- 二项式定理
- 共3480题
某商家举办购物抽奖活动，盒中有大小相同的9张卡片，其中三张标有数字1，两张标有数字0，四张标有数字-1，先从中任取三张卡片，将卡片上的数字相加，设数字和为n，当n＞0时，奖励奖金10n元；当n≤0，无奖励．
（1）求取出的三个数字中恰有一个-1的概率．
（2）设x为奖金金额，求x的分布列和期望．
正确答案
解：（1）设“取出的三个数字中恰有一个-1”为事件A，由题意知是一个等可能事件的概率，
试验发生的所有事件是从9张卡片中取三个，共有C93种结果，而事件A是取到只有一个-1，共有C41C52，
则P（A）=
（2）X的可能取值是：0，10，20，30，其概率计算与（1）解释同理．
①任取三张卡片都是-1，或任取三张卡片中两张是-1、一张是0，或任取三张卡片中两张是-1、一张是1，
任取三张卡片中两张是0、一张是-1，或任取三张卡片中以张是-1、一张是0、一张是1，
则P（X=0）=
②任取三张卡片中两张是1、一张是-1，或任取三张卡片中两张是0、一张是1，
则P（X=10）=
③任取三张卡片中两张是1、一张是0，则P（X=20）=
④任取三张卡片都是1，则P（X=30）=
∴X的分布列为：
∴EX=0+10×+20×+30×=．
解析
解：（1）设“取出的三个数字中恰有一个-1”为事件A，由题意知是一个等可能事件的概率，
试验发生的所有事件是从9张卡片中取三个，共有C93种结果，而事件A是取到只有一个-1，共有C41C52，
则P（A）=
（2）X的可能取值是：0，10，20，30，其概率计算与（1）解释同理．
①任取三张卡片都是-1，或任取三张卡片中两张是-1、一张是0，或任取三张卡片中两张是-1、一张是1，
任取三张卡片中两张是0、一张是-1，或任取三张卡片中以张是-1、一张是0、一张是1，
则P（X=0）=
②任取三张卡片中两张是1、一张是-1，或任取三张卡片中两张是0、一张是1，
则P（X=10）=
③任取三张卡片中两张是1、一张是0，则P（X=20）=
④任取三张卡片都是1，则P（X=30）=
∴X的分布列为：
∴EX=0+10×+20×+30×=．
交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，交通指数取值范围为0～10，分为五个级别，0～2 畅通；2～4 基本畅通；4～6 轻度拥堵；6～8 中度拥堵；8～10 严重拥堵．
早高峰时段，从北京市交通指挥中心随机选取了四环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如图．
（Ⅰ）这50个路段为中度拥堵的有多少个？
（Ⅱ）据此估计，早高峰四环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？
（Ⅲ）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟；中度拥堵为42分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）（0.2+0.16）×1×50=18
这50路段为中度拥堵的有18个． …（3分）
（Ⅱ）设事件A“一个路段严重拥堵”，则P（A）=0.1
事件B“至少一个路段严重拥堵”，则P（
P（B）=1-P（
所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是0.271…（8分）
（III）设此人所用时间为X分钟，X分布列如下表：
EX=30×0.1+36×0.44+42×0.36+60×0.1=39.96
此人经过该路段所用时间的数学期望是39.96分钟．…（13分）
解析
解：（Ⅰ）（0.2+0.16）×1×50=18
这50路段为中度拥堵的有18个． …（3分）
（Ⅱ）设事件A“一个路段严重拥堵”，则P（A）=0.1
事件B“至少一个路段严重拥堵”，则P（
P（B）=1-P（
所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是0.271…（8分）
（III）设此人所用时间为X分钟，X分布列如下表：
EX=30×0.1+36×0.44+42×0.36+60×0.1=39.96
此人经过该路段所用时间的数学期望是39.96分钟．…（13分）
6件产品中有2件次品与4件正品，从中任取2件，则下列可作为随机变量的是（ ）
正确答案
解析
解：因为随机变量为一个变量，
A、取到产品是必然事件，故本选项不正确；
B、取到正品是随机事件，故本选项正确；
而C、D中概率是数值，不是随机变量．
故选B．
将10个白小球中的3个染成红色，3个染成蓝色，试解决下列问题：
（1）求取出3个小球中红球个数ξ的分布列和数学期望；
（2）求取出3个小球中红球个数多于白球个数的概率．
正确答案
解：（1）由题意知红球的个数是3个，
∴取出3个小球中红球个数ξ的可能值是0、1、2、3，
∵从10个球中任取3个，实验包含的所有事件数C103，
而其中恰有K个红球的结果数是C3KC73-K，
∴其中恰有k个红球的概率为
∴随机变量X的分布列是
∴X的数学期望：
（2）设“取出的3个球中红球数多于白球数”为事件A，
“恰好1个红球和两个蓝球”为事件A1，“恰好2个红球”为事件A2，
“恰好3个红球”为事件A3；由题意知：A=A1∪A2∪A3
又
∴
解析
解：（1）由题意知红球的个数是3个，
∴取出3个小球中红球个数ξ的可能值是0、1、2、3，
∵从10个球中任取3个，实验包含的所有事件数C103，
而其中恰有K个红球的结果数是C3KC73-K，
∴其中恰有k个红球的概率为
∴随机变量X的分布列是
∴X的数学期望：
（2）设“取出的3个球中红球数多于白球数”为事件A，
“恰好1个红球和两个蓝球”为事件A1，“恰好2个红球”为事件A2，
“恰好3个红球”为事件A3；由题意知：A=A1∪A2∪A3
又
∴
甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队取胜乙队的概率为0.6，本场比赛采用五局三胜，即先胜三局的队获胜，比赛结束，设各局比赛相互没有影响．求：
（1）甲队3：0获胜的概率；
（2）设本场比赛结束所需的比赛局数为ξ，求随机变量ξ的分布列．
正确答案
解：（1）∵甲队3：0获胜，即为前3局甲胜比赛结束．
∴P=
（2）ξ的所有取值为3，4，5，
P（ξ=3）=
P（ξ=4）=
P（ξ=5）=
∴ξ的分布列为：
解析
解：（1）∵甲队3：0获胜，即为前3局甲胜比赛结束．
∴P=
（2）ξ的所有取值为3，4，5，
P（ξ=3）=
P（ξ=4）=
P（ξ=5）=
∴ξ的分布列为：
申请某种许可证，根据规定需要通过统一考试才能获得，且考试最多允许考四次．设X表示一位申请者经过考试的次数，据统计数据分析知X的概率分布如下：
（Ⅰ）求一位申请者所经过的平均考试次数；
（Ⅱ）已知每名申请者参加X次考试需缴纳费用Y=100X+30（单位：元），求两位申请者所需费用的和小于500元的概率；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，4位申请者中获得许可证的考试费用低于300元的人数记为ξ，求ξ的分布列．
正确答案
解：（Ⅰ）由X的概率分布列可得0.1+x+0.1+0.3=1，∴x=0.5．
∴E（X）=0.1×1+0.5×2+0.3×3+0.1×4=2.4．
所以一位申请者所经过的平均考试次数为2.4次．
（Ⅱ）设两位申请者均经过一次考试为事件A，有一位申请者经历两次考试一位申请者经历一次考试为事件B，两位申请者经历两次考试为事件C，有一位申请者经历三次考试一位申请者经历一次考试为事件D．
因为考试需交费用Y=100X+30，两位申请者所需费用的和小于500元的事件为A∪B∪C∪D．
∴P（A∪B∪C∪D）=0.1×0.1+2×0.5×0.5+0.3×0.3+2×0.1×0.3=0.66
所以两位申请者所需费用的和小于500元的概率为0.66．
（Ⅲ）一位申请者获得许可证的考试费用低于300元的概率为
P（ξ=0）=
P（ξ=3
ξ的分布列为
解析
解：（Ⅰ）由X的概率分布列可得0.1+x+0.1+0.3=1，∴x=0.5．
∴E（X）=0.1×1+0.5×2+0.3×3+0.1×4=2.4．
所以一位申请者所经过的平均考试次数为2.4次．
（Ⅱ）设两位申请者均经过一次考试为事件A，有一位申请者经历两次考试一位申请者经历一次考试为事件B，两位申请者经历两次考试为事件C，有一位申请者经历三次考试一位申请者经历一次考试为事件D．
因为考试需交费用Y=100X+30，两位申请者所需费用的和小于500元的事件为A∪B∪C∪D．
∴P（A∪B∪C∪D）=0.1×0.1+2×0.5×0.5+0.3×0.3+2×0.1×0.3=0.66
所以两位申请者所需费用的和小于500元的概率为0.66．
（Ⅲ）一位申请者获得许可证的考试费用低于300元的概率为
P（ξ=0）=
P（ξ=3
ξ的分布列为
某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按[0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，得到频率分布直方图如下：
假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．
（Ⅰ）写出频率分布直方图（甲）中的a的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为
（Ⅱ）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；
（Ⅲ）设X表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求X的数学期望．
正确答案
（共13分）
解：（Ⅰ）a=0.015； …（2分）
s12＞s22．…（4分）
（Ⅱ）设事件A：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；
事件B：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；
事件C：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱．则P（A）=0.20+0.10=0.3，P（B）=0.10+0.20=0.3．…（6分）
所以 
（Ⅲ）由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3．…（9分）
P（X=0）=C30×0.30×0.73=0.343，
P（X=1）=C31×0.31×0.72=0.441，
P（X=2）=C32×0.32×0.71=0.189，
P（X=3）=C33×0.33×0.70=0.027．
所以X的分布列为
…（11分）
所以X的数学期望EX=0×0.343+1×0.441+2×0.189+3×0.027=0.9．…（13分）
解析
（共13分）
解：（Ⅰ）a=0.015； …（2分）
s12＞s22．…（4分）
（Ⅱ）设事件A：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；
事件B：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；
事件C：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱．则P（A）=0.20+0.10=0.3，P（B）=0.10+0.20=0.3．…（6分）
所以
（Ⅲ）由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3．…（9分）
P（X=0）=C30×0.30×0.73=0.343，
P（X=1）=C31×0.31×0.72=0.441，
P（X=2）=C32×0.32×0.71=0.189，
P（X=3）=C33×0.33×0.70=0.027．
所以X的分布列为
…（11分）
所以X的数学期望EX=0×0.343+1×0.441+2×0.189+3×0.027=0.9．…（13分）
袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为
（1）求袋中原有白球的个数；
（2）求随机变量ξ的概率分布；
（3）求甲取到白球的概率．
正确答案
解：（1）设袋中原有n个白球，由题意知
∴n（n-1）=6得n=3或n=-2（舍去），
所以袋中原有3个白球．…（5分）
（2）由题意，ξ的可能取值为1，2，3，4，5，
所以
所以ξ的分布列为：
…（12分）
（3）因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球，记”甲取到白球”为事件A，
由题意可得：P（A）=P（”ξ=1”，或”ξ=3”，或”ξ=5”）
∵事件”ξ=1”，或”ξ=3”，或”ξ=5”两两互斥，
∴…（16分）
解析
解：（1）设袋中原有n个白球，由题意知
∴n（n-1）=6得n=3或n=-2（舍去），
所以袋中原有3个白球．…（5分）
（2）由题意，ξ的可能取值为1，2，3，4，5，
所以
所以ξ的分布列为：
…（12分）
（3）因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球，记”甲取到白球”为事件A，
由题意可得：P（A）=P（”ξ=1”，或”ξ=3”，或”ξ=5”）
∵事件”ξ=1”，或”ξ=3”，或”ξ=5”两两互斥，
∴…（16分）
国家对空气质量的分级规定如下表：
某市去年6月份30天的空气污染指数的监测数据如下：
根据以上信息，解决下列问题：
（Ⅰ）写出下面频率分布表中a，b，x，y的值；
（Ⅱ）某人计划今年6月份到此城市观光4天，若将（Ⅰ）中的频率作为概率，他遇到空气质量为优或良的天数用X表示，求X的分布列和均值EX．
正确答案
解：（I）由某市去年6月份30天的空气污染指数的监测数据表知，
（Ⅱ）由题意，该市6月份空气质量为优或良的概率为P=
∴X的分布列为：
…．（11分）
∵X～B（4，），
∴．…．（13分）
解析
解：（I）由某市去年6月份30天的空气污染指数的监测数据表知，
（Ⅱ）由题意，该市6月份空气质量为优或良的概率为P=
∴X的分布列为：
…．（11分）
∵X～B（4，），
∴．…．（13分）
在一次抢险救灾中，某救援队的50名队员被分别分派到四个不同的区域参加救援工作，其分布的情况如下表，从这50名队员中随机抽出2人去完成一项特殊任务．
（1）求这2人来自同一区域的概率；
（2）若这2人来自区域A，D，并记来自区域A队员中的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．
正确答案
解：（1）记“这2人来自同一区域”为事件E，那么P（E）=
所以这2人来自同一区域的概率是
（2）随机变量ξ可能取的值为0，1，2，且
P（ξ=0）=
P（ξ=2）=
所以ξ的分布列是：
ξ的数学期望为Eξ=0×+1×+2×= …（12分）
解析
解：（1）记“这2人来自同一区域”为事件E，那么P（E）=
所以这2人来自同一区域的概率是
（2）随机变量ξ可能取的值为0，1，2，且
P（ξ=0）=
P（ξ=2）=
所以ξ的分布列是：
ξ的数学期望为Eξ=0×+1×+2×= …（12分）
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