- 点、直线、平面之间的位置关系
- 共9241题
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AC与A1D所成的角为（ ）。
正确答案
60°
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=
正确答案
60°
如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BC，DC的中点，则异面直线AD1与EF所成角等于______．
正确答案
连结BD，BC1，DC1，
因为E，F分别是BC，DC的中点，所以EF∥BD，
在正方体中，AD1∥BC1，
所以BD与BC1所成的角即为异面直线AD1与EF所成角．因为三角形BDC1为正三角形，
所以BD与BC1所成的角为600，所以异面直线AD1与EF所成角等于600．
故答案为：600
如图所示，在三棱锥C-ABD中，E、F分别是AC和BD的中点，若CD=2AB=4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角是（ ）。
正确答案
30°
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=3，AA1=4，则异面直线AB1与A1D所成的角的余弦值为（ ）。
正确答案
已知正四面体S﹣ABC，M为AB之中点，则SM与BC所成的角的正切值是（ ）．
正确答案
在正四面体ABCD中，点E为棱AD的中点，则异面直线AB与CE所成角的大小为______．
正确答案
如图所示，取BD的中点F，连接EF，CF，
则EF与CE所成的角即为异面直线AB与CE所成角，
设正四面体ABCD的棱长为2a，（a＞0），
则EF=
故在△CEF中，cos∠CEF=
=
故∠CEF=arccos
故答案为：arccos
如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则直线AC和MN所成的角的度数是（ ）度．
正确答案
60
如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM和CN所成角的余弦值为______．
正确答案
如图，将AM平移到B1E，NC平移到B1F，则∠EB1F为直线AM与CN所成角
设边长为1，则B1E=B1F=
∴cos∠EB1F=
故答案为
如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中点，则异面直线A1C与AE所成角的余弦值是______．
正确答案
以D为坐标原点，建立空间直角坐标如图；设正方体的棱长为1，
则A（1，0，0），A1（1，0，1），B1（1，1，1，），C（0，1，0），
因为E是棱A1B1的中点，所以E（1，
所以
所以异面直线A1C与AE所成角的余弦值为cos＜
故答案为：
附加题
如图所示，在直角梯形OABC中，
（1）求异面直线MN与BC所成的角；
（2）求MN与面SAB所成的角．
正确答案
解：（1）以OC，OA，OS所在直线建立空间直角坐标系O﹣xyz，
则S（0，0，1），C（2，0，0），A（0，1，0），B（1，1，0），
所以N（
∴ 
∴直线MN与BC所成角的余弦值为
∴直线MN与BC所成角为 
（2）设平面SAB的一个法向量为
令b=1可得法向量
∵ 
∴直线MN与面SAB所成角的正弦值为| 
∴直线MN与面SAB所成角为
直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=
求：（1）FE与底面所成角的大小；
（2）异面直线EF和A1B所成角的大小。
正确答案
解：（1）45°；
（2）30°。
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1。
（1）证明：PC⊥AD；
（2）求二面角A-PC-D的正弦值；
（3）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长。
正确答案
解：（1）证明：由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AD，
又由AD⊥AC，PA∩AC=A，
故AD⊥平面PAC，
又PC?平面PAC，
所以PC⊥AD。
（2）如图，作AH⊥PC于点H，连接DH，
由PC⊥AD，PC⊥AH，
可得PC⊥平面ADH，
因此DH⊥PC，从而∠AHD为二面角A-PC-D的平面角
在RT△PAC中，PA=2，AC=1，所以AH=
由（1）知，AD⊥AH，在RT△DAH中，DH=
因此sin∠AHD=
所以二面角A-PC-D的正弦值为
（3）如图，因为∠ADC＜45°，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF，故∠EBF（或其补角）为异面直线BE与CD所成的角
由于BF∥CD，故∠AFB=∠ADC，
在RT△DAC中，CD=
故sin∠AFB=
在△AFB中，由
可得BF=
由余弦定理，BF2=AB2+AF2-2ABAFcos∠FAB，得出AF=
设AE=h，在RT△EAF中，EF=
在RT△BAE中，BE=
在△EBF中，因为EF＜BE，从而∠EBF=30°，
由余弦定理得到，cos30°=
即AE=
如图所示，在直角梯形OABC中，
（1）求异面直线MN与BC所成的角；
（2）求MN与面SAB所成的角．
正确答案
解：（1）以OC，OA，OS所在直线建立空间直角坐标系O﹣xyz，
则S（0，0，1），C（2，0，0），A（0，1，0），B（1，1，0），
所以N（
∴
∴直线MN与BC所成角的余弦值为
∴直线MN与BC所成角为
（2）设平面SAB的一个法向量为
令b=1可得法向量 
∵
∴直线MN与面SAB所成角的正弦值为|
∴直线MN与面SAB所成角为
如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，
（1）求二面角A﹣DF﹣B的大小；
（2）在线段AC上找一点P，使PF与AD所成的角为60°，试确定点P的位置．
正确答案
解：（1）以
∴面ADF的法向量
设面DFB法向量
所以
令a=1，得
∴
∴二面角A﹣DF﹣B的大小60°
（2）设
∴
∵
∴
解得
故存在满足条件的点P为AC的中点．
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