热门试卷

（1）详见解析；（2）求直线与面所成角的正弦值为.

试题分析：（1）利用折叠前以及、在同一平面内，得到在折叠后，由已知条件，结合直线与平面垂直的判定定理可以证明平面，最终利用平面与平面垂直的判定定理即可证明平面平面；（2）解法一是利用空间向量法，即以点为坐标原点，、分别为轴、轴建立空间坐标系，将二面角为进行适当转化，再利用空间向量法求出直线与面所成角的正弦值；解法二是利用到（1）中的结论平面，只需作交于点，于是确定直线与面所成角为，借助点为的中点从而得到为中位线，于是确定点为的中点，连接，在直角三角形中计算出.

试题解析：（1）证明：DEAE，CEAE，，

 AE平面，   3分

 AE平面，平面平面．  5分

（2）（方法一）以E为原点，EA、EC分别为轴，建立空间直角坐标系  6分

DEAE，CEAE，是二面角的平面角，即=，  7分

，，，

A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，1，0），E（0，0，0），D（0，，1）．  9分

、分别是、的中点，F，G   10分

=，=，  11分

由（1）知是平面的法向量，    12分

设直线与面所成角，则，

故求直线与面所成角的正弦值为．   14分（列式1分，计算1分）

（方法二）作，与相交于，连接  6分

由（1）知AE平面，所以平面，是直线与平面所成角  7分

是的中点，是的中位线，，  8分

因为DEAE，CEAE，所以是二面角的平面角，即= 9分

在中，由余弦定理得，

（或）  11分（列式1分，计算1分）

平面，所以，在中，   13分

所以直线与面所成角的正弦值为  14分

（Ⅰ）45°

（Ⅱ）30°

:如图,以D为原点,DA为单位长建立空间直角坐标系D-xyz.

则.

连结.在平面中,延长DP交于H.

设,由已知,

由

可得.解得.

所以.

(I)因为,

所以.

即DP与所成的角为.

(II)平面的一个法向量是.

因为,

所以.

可得DP与平面所成的角为.

证明如下：

取的中点连结，则

，，    

取的中点，连结，

∵且，

∴△是正三角形，∴．

∴四边形为矩形，∴．又∵，

∴且，四边形是平行四边形．

∴，而平面，平面，∴平面6分

（或可以证明面面平行）

（2）（法1）过作的平行线，过作的垂线交于，连结，

∵，∴，是平面与平面所成二面角的棱8分

∵平面平面，，∴平面，

又∵平面，∴平面，∴，

∴是所求二面角的平面角．  10分

设，则，，

∴，

∴．  

           1２分

（法2）∵，平面平面，

∴以点为原点，直线为轴，直线为轴，

建立空间直角坐标系，则轴在平面内（如图）．

设，由已知，得，，．

∴，，…………………8分

设平面的法向量为，

则且，

∴∴解之得

取，得平面的一个法向量为.        

又∵平面的一个法向量为．

．

     1２分

略

（Ⅰ）证明见解析。

（Ⅱ）

解法一：（Ⅰ）平面平面，

．在中，，

，，又，

，，即．

又，平面，

平面，平面平面．

（Ⅱ）如图，作交于点，连接，

由已知得平面．

是在面内的射影．

由三垂线定理知，

为二面角的平面角．

过作交于点，

则，，

．

在中，．

在中，．

，

即二面角为．

解法二：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，

则，

，．

点坐标为．

，．

，，，，又，

平面，又平面，平面平面．

（Ⅱ）平面，取为平面的法向量，

设平面的法向量为，则．

，

如图，可取，则，

，

即二面角为．

AB与CD所成的角应是∠EGF的补角为60°

 如图所示，在线段BD上取一点G，使=.连接GF、GE、EF.

===，GE∥AB，且GE=AB=2，

同理，GF∥CD，且GF=CD=1，

在△EGF中，cos∠EGF==-,

∴∠EGF=120°.

由GF∥CD,GE∥AB可知,AB与CD所成的角应是∠EGF的补角为60°.

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 平面DAB与平面ABC的夹角的余弦值为；

（Ⅲ）异面直线与所成角的余弦值为 。

本试题主要是考查了线线的垂直和二面角的求解，以及异面直线的所成的角的求解的综合运用。

（1）先根据线面垂直的性质定理得到线线垂直的判定。

（2）要求解二面角的平面角可以运用三垂线定理作出角，或者利用空间向量表示的二面角平面角。

（3）对于异面直线的所成的角，可以通过平移法得到结论。

（Ⅰ）分别取、的中点、，连结、．

∵是正三角形，∴．

∵面⊥面，且面面，

∴平面．∵是的中位线，且平面，∴平面．

以点为原点，所在直线为轴，所   

在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系．设，则，

，， ，．

∴，．            ……………………2分

∴．

∴，即 ．                      …………………5分

（Ⅱ）∵平面，    ∴平面的法向量为．            

设平面的法向量为，∴，．

∴，即 ．

，即 ．

∴令，则，．    ∴．               

 ．

平面DAB与平面ABC的夹角的余弦值为         …………………10分

（Ⅲ）∵，，

∴．

∴异面直线与所成角的余弦值为                 …………………14