利用基本不等式求最值
共109题

利用基本不等式求最值
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题型：简答题

简答题 · 12 分

18．某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层.每层4000平方米的楼房。经初步估计得知，如果将楼房建为x（x12）层，则每平方米的平均建筑费用为Q(x)=3000+50x（单位：元）,为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费最小值是多少？

（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）

正确答案

解：设楼房每平方米的平均综合费为元，依题意得

法一:

当且仅当上式取”=”

因此，当时，取得最小值5000(元).

为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费最小值为5000元

法二：

解析

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知识点

函数模型的选择与应用利用基本不等式求最值

题型：单选题

单选题 · 5 分

9．设满足约束条件，若目标函数的最大值为,则的最小值为（）

正确答案

解析

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知识点

求线性目标函数的最值利用基本不等式求最值

题型：单选题

单选题 · 5 分

11．已知函数的反函数为，若，则的最小值为（）

正确答案

解析

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知识点

指数函数与对数函数的关系反函数利用基本不等式求最值

题型：填空题

填空题 · 5 分

7.设x,y均为正数,且，则xy的最小值为________

正确答案

解析

　去分母后为xy-7=3(x+y)≥,解得xy≥49。

知识点

利用基本不等式求最值

题型：单选题

单选题 · 5 分

6.在四边形ABCD中,M为AC上一点，且,N为BM上一点，且 (s>0,t>0)，若向量=(2s-1,t+1)，则取最小值时，向量为（）

正确答案

解析

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知识点

平面向量的基本定理及其意义利用基本不等式求最值

题型：填空题

填空题 · 5 分

15.已知总体的各值由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20，且总体的中位数为10.5。若要使该总体的方差最小，则a,b的取值分别是________

正确答案

10.5 10.5

解析

这10个数的中位数为=10.5,平均数为10.

要使总体方差最小,即要(a-10)2+(b-10)2最小,即a2+b2-20(a+b)+200最小,

∵a>0,b>0,∴a2+b2≥ (当且仅当a=b时取等号),

又a+b=21,∴当a=b=10.5时,方差取得最小值。

知识点

利用基本不等式求最值众数、中位数、平均数极差、方差与标准差

题型：单选题

单选题 · 5 分

6.已知a=(x,1)，b=(2,－x)，那么的取值范围是（）

A[－,]

B[－,]

C[－,]

D[－,]

正确答案

解析

==.

若x=0,则=0；

若x>0,由于=+2x≥=

则0<≤=；

若x<0,由于--2x≥=

则=+2x≤-,那么≥-=-

即-≤<0.

知识点

平面向量数量积的含义与物理意义利用基本不等式求最值

题型：单选题

单选题 · 5 分

4.若直线 =1通过点M(cos α，sin α)，则的最小值为（）.

正确答案

解析

设向量m=(cosα，sinα)，n=，

由题意知，由m·n≤|m||n|可得1=≤

即的最小值是1，故选B.

知识点

函数的最值利用基本不等式求最值

题型：单选题

单选题 · 5 分

6.已知0<x<2，则+的最小值是（）

D10

正确答案

解析

因为0<x<2，所以0<2－x<2，

所以+=(+)·=≥=8

当且仅当，即x=时，等号成立.故选C.

知识点

利用基本不等式求最值

题型：单选题

单选题 · 5 分

4.若数列满足,n∈N*,p为非零常数，则称数列为“可塑数列”。已知正项数列为“可塑数列”，且b1b2b3…b99=599,则b10·b90=（）

A20

B25

C15

正确答案

解析

依题意可得bn+1=pbn,则数列为等比数列。又b1b2b3…b99=599,所以b50=5,故b10·b90==25.

知识点

等比数列的判断与证明等比数列的性质及应用利用基本不等式求最值

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