- 概率
- 共7791题
某休闲场馆举行圣诞酬宾活动，每位会员交会员费50元，可享受20元的消费，并参加一次抽奖活动，从一个装有标号分别为1，2，3，4，5，6的6只均匀小球的抽奖箱中，有放回的抽两次球，抽得的两球标号之和为12，则获一等奖价值a元的礼品，标号之和为11或10，获二等奖价值100元的礼品，标号之和小于10不得奖．
(1)求各会员获奖的概率；
(2)设场馆收益为ξ元，求ξ的分布列；假如场馆打算不赔钱，a最多可设为多少元？
正确答案
解：(1)抽两次得标号之和为12的概率为
（2）
30
由
略
已知
正确答案
略
为支持2010年广洲亚运会，某班拟选派4人为志愿者参与亚运会，经过初选确定5男4女共9名同学成为候选人，每位候选人当选志愿者的机会均等．
（1）求女生1人，男生3人当选时的概率？
（2）设至少有几名男同学当选的概率为Pn，当Pn≥
正确答案
（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
由于每位候选人当选的机会均等，9名同学中选4人共有C94种选法，
其中女生1人且男生3人当选共有C41C53种选法，
∴概率P=
（2）∵P4=
P3=
P2=
∴要使Pn≥
在某次数学实验中，要求：实验者从装有8个黑球、2个白球的袋中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回．现有甲、乙两名同学，规定：甲摸一次，乙摸两次．求：
（I）甲摸出了白球的概率；
（II）乙恰好摸出了一次白球的概率；
（III）甲乙两人中至少有一个人摸出白球的概率．
正确答案
（I）由题意知这是一个古典概型，试验发生包含的事件数是10，
而满足条件的事件是2
设“甲摸出了白球”为事件A，
∴P(A)=
（II）由题意知这是一个独立重复试，
试验发生包含的事件是等可能事件，它发生的概率是
设“乙恰好摸出了一次白球”为事件B，
∴P（B）=
1
5
×
（III）甲乙两人中至少有一个人摸出白球的对立事件是甲和乙两个人都没有摸到白球，
两个人都没有摸到白球是相互独立的，概率为
设“甲乙两人中至少有一个人摸出白球”为事件C，
∴P(C)=1-
（本小题满分13分）
如图是两个独立的转盘（A）、（B），在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为
（1）求
（2）求随机变量
正确答案
略
（本小题满分12分）
某柑桔基地因冰雪灾害，使得果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果林的方案，每种方案都需分两年实施；若实施方案一，预计当年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5. 若实施方案二，预计当年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6. 实施每种方案，第二年与第一年相互独立。令
（1）写出
（2）实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？
（3）不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到灾前产量，预计可带来效益10万元；两年后柑桔产量恰好达到灾前产量，预计可带来效益15万元；柑桔产量超过灾前产量，预计可带来效益20万元；问实施哪种方案所带来的平均效益更大？
正确答案
（1）
（2）方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大。
（3）方案一所带来的平均效益更大。
（1）
（2）令A、B分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件，
可见，方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大。
（3）令
所以
可见，方案一所带来的平均效益更大。
100件产品中有一等品60件，二等品40件．每次抽取1件，抽后放回，共抽取5次，求抽到一等品为奇数件的概率．
正确答案
设ξ是抽到一等品次数，每次抽到一等品的概率为
由于共抽取了50次，故ξ～B（50，
3
5
)k(
2
5
)50-k，k=0，1，2，3…50．
则P（ξ=偶数）+P（ξ=奇数）=1，
又P（ξ=偶数）-P（ξ=奇数）=[
3
5
)0(
2
5
)50+
3
5
)2(
2
5
)48+…+
3
5
)50(
2
5
)0]-[
3
5
)1(
2
5
)49+
3
5
)3(
2
5
)47+…+
3
5
)49(
2
5
)1]
=(
3
5
-
2
5
) 50=(
1
5
)50 …由此可得P（ξ=奇数）=
1
5
)50]
故抽到一等品为奇数件的概率是
1
5
)50]
在0，1，2，3，4，5这六个数字所组成的没有重复数字的三位数中，其各个数字之和为9的三位数共有______个（用数字作答）．
正确答案
∵要使得各个数字之和为9，
∴所选的数字是这三组：0、4、5；2、3、4；1、3、5．
∵组成的没有重复数字的三位数，
∴第一组排列时有C21A22种结果，
第二组和第三组排列的结果数是2A33，
∴一共有C21A22+2A33=16，
故答案为：16．
在0，1，2，3，4，5这六个数字所组成的没有重复数字的三位数中，其各个数字之和为9的三位数共有______个（用数字作答）．
正确答案
∵要使得各个数字之和为9，
∴所选的数字是这三组：0、4、5；2、3、4；1、3、5．
∵组成的没有重复数字的三位数，
∴第一组排列时有C21A22种结果，
第二组和第三组排列的结果数是2A33，
∴一共有C21A22+2A33=16，
故答案为：16．
袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．
（Ⅰ）采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率；
（Ⅱ）采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记ξ为摸出两球中白球的个数，求ξ的期望和方差．
正确答案
（Ⅰ）记“摸出一球，放回后再摸出一个球，两球颜色不同”为事件A，
摸出一球得白球的概率为
摸出一球得黑球的概率为
由互斥事件和相互独立事件的概率公式得到
∴P（A）=
（Ⅱ）由题意知ξ可取0，1，2，
∵当ξ=0时，表示摸出两球中白球的个数为0，
当ξ=1时，表示摸出两球中白球的个数为1，
当ξ=2时，表示摸出两球中白球的个数为2，
∴依题意得P(ξ=0)=
∴Eξ=0×
Dξ=(0-
即摸出白球个数ξ的期望和方差分别是
某校15名学生组成该校“科技创新周”志愿服务队（简称“科服队”），他们参加活动的有关数据统计如下：
（1）从“科服队”中任选3人，使得这3人参加活动次数各不相同，这样的选法共有多少种？
（2）从“科服队”中任选2人，求这2人参加活动次数之和大于3的概率．
正确答案
（1）在参加活动次数为1，2，3的三组学生中各取一个人，
则选法种数为C31C41C81=96．
故3人参加活动次数各不相同的选法共有96种．
（2）根据题意，“2人参加活动次数之和不大于3”与“2人参加活动次数之和大于3”为对立事件，
则2人参加活动次数之和不大于3的概率为P1=
故他们参加活动次数之和大于3的概率为P2=1-P1=1-
所以，2人参加活动次数之和大于3的概率
将一颗正方体型骰子投掷2次，求：
（1）向上的点数之和是8的概率；
（2）向上的点数之积是12的概率．
正确答案
将一颗正方体型骰子投掷2次，每个骰子有6种可能，共有36种可能；
（1）记向上的点数之和是8为事件A，其情况有（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）；共5种．
因此，由古典概型计算公式可得：p(A)=
（2）记向上的点数之积是12为事件B，其情况有（2，6），（3，4），（4，3），（6，2）；共4种．
因此，由古典概型计算公式可得：p(B)=
将一颗正方体型骰子投掷2次，求：
（1）向上的点数之和是8的概率；
（2）向上的点数之积是12的概率．
正确答案
将一颗正方体型骰子投掷2次，每个骰子有6种可能，共有36种可能；
（1）记向上的点数之和是8为事件A，其情况有（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）；共5种．
因此，由古典概型计算公式可得：p(A)=
（2）记向上的点数之积是12为事件B，其情况有（2，6），（3，4），（4，3），（6，2）；共4种．
因此，由古典概型计算公式可得：p(B)=
某保险公司新开设了一项保险业务，规定该份保单在一年内如果事件E发生，则该公司要赔偿a元，假若在一年内E发生的概率为p，为使公司受益的期望值不低于a的
正确答案
用随机变量ξ表示此项业务的收益额，x表求顾客缴纳的保险金，
则ξ的所有可能取值为x，x-a，
且P（ξ=x）=1-p，P（ξ=x-a）=p，
∴Eξ=x（1-p）+（x-a）p=x-ap，
∵公司受益的期望值不低于a的
∴x-ap≥
∴x≥（p+0.1）a（元）．
故答案为：（p+0.1）a．
已知某高中某班共有学生50人，其中男生30人，女生20人，班主任决定用分层抽样的方法在自己班上的学生中抽取5人进行高考前心理调查．
（I）若要从这5人中选取2人作为重点调查对象，求至少选取1个男生的概率；
（II）若男生学生考前心理状态好的概率为0.6，女学生考前心理状态好的概率为0.5，ξ表示抽取的5名学生中考前心理状态好的人数，求P（ξ=1）及Eξ．
正确答案
（I）男生被抽取人数为3人，女生被抽取人数为2人
选取的两名学生都是女生的概率P=
∴所求的概率为：1-P=
（II）P（ξ=1）=C31×0.6×0.42×0.52+C21×0.43×0.52=0.104
用ξ1表示3个男生中考前心理状态好的人数，ξ2表示2个女生考前心理状态好的人数，
则ξ1～B（3，0.6），ξ2～B（2，0.5），
∴Eξ1=3×0.6=1.8，Eξ2=2×0.5=1，
∴Eξ=Eξ1+Eξ2=2.8
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