- 概率
- 共7791题
抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为A，B．（注：正四面体是共有四个面，且每个面都是正三角形的空间几何体）
（1）求
（2）若在构成的所有不同直线Ax-By=0中任取一条，求能使直线的倾斜角小于45°的概率．
正确答案
解：（1）∵A，B∈{1，2，3，4}，
∴有序数对（A，B）所有可能的情形有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）
共有16种． …（3分）
记“
则事件A所含的基本事件的有（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，3），（4，1），（4，2），（4，4），共8种．…（6分）
所以
即
（2）在所有的直线Ax-By=0中，
x-y=0，2x-2y=0，3x-3y=0，4x-4y=0表示同一条直线，
x-2y=0，2x-4y=0表示同一条直线，
2x-y=0，4x-2y=0也表示同一条直线，
所以，所有不同直线Ax-By=0的条数为16-5=11，…（11分）
记“直线Ax-By=0的倾斜角小于45°”为事件B，
则满足事件B的直线有：x-2y=0，x-3y=0，x-4y=0，2x-3y=0，3x-4y=0，
即事件B所含的基本事件共有5种，…（14分）
所以
解析
解：（1）∵A，B∈{1，2，3，4}，
∴有序数对（A，B）所有可能的情形有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）
共有16种． …（3分）
记“
则事件A所含的基本事件的有（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，3），（4，1），（4，2），（4，4），共8种．…（6分）
所以
即
（2）在所有的直线Ax-By=0中，
x-y=0，2x-2y=0，3x-3y=0，4x-4y=0表示同一条直线，
x-2y=0，2x-4y=0表示同一条直线，
2x-y=0，4x-2y=0也表示同一条直线，
所以，所有不同直线Ax-By=0的条数为16-5=11，…（11分）
记“直线Ax-By=0的倾斜角小于45°”为事件B，
则满足事件B的直线有：x-2y=0，x-3y=0，x-4y=0，2x-3y=0，3x-4y=0，
即事件B所含的基本事件共有5种，…（14分）
所以
袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各1个，从中任取1只，有放回地抽取3次．求：
（Ⅰ）3只颜色全相同的概率；
（Ⅱ）3只颜色不全相同的概率．
（Ⅲ）若摸到红球时得2分，摸到黄球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率．
正确答案
解：利用树状图我们可以列出有放回地抽取3次球的所有可能结果：
（Ⅰ）3只颜色全相同的概率为P2=2•P1=2•
（Ⅱ） 3只颜色不全相同的概率为P3=1-P2=1-
（Ⅲ）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
记“3次摸球所得总分为5”为事件A
事件A包含的基本事件为：（红、红、黑）、（红、黑、红）、（黑、红、红）事件A包含的基本事件数为3
由（I）可知，基本事件总数为8，所以事件A的概率为
解析
解：利用树状图我们可以列出有放回地抽取3次球的所有可能结果：
（Ⅰ）3只颜色全相同的概率为P2=2•P1=2•
（Ⅱ） 3只颜色不全相同的概率为P3=1-P2=1-
（Ⅲ）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
记“3次摸球所得总分为5”为事件A
事件A包含的基本事件为：（红、红、黑）、（红、黑、红）、（黑、红、红）事件A包含的基本事件数为3
由（I）可知，基本事件总数为8，所以事件A的概率为
不透明的袋子中装有除颜色不同其它完全一样的黑、白小球共10只，从中任意摸出一只小球得到是黑球的概率为
正确答案
解析
解：由题意，黑球4个，白球6个，则从中任意摸出2只小球，至少得到一只白球的概率为1-
故答案为：
A、B2人各进行1次射击，如果2人击中目标的概率都是0.6，求
（1）2人都击中目标的概率．
（2）其中恰好有1人击中目标的概率．
（3）至少有一人击中目标的概率．
正确答案
解：（1）A、B2人各进行1次射击，如果2人击中目标的概率都是0.6，
两个人能否击中是相互独立的
∴2人都击中目标的概率是0.6×0.6=0.36
（2）恰好有1人击中，表示A击中B没有击中，
或表示A没有击中B击中，这两个事件是互斥事件，
根据相互独立事件和互斥事件的概率公式得到
P=0.4×0.6+0.4×0.6=0.48
（3）至少有一人击中目标的对立事件是没有人击中目标，
没有人击中目标的概率是（1-0.6）（1-0.6）=0.16，
根据对立事件的概率公式得到
至少一个人击中目标的概率是1-0.16=0.84
解析
解：（1）A、B2人各进行1次射击，如果2人击中目标的概率都是0.6，
两个人能否击中是相互独立的
∴2人都击中目标的概率是0.6×0.6=0.36
（2）恰好有1人击中，表示A击中B没有击中，
或表示A没有击中B击中，这两个事件是互斥事件，
根据相互独立事件和互斥事件的概率公式得到
P=0.4×0.6+0.4×0.6=0.48
（3）至少有一人击中目标的对立事件是没有人击中目标，
没有人击中目标的概率是（1-0.6）（1-0.6）=0.16，
根据对立事件的概率公式得到
至少一个人击中目标的概率是1-0.16=0.84
在两个袋内，分别装着写有0，1，2，3，4，5六个数字的6张卡片，今从每个袋中任取一张卡片，则两数之和等于5的概率为______．
正确答案
解析
解：由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件是两数之和共有如下图所示36种情况．
其中和为5的从表中可以看出有6种情况，
∴所求事件的概率为 
故答案为：
三个好朋友同时考进同一所高校，该高校有10个专业，则至少有2人分在同一专业的概率为______．
正确答案
解析
解：由题意，考虑其对立事件：3人都没有分在同一专业的概率为
故答案为
某学校共在2008名学生，将从中选项派5名学生在某天去国家大剧院参加音乐晚会，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样从2008名学生中剔除8名学生，再从2000名学生中随机抽取5名，则其中学生甲被选取的概率是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：先用简单随机抽样从2008名学生中剔除8名学生，甲未被剔除的概率是
再从2000名学生中随机抽取5名的概率是
故选D．
将一颗骰子（一个六个面分别标有1，2，3，4，5，6的正方体）先后抛掷两次，向上的点数分别记为a，b，则a+b为3的倍数的概率是______．
正确答案
解析
解：由题意知本题是一个古典概型，
∵试验发生的总事件是6×6，
而向上的点数分别记为a，b，a+b为3的倍数包括（1，2）（1，5）（2，1）（2，4）（3，3）（3，6）（4，2）（4，5）（5，1）（5，4）
（6，3）（6，6）共有12种，
由古典概型公式得到
P=
故答案为：
如果A，B是互斥事件，那么下列正确的是（ ）
AA+B是必然事件
B
C
DA与
正确答案
解析
解：假设一个随机事件由A、B、C、D这4个彼此互斥的基本事件构成，则事件
故A+B不是必然事件，
故A、C、D不正确，只有B正确，
故选B．
汽车年检必须对尾气的碳排放量进行环保检测，二氧化碳排放量超过130g/km的轻型汽车被认为是超标．检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下（单位：g/km）．
经测算乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为
（1）从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆，求至少有一辆二氧化碳排放量超标的概率多少？
（2）求表中x的值，并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性．
正确答案
解：（1）5辆甲型车中，二氧化碳排放量超标的有2辆，从中任取2辆，这两辆车的二氧化碳排放量都不超标的概率为
故至少有一辆二氧化碳排放量超标的概率为1-
（2）由题意可得 
甲型车二氧化碳排放量的平均值
乙型车二氧化碳排放量的平均值
故乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性更好一些．
解析
解：（1）5辆甲型车中，二氧化碳排放量超标的有2辆，从中任取2辆，这两辆车的二氧化碳排放量都不超标的概率为
故至少有一辆二氧化碳排放量超标的概率为1-
（2）由题意可得
甲型车二氧化碳排放量的平均值
乙型车二氧化碳排放量的平均值
故乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性更好一些．
A与B比赛，若一队胜四场则赢，俩队水平相当．
求：（1）A队一、五场输，二、三、四赢，最后获胜的概率
（2）若要决出胜负，平均要比几场？
正确答案
解：（1）A队若第六场赢，概率为P1=
A队若第六场输，第七场赢，概率为P2=
∴A队最终获胜的概率为 
（2）设ξ为比赛场数，则ξ可能取值为4，5，6，7，
P（ξ=4）=2•
P（ξ=6）=2
Eξ=4×
解析
解：（1）A队若第六场赢，概率为P1=
A队若第六场输，第七场赢，概率为P2=
∴A队最终获胜的概率为
（2）设ξ为比赛场数，则ξ可能取值为4，5，6，7，
P（ξ=4）=2•
P（ξ=6）=2
Eξ=4×
若在区间（-1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，则直线ax-by=0与圆（x-1）2+（y-2）2=1相交的概率为______．
正确答案
解析
解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是在区间（-1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，
对应的面积是2×1=2，
满足条件的事件是圆心（1，2）到直线的距离小于或等于半径，
即
∴4a≥3b，
在所有事件组成的集合中，满足3b≥4a有x轴左边，b＜1的部分，
∴要求的概率是
故答案为：
有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表．
已知在全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为
（Ⅰ）请完成上面的列联表；
（Ⅱ）从105名学生中选出10名学生组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从105人中剔除5人，剩下的100人再按系统抽样的方法抽取10人，请写出在105人 中，每人入选的概率．（不必写过程）
（Ⅲ）把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和作为被抽取人的序号，试求抽到6号或10号的概率．
正确答案
解：（Ⅰ）根据题意，共有105人，从中随机抽取1人为优秀的概率为
则两个班优秀的人数为
乙班优秀的人数为30-10=20；
又由总人数为105和两个班的优秀生共30人，可得两个班的非优秀生共105-30=75人，
则甲班非优秀生有75-30=45人；
进而可得，甲班总人数为10+45=55，乙班总人数为20+30=50；
填入表格为
（Ⅱ）
（Ⅲ）设“抽到6或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为（x，y）．
所有的基本事件有（1，1）、（1，2）、（1，3）、…、（6，6），共36个；
事件A包含的基本事件有：（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1）（4，6）、（5，5）、（6、4），共8个，
P（A）=
答：抽到6号或10号的概率为
解析
解：（Ⅰ）根据题意，共有105人，从中随机抽取1人为优秀的概率为
则两个班优秀的人数为
乙班优秀的人数为30-10=20；
又由总人数为105和两个班的优秀生共30人，可得两个班的非优秀生共105-30=75人，
则甲班非优秀生有75-30=45人；
进而可得，甲班总人数为10+45=55，乙班总人数为20+30=50；
填入表格为
（Ⅱ）
（Ⅲ）设“抽到6或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为（x，y）．
所有的基本事件有（1，1）、（1，2）、（1，3）、…、（6，6），共36个；
事件A包含的基本事件有：（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1）（4，6）、（5，5）、（6、4），共8个，
P（A）=
答：抽到6号或10号的概率为
4位男运动员和3位女运动员排成一列入场；女运动员排在一起的概率是______；男、女各排在一起的概率是______；男女间隔排列的概率是______．
正确答案
解析
解：由题意知，本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是7个人排列，共有A77，
满足条件的事件分别是女运动员排在一起，共有A55A33种结果，男、女各排在一起有A22A33A44种结果，
男女间隔排列共有A44A53种结果，
根据等可能事件的概率公式得到女运动员排在一起的概率是
男、女各排在一起的概率是
男女间隔排列的概率是
故答案为：
箱子内有4个白球，3个黑球，5个红球，从中任取一球，取到的是红球的概率为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：箱子内有4个白球，3个黑球，5个红球，从中任取一球，取到的是红球的概率为
故选D．
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