- 二项式定理
- 共3480题
根据以往资料统计，大学生购买某品牌平板电脑时计划采用分期付款的期数ζ的分布列为
（1）若事件A={购买该平板电脑的3位大学生中，至少有1位采用1期付款}，求事件A的概率P（A）；
（2）若签订协议后，在实际付款中，采用1期付款的没有变化，采用2、3期付款的都至多有一次改付款期数的机会，其中采用2期付款的只能改为3期，概率为
求η的分布列及期望E（η）．
正确答案
解：（1）若事件A={购买该平板电脑的3位大学生中，至少有1位采用1期付款}，
则事件
∵
∴
（2）根据题意，实际付款期数ζ′的概率为
而销售一台该平板电脑的利润η的可能值为200元，250元，300元． …（11分）
∴
∴η的分布列为
…（12分）
∴η的期望（元）．…（14分）
解析
解：（1）若事件A={购买该平板电脑的3位大学生中，至少有1位采用1期付款}，
则事件
∵
∴
（2）根据题意，实际付款期数ζ′的概率为
而销售一台该平板电脑的利润η的可能值为200元，250元，300元． …（11分）
∴
∴η的分布列为
…（12分）
∴η的期望（元）．…（14分）
有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若ξ表示取到次品的个数，则Eξ等于（ ）
A
B
C
D1
正确答案
解析
解：由题意，知ξ取0，1，2，它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，即 P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
于是Eξ=0×
故选A．
已知某一随机变量X的概率分布如下，且E（X）=6.9，则a的值为（ ）
正确答案
解析
解：由分布列性质知：m+0.2+0.5=1，∴m=0.3，
∴E（X）=4×0.3+a×0.2+9×0.5=6.9，∴a=6
故选B．
某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．若任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，则ξ的期望是______．
正确答案
2.7
解析
解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，
“该人参加过计算机培训”为事件B，
由题设知，事件A与B相互独立，且P（A）=0.6，P（B）=0.75．
任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是
根据事件的对立事件得到该人参加过培训的概率是P2=1-P1=1-0.1=0.9．
∵每个人的选择是相互独立的，
∴3人中参加过培训的人数ξ服从二项分布B～（3，0.9），
即ξ的分布列是P（ξ=k）=C3k×0.9k×0.13-k，k=0，1，2，3，
ξ的期望是Eξ=3×0.9=2.7
故答案为：2.7
已知随机变量ξ+η=8，若ξ～B（2，0.35），则E（η），D（η）分别是______，______．
正确答案
7.3
0.425
解析
解：∵ξ～B（2，0.35），
∴Eξ=2×0.35=0.7，Dξ=2×0.35×0.65=0.425，
∵ξ+η=8，
∴Eη=E（8-ξ）=7.3，Dη=D（8-ξ）=0.425，
故答案为：7.3，0.425．
盒中装有7个零件，其中2个是使用过的，另外5个未经使用．
（Ⅰ）从盒中每次随机抽取1个零件，每次观察后都将零件放回盒中，求3次抽取中恰有1次抽到使用过的零件的概率；
（Ⅱ）从盒中随机抽取2个零件，使用后放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为X，求X的分布列和数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）记“从盒中随机抽取1个零件，抽到的是使用过的零件”为事件A，则P（A）=
所以3次抽取中恰有1次抽到使用过的零件的概率P=
（Ⅱ）随机变量X的所有取值为2，3，4．…（7分）
P（X=2）=
所以，随机变量X的分布列为：
…（12分）
EX=2×+3×+4×=．…（14分）
解析
解：（Ⅰ）记“从盒中随机抽取1个零件，抽到的是使用过的零件”为事件A，则P（A）=
所以3次抽取中恰有1次抽到使用过的零件的概率P=
（Ⅱ）随机变量X的所有取值为2，3，4．…（7分）
P（X=2）=
所以，随机变量X的分布列为：
…（12分）
EX=2×+3×+4×=．…（14分）
甲和乙参加有奖竞猜闯关活动，活动规则：①闯关过程中，若闯关成功则继续答题；若没通关则被淘汰；②每人最多闯3关；③闯第一关得10万奖金，闯第二关得20万奖金，闯第三关得30万奖金，一关都没过则没有奖金．已知甲每次闯关成功的概率为
（1）设乙的奖金为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
（2）求甲恰好比乙多30万元奖金的概率．
正确答案
解：（1）ξ的取值为0，10，30，60．
∴ξ 的概率分布如下表：
（2）设甲恰好比乙多30万元为事件A，甲恰好得30万元且乙恰好得0万元为事件B1，
甲恰好得60万元且乙恰好得30万元为事件B2，则A=B1∪B2，B1，B2为互斥事件．．
所以，甲恰好比乙多30万元的概率为
解析
解：（1）ξ的取值为0，10，30，60．
∴ξ 的概率分布如下表：
（2）设甲恰好比乙多30万元为事件A，甲恰好得30万元且乙恰好得0万元为事件B1，
甲恰好得60万元且乙恰好得30万元为事件B2，则A=B1∪B2，B1，B2为互斥事件．．
所以，甲恰好比乙多30万元的概率为
2010年上海世博会大力倡导绿色出行，并提出在世博园区参观时可以通过植树的方式来抵消因出行产生的碳排放量．某游客非常支持这一方案，计划在游园期间种植n棵树，已知每棵树是否成活互不影响，成活率为p（0＜p＜1），设ξ表示他所种植的树中成活的棵数，ξ的数学期望为Eξ，方差为Dξ．
（1）若n=1，求Dξ的最大值；
（2）已知Eξ=3，标准差▱ξ=
正确答案
解：（1）由题意知ξ表示他所种植的树中成活的棵数，
当n=1，ξ=0，1，于是ξ的分布列为
∴Eξ=0×（1-p）+1×p=p．
∴Dξ=（0-p）2•（1-p）+（1-p）2•p=p-p2=
即当
（2）每棵树是否成活互不影响，成活率为p得到ξ～B（n，p），
∴Eξ=np，Dξ=npq=np（1-p），
∴np=3，
∴
∴
∴ξ的分布列为
解析
解：（1）由题意知ξ表示他所种植的树中成活的棵数，
当n=1，ξ=0，1，于是ξ的分布列为
∴Eξ=0×（1-p）+1×p=p．
∴Dξ=（0-p）2•（1-p）+（1-p）2•p=p-p2=
即当
（2）每棵树是否成活互不影响，成活率为p得到ξ～B（n，p），
∴Eξ=np，Dξ=npq=np（1-p），
∴np=3，
∴
∴
∴ξ的分布列为
已知某池塘养殖着鲤鱼和鲫鱼，为了估计这两种鱼的数量，养殖者从池塘中捕出两种鱼各1000只，给每只鱼做上不影响其存活的标记，然后放回池塘，待完全混合后，再每次从池塘中随机的捕出1000只鱼，记录下其中有记号的鱼的数目，立即放回池塘中．这样的记录做了10次，并将记录获取的数据做成以下的茎叶图（图1）．
（Ⅰ）根据茎叶图计算有记号的鲤鱼和鲫鱼数目的平均数，并估计池塘中的鲤鱼和鲫鱼的数量；
（Ⅱ）为了估计池塘中鱼的总重量，现从中按照（Ⅰ）的比例对100条鱼进行称重，据称重鱼的重量介于（0，4.5]（单位：千克）之间，将测量结果按如下方式分成九组：第一组[0，0.5）、第二组[0.5，1）；…，第九组[4，4.5）．图2是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．
①估计池塘中鱼的重量在3千克以上（含3千克）的条数；
②若第二组、第三组、第四组鱼的条数依次成公差为7的等差数列，请将频率分布直方图补充完整；
③在②的条件下估计池塘中鱼的重量的众数、中位数及估计池塘中鱼的总重量；
（Ⅲ）假设随机地从池塘逐只有放回的捕出5只鱼中出现鲤鱼的次数为ξ，求ξ的数学期望．
正确答案
②频率分别为0.08、0.15、0.22，可将频率分布直方图补充完整．
③众数为2.25千克，中位数为2.02千克，平均数为2.02千克，所以鱼的总重为2.02×20000=40400千克．
（Ⅲ）结合二项分布可知，由于随机变量ξ满足B（5，
解析
②频率分别为0.08、0.15、0.22，可将频率分布直方图补充完整．
③众数为2.25千克，中位数为2.02千克，平均数为2.02千克，所以鱼的总重为2.02×20000=40400千克．
（Ⅲ）结合二项分布可知，由于随机变量ξ满足B（5，
在盒子里有大小相同仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球5个，白球3个，蓝球2个．现从中任取一球确定颜色后再放回盒子里，最多取3次．若取出的是蓝球，则不再取球．
（1）求最多取两次就结束取球的概率；
（2）（理科）求取球次数的分布列和数学期望； （文科）求正好取到两次白球的概率．
正确答案
解：（1）设取球次数为ξ，则P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
∴所以最多取两次就结束的概率
（2）（理科）由题设知取球次数ξ的可能取值是1，2，3，
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=1-
∴ξ的分布列为：
∴Eξ=1×+2×+3×=
（文科）设正好取到两次白球的事件为B，
则P（B）=．
解析
解：（1）设取球次数为ξ，则P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
∴所以最多取两次就结束的概率
（2）（理科）由题设知取球次数ξ的可能取值是1，2，3，
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=1-
∴ξ的分布列为：
∴Eξ=1×+2×+3×=
（文科）设正好取到两次白球的事件为B，
则P（B）=．
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