- 二项式定理
- 共3480题
某校高一年级开设A，B，C，D，E五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选A课程，不选B课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．
（Ⅰ）求甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率；
（Ⅱ）用X表示甲、乙、丙选中C课程的人数之和，求X的分布列和数学期望．
正确答案
（共13分）
解：（Ⅰ）设事件A为“甲同学选中C课程”，事件B为“乙同学选中C课程”．
则
因为事件A与B相互独立，
所以甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率为
（Ⅱ）设事件C为“丙同学选中C课程”．
则
X为分布列为：
．…（13分）
解析
（共13分）
解：（Ⅰ）设事件A为“甲同学选中C课程”，事件B为“乙同学选中C课程”．
则
因为事件A与B相互独立，
所以甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率为
（Ⅱ）设事件C为“丙同学选中C课程”．
则
X为分布列为：
．…（13分）
（2015春•溧阳市期末）一袋中装有6个形状大小完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，其中编号为3的小球有1个，已知从中一次抽取两球，至少抽到1个编号为1的小球的概率为
（1）求编号为1的小球个数；
（2）若有放回的抽取3次，每次随机抽取3球，求恰有2次抽到编号为3的小球的概率；
（3）从袋中随机抽取3个小球，记球的最大编号为X，求随机变量X的分布列与数学期望．
正确答案
解：（1）设编号为1的小球个数为n（n∈N+，n≤4），
∵至少抽到1个编号为1的小球的概率为
∴1-
∴n=3或8（舍去），
∴编号为1的小球个数为3；
（2）一次从袋中随机抽取3个球，抽到编号为3的小球的概率为P=
∴有放回的抽取3次，恰有2次抽到编号为3的小球的概率为
（3）随机变量X所有可能的取值为1，2，3，则
P（X=1）=
∴随机变量X的分布列为：
∴E（X）=1×+2×+3×=．
解析
解：（1）设编号为1的小球个数为n（n∈N+，n≤4），
∵至少抽到1个编号为1的小球的概率为
∴1-
∴n=3或8（舍去），
∴编号为1的小球个数为3；
（2）一次从袋中随机抽取3个球，抽到编号为3的小球的概率为P=
∴有放回的抽取3次，恰有2次抽到编号为3的小球的概率为
（3）随机变量X所有可能的取值为1，2，3，则
P（X=1）=
∴随机变量X的分布列为：
∴E（X）=1×+2×+3×=．
组委会计划对参加某项田径比赛的12名运动员的血样进行突击检验，检查是否含有兴奋剂HGH成分．采用如下检测方法：将所有待检运动员分成4个小组，每组3个人，再把每个人的血样分成两份，化验室将每个小组内的3个人的血样各一份混合在一起进行化验，若结果中不含HGH成分，那么该组的3个人只需化验这一次就算合格；如果结果中含HGH成分，那么需对该组进行再次检验，即需要把这3个人的另一份血样逐个进行化验，才能最终确定是否检验合格，这时，对这3个人一共进行了4次化验，假定对所有人来说，化验结果中含有HGH成分的概率均为
（Ⅰ）求一个小组只需经过一次检验就合格的概率；
（Ⅱ）设一个小组检验次数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望；
（Ⅲ）至少有两个小组只需经过一次检验就合格的概率．（精确到0.01，参考数据：0.2713≈0.020，0.2714≈0.005，0.7292≈0.500）
正确答案
解：（Ⅰ）∵化验结果中含有HGH成分的概率均为
一个小组只需经过一次检验就合格，则必有此三个人的血样中均不含HGH成分
根据相互独立事件同时发生的概率公式得到
∴所求概率为
（Ⅱ）一个小组检验次数为随机变量ξ，若一次检验不合格，则要挨个检验三个人的血液，
最终结果要么查一次，要么查三次，得到变量的可能取值
∴随机变量ξ的取值可为1，4，
当变量是1时，上面已经做出结果，
当变量是4时，用三人都不含HGH成分的对立事件．
∴
∴ξ的分布列为
∴
（Ⅲ）四个小组中至少有两个小组只需经过一次检验就合格的对立事件是有一个或0个检验不合格，
根据对立事件的概率公式得到概率为
P=1-C40（0.729）0（0.271）4-C41（0.729）1（0.271）3≈0.94
解析
解：（Ⅰ）∵化验结果中含有HGH成分的概率均为
一个小组只需经过一次检验就合格，则必有此三个人的血样中均不含HGH成分
根据相互独立事件同时发生的概率公式得到
∴所求概率为
（Ⅱ）一个小组检验次数为随机变量ξ，若一次检验不合格，则要挨个检验三个人的血液，
最终结果要么查一次，要么查三次，得到变量的可能取值
∴随机变量ξ的取值可为1，4，
当变量是1时，上面已经做出结果，
当变量是4时，用三人都不含HGH成分的对立事件．
∴
∴ξ的分布列为
∴
（Ⅲ）四个小组中至少有两个小组只需经过一次检验就合格的对立事件是有一个或0个检验不合格，
根据对立事件的概率公式得到概率为
P=1-C40（0.729）0（0.271）4-C41（0.729）1（0.271）3≈0.94
市民李生居住在甲地，工作在乙地，他的小孩就读的小学在丙地，三地之间的道路情况如图所示．假设工作日不走其它道路，只在图示的道路中往返，每次在路口选择道路是随机的．同一条道路去程与回程是否堵车相互独立．假设李生早上需要先开车送小孩去丙地小学，再返回经甲地赶去乙地上班．假设道路A、B、D上下班时间往返出现拥堵的概率都是
（1）求李生小孩按时到校的概率；
（2）李生是否有七成把握能够按时上班？
（3）设ξ表示李生下班时从单位乙到达小学丙遇到拥堵的次数，求ξ的均值．
正确答案
解：（1）因为道路D、E上班时间往返出现拥堵的概率分别是
因此从甲到丙遇到拥堵的概率是
所以李生小孩能够按时到校的概率是1-0.15=0.85；
（2）甲到丙没有遇到拥堵的概率是
丙到甲没有遇到拥堵的概率也是
甲到乙遇到拥堵的概率是
甲到乙没有遇到拥堵的概率是
∴李生上班途中均没有遇到拥堵的概率是
（3）依题意ξ可以取0，1，2．
P（ξ=0）=
分布列是：Eξ==
解析
解：（1）因为道路D、E上班时间往返出现拥堵的概率分别是
因此从甲到丙遇到拥堵的概率是
所以李生小孩能够按时到校的概率是1-0.15=0.85；
（2）甲到丙没有遇到拥堵的概率是
丙到甲没有遇到拥堵的概率也是
甲到乙遇到拥堵的概率是
甲到乙没有遇到拥堵的概率是
∴李生上班途中均没有遇到拥堵的概率是
（3）依题意ξ可以取0，1，2．
P（ξ=0）=
分布列是：Eξ==
一个盒子里装有标号为1，2，3，…，n的n（n≥3，且n∈N*）张标签，今随机地从盒子里无放回地抽取两张标签，记ξ为这两张标签上的数字之和，若ξ=3的概率为
（1）求n的值；
（2）求ξ的分布列；
（3）求ξ的期望．
正确答案
解：（1）ξ=3的概率为
∵
∴
∴n=5；
（2）ξ的值可以是3，4，5，6，7，8，9．
∴分布列为
（3）∵Eξ=
∴Eξ=6．
解析
解：（1）ξ=3的概率为
∵
∴
∴n=5；
（2）ξ的值可以是3，4，5，6，7，8，9．
∴分布列为
（3）∵Eξ=
∴Eξ=6．
一项“过关游戏“规则规定：在第n 关要抛掷骰子n次，若这n次抛掷所出现的点数之和大于2n-1+1 （n∈N*），则算过关．
（1）求在这项游戏中第三关过关的概率是多少？
（2）若规定n≤3，求某人的过关数ξ的期望．
正确答案
解（1）设第三关不过关事件为A，则第三关过关事件为
由题设可知事件A是指第三关出现点数之和没有大于5．
因为第三关出现点数之和为3，4，5的次数分别为1，3，6知
P（A）=
∴P（
（2）设第一关不过关的事件为B，第二关不过关的事件为C．
依题意，得P（B）=
∵n≤3，
∴ξ的取值分别为0，1，2，3
∴P（ξ=0）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
∴ξ的分布列：
∴Eξ=0×+1×+2×+3×=
解析
解（1）设第三关不过关事件为A，则第三关过关事件为
由题设可知事件A是指第三关出现点数之和没有大于5．
因为第三关出现点数之和为3，4，5的次数分别为1，3，6知
P（A）=
∴P（
（2）设第一关不过关的事件为B，第二关不过关的事件为C．
依题意，得P（B）=
∵n≤3，
∴ξ的取值分别为0，1，2，3
∴P（ξ=0）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
∴ξ的分布列：
∴Eξ=0×+1×+2×+3×=
A、B两篮球队进行比赛，规定若一队胜4场则此队获胜且比赛结束（七局四胜制），A、B两队在每场比赛中获胜的概率均为
A
B
C
D
正确答案
解析
解：由题设知，比赛需要的场数ξ为4，5，6，7．
p（ξ=4）=（
p（ξ=7）=2
∴Eξ=4×
故选B．
某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品均互不影响．已知师父加工一个零件是精品的概率为
（Ⅰ）求徒弟加工该零件的精品数多于师父的概率；
（Ⅱ）设师徒二人加工出的4个零件中精品个数为ξ，求ξ的分布列与期望Eξ．
正确答案
解：设徒弟加工一个零件为精品的概率为P，则
师父加工两个零件中，精品个数的分布列为
徒弟加工两个零件中，精品个数的分布列为
（1）设徒弟加工该零件的精品数多于师父的概率为P1．则．
（2）P（ξ=0）==，
P（ξ=1）=+=
P（ξ=2）=++=
P（ξ=3）=+=
P（ξ=4）==
∴ξ的分布列为：
∴ξ的期望Eξ为．
答：（1）徒弟加工该零件的精品数多于师父的概率为P1=；（2）ξ的期望．
解析
解：设徒弟加工一个零件为精品的概率为P，则
师父加工两个零件中，精品个数的分布列为
徒弟加工两个零件中，精品个数的分布列为
（1）设徒弟加工该零件的精品数多于师父的概率为P1．则．
（2）P（ξ=0）==，
P（ξ=1）=+=
P（ξ=2）=++=
P（ξ=3）=+=
P（ξ=4）==
∴ξ的分布列为：
∴ξ的期望Eξ为．
答：（1）徒弟加工该零件的精品数多于师父的概率为P1=；（2）ξ的期望．
（Ⅰ）若从甲、乙两名学生中选择1人参加该知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由；
（Ⅱ）若从学生甲的6次培训成绩中随机选择2个，记选到的分数超过87分的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
正确答案
（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）学生甲的平均成绩
学生乙的平均成绩
又S2甲=
S2乙=
则
说明甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，则乙发挥更稳定，故应选择学生乙参加知识竞赛．（6分）
（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，1，2，
则P（ξ=0）=
ξ的分布列为
所以数学期望Eξ==．（12分）
解析
（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）学生甲的平均成绩
学生乙的平均成绩
又S2甲=
S2乙=
则
说明甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，则乙发挥更稳定，故应选择学生乙参加知识竞赛．（6分）
（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，1，2，
则P（ξ=0）=
ξ的分布列为
所以数学期望Eξ==．（12分）
（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（II）若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[40，60）记0分，在[60，80）记1分，在[80，100]记2分，用ξ表示抽取结束后的总记分，求ξ的分布列和数学期望．
正确答案
有（0.01+0.015×2+0.025+0.005）×10+x=1，
可得x=0.3，所以频率分布直方图如图所示．
（II）学生成绩在[40，60）的有0.25×60=15人，
在[60，80）的有0.45×60=27人，
在[80，100）的有0.3×60=18人，
ξ的可能取值是0，1，2，3，4．
则
所以ξ的分布列为：
∴
解析
有（0.01+0.015×2+0.025+0.005）×10+x=1，
可得x=0.3，所以频率分布直方图如图所示．
（II）学生成绩在[40，60）的有0.25×60=15人，
在[60，80）的有0.45×60=27人，
在[80，100）的有0.3×60=18人，
ξ的可能取值是0，1，2，3，4．
则
所以ξ的分布列为：
∴
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