖金减半（若再摸到标有数字0的球就没有第三次摸球机会），求一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望值是多少元．
正确答案
设ξ表示摸球后所得的奖金数，由于参与者摸取的球上标有数字1000，800，600，0，
当摸到球上标有数字0时，可以再摸一次，
但奖金数减半，即分别为500，400，300，0．
则ξ的所有可能取值为1000，800，600，500，400，300，0．
依题意得P(ξ=1000)=P(ξ=800)=P(ξ=600)=
P(ξ=500)=P(ξ=400)=P(ξ=300)=P(ξ=0)=
则ξ的分布列为
∴所求期望值为Eξ=
某公司为庆祝元旦举办了一个抽奖活动，现场准备的抽奖箱里放置了分别标有数字1000、800﹑600、0的四个球（球的大小相同）．参与者随机从抽奖箱里摸取一球（取后即放回），公司即赠送与此球上所标数字等额的奖金（元），并规定摸到标有数字0的球时可以再摸一次﹐但是所得奖金减半（若再摸到标有数字0的球就没有第三次摸球机会），求一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望值是多少元．
正确答案
设ξ表示摸球后所得的奖金数，由于参与者摸取的球上标有数字1000，800，600，0，
当摸到球上标有数字0时，可以再摸一次，
但奖金数减半，即分别为500，400，300，0．
则ξ的所有可能取值为1000，800，600，500，400，300，0．
依题意得P(ξ=1000)=P(ξ=800)=P(ξ=600)=
P(ξ=500)=P(ξ=400)=P(ξ=300)=P(ξ=0)=
则ξ的分布列为
∴所求期望值为Eξ=
某公司为庆祝元旦举办了一个抽奖活动，现场准备的抽奖箱里放置了分别标有数字1000、800﹑600、0的四个球（球的大小相同）．参与者随机从抽奖箱里摸取一球（取后即放回），公司即赠送与此球上所标数字等额的奖金（元），并规定摸到标有数字0的球时可以再摸一次﹐但是所得奖金减半（若再摸到标有数字0的球就没有第三次摸球机会），求一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望值是多少元．
正确答案
设ξ表示摸球后所得的奖金数，由于参与者摸取的球上标有数字1000，800，600，0，
当摸到球上标有数字0时，可以再摸一次，
但奖金数减半，即分别为500，400，300，0．
则ξ的所有可能取值为1000，800，600，500，400，300，0．
依题意得P(ξ=1000)=P(ξ=800)=P(ξ=600)=
P(ξ=500)=P(ξ=400)=P(ξ=300)=P(ξ=0)=
则ξ的分布列为
∴所求期望值为Eξ=
某公司为庆祝元旦举办了一个抽奖活动，现场准备的抽奖箱里放置了分别标有数字1000、800﹑600、0的四个球（球的大小相同）．参与者随机从抽奖箱里摸取一球（取后即放回），公司即赠送与此球上所标数字等额的奖金（元），并规定摸到标有数字0的球时可以再摸一次﹐但是所得奖金减半（若再摸到标有数字0的球就没有第三次摸球机会），求一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望值是多少元．
正确答案
设ξ表示摸球后所得的奖金数，由于参与者摸取的球上标有数字1000，800，600，0，
当摸到球上标有数字0时，可以再摸一次，
但奖金数减半，即分别为500，400，300，0．
则ξ的所有可能取值为1000，800，600，500，400，300，0．
依题意得P(ξ=1000)=P(ξ=800)=P(ξ=600)=
P(ξ=500)=P(ξ=400)=P(ξ=300)=P(ξ=0)=
则ξ的分布列为
∴所求期望值为Eξ=
在某学校组织的一次篮球总投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分，如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第3次．某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2．该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用ξ表示该同学投篮的训练结束后所得的总分，其分布列为
（1）求q2的值；
（2）求随机变量ξ的数学期望Eξ；
（3）试比较该同学选择在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小．
正确答案
（1）由题设知，“ξ=0”对应的事件为“在三次投篮中没有一次投中”，
由对立事件和相互独立事件性质，
知p（ξ=0）=（1-q1）（1-q2）2=0.03，
∵q1=0.25，
∴解得q2=0.8．
（2）根据题意p1=p（ξ=2）=（1-q1）•
p2=p（ξ=3）=q1(1-q2)2=0.25×（1-0.8）2=0.01，
p3=p（ξ=4）=（1-q1）q22=0.75×0.82=0.48，
p4=p（ξ=5）=q1q2+q1（1-q2）q2=0.25×0.8+0.25×0.2×0.8=0.24，
因此Eξ=0×0.03+2×0.24+3×0.01+4×0.48+5×0.24=3.63．
（3）用C表示事件“该同学选择第一次在A处投，以后都在B处投，得分超过3分”，
用D表示事件“该同学选择都在B处投，得分超过3分”，
则P（C）=P（ξ=4）+P（ξ=5）=P3+P4=0.48+0.24=0.72，
P（D）=q22+
C12
q2(1-q2)=0.82+2×0.8×0.2×0.8=0.896，
故P（D）＞P（C）．
即该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在A处投以后都在B处投得分超过3分的概率．
在某学校组织的一次篮球总投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分，如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第3次．某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2．该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用ξ表示该同学投篮的训练结束后所得的总分，其分布列为
（1）求q2的值；
（2）求随机变量ξ的数学期望Eξ；
（3）试比较该同学选择在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小．
正确答案
（1）由题设知，“ξ=0”对应的事件为“在三次投篮中没有一次投中”，
由对立事件和相互独立事件性质，
知p（ξ=0）=（1-q1）（1-q2）2=0.03，
∵q1=0.25，
∴解得q2=0.8．
（2）根据题意p1=p（ξ=2）=（1-q1）•
p2=p（ξ=3）=q1(1-q2)2=0.25×（1-0.8）2=0.01，
p3=p（ξ=4）=（1-q1）q22=0.75×0.82=0.48，
p4=p（ξ=5）=q1q2+q1（1-q2）q2=0.25×0.8+0.25×0.2×0.8=0.24，
因此Eξ=0×0.03+2×0.24+3×0.01+4×0.48+5×0.24=3.63．
（3）用C表示事件“该同学选择第一次在A处投，以后都在B处投，得分超过3分”，
用D表示事件“该同学选择都在B处投，得分超过3分”，
则P（C）=P（ξ=4）+P（ξ=5）=P3+P4=0.48+0.24=0.72，
P（D）=q22+
C12
q2(1-q2)=0.82+2×0.8×0.2×0.8=0.896，
故P（D）＞P（C）．
即该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在A处投以后都在B处投得分超过3分的概率．
近年来，政府提倡低碳减排，某班同学利用寒假在两个小区逐户调查人们的生活习惯是否符合低碳观念．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．数据如下表（计算过程把频率当成概率）．
（1）如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；
（2）A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随机地从A小区中任选25个人，记X表示25个人中低碳族人数，求E（X）．
正确答案
（1）设事件C表示“这4人中恰有2人是低碳族”． …（1分）
P(C)=
=0.01+0.16+0.16=0.33． …（4分）
答：甲、乙、丙、丁这4人中恰有2人是低碳族的概率为0.33； …（5分）
（2）设A小区有a人，两周后非低碳族的概率P=
故低碳族的概率P=1-0.32=0.68．…（9分）
随机地从A小区中任选25个人，这25个人是否为低碳族相互独立，且每个人是低碳族的概率都是0.68，故这25个人中低碳族人数服从二项分布，即X～B( 25 ， 
扫码查看完整答案与解析