热门试卷

若l⊥m，l⊥α，则m⊂α或m∥α，结合m⊂β，此时α与β可能平行也可能相交，故①错误；

若α∥β，l⊥α，则l⊥β，再由m⊂β，可得l⊥m，故②正确；

若l∥m，l⊥α，则m⊥α，再由m⊂β，可得α⊥β，故③正确；

若α⊥β，l⊥α，则l⊂β或l∥β，结合m⊂β，此时l与m可能平行，可能相交，也可能异面，故④错误；

故答案为：②③

①a∥α，b⊂α，则a∥b；不正确，a与b可能异面；

②a∩α=P，b⊂α，则a与b不平行；正确，如果a与b平行，则a与b共面，与条件矛盾；

③a⊄α，则a∥α；不正确，a可能与α相交；

④a∥α，b∥α，则a∥b，不正确，a与b可能相交，也可能异面；

故答案为：①③④．

（1）若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故（1）错误；

（2）若a⊥b，a⊥α，则b∥α或b⊂α，又由b⊄α，可得b∥α，故（2）正确；

（3）若α⊥β，a⊥α，则a∥β或a⊂β，又由b⊥β，则a⊥b，故（3）正确；

（4）若a，b是异面直线，a⊂α，b⊂β，则α与β可能平行与可能相交，故（4）错误．

故答案为：（2），（3）

∵a∥α，b∥α，∴a与b相交、平行或异面，

故（1）不正确；

∵a∥b，b⊂α，∴a∥α或a⊂α，

故（2）不正确；

a⊥c，b⊥α，则a与b相交、平行或异面，

故（3）不正确；

a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，

若b与c相交，则a⊥α，或b∥c，则a与α不一定垂直，

故（4）不正确；

a∥b，b⊥α，c⊥α，则b∥c，∴a∥c，

故（5）正确．

故答案为：（5）．

①根据线面垂直的定义可知，当l⊥α，m⊂α时一定有l⊥m，所以①正确．

②当l∥α时无法确定直线l的位置，所以l∥m或l，m是异面直线，所以②错误．

③垂直于同一个平面的两个平面不一定平行，所以③错误．

④当l⊄α时，有直线l∥α，当l⊂α时，结论不成立，所以④错误．

故答案为：①．

对于①，平行于同一个平面的两条直线的位置关系可能是相交、平行或异面，

故由“m∥α，n∥α”，不一定得到“m∥n”，得①是假命题；

对于②，若“m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，且m∩n=O”，则“α∥β”成立，

但条件中缺少了“m∩n=O”，故结论“α∥β”不一定成立，得②是假命题；

对于③，若“α⊥β，m⊂α，且m垂直于α、β的交线”，则“m⊥β”成立，

但条件中缺少了“m垂直于α、β的交线”，故结论“m⊥β”不一定成立，得③是假命题；

对于④，因为α⊥β，m⊥β，所以“平面α∥直线m”或“m⊂α”

而条件中有“m⊄α”，故必定有“m∥α”成立，得④是真命题．

故答案为：④

①由m∥β，α⊥β，可得m⊥α，结合l⊥α可得l∥m；①错误

②由l∥m，m⊥α，可得l⊥α，由l⊥β，面面平行的判定定理可得α∥β；②正确

③l∥α，α∥β，可得l∥β或l⊆β，由m∥β，则可得l∥m或m与l相交或异面；③错误

④由面面垂直的性质：若两平面垂直，则在其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面可知：α⊥β，α∩β=m，l⊂β，l⊥m，则l⊥α正确；④正确

故答案为：②④

①由l∥α，l∥β，不一定推出α∥β．反例如图：

所以①不正确；

②如图所示：

过l作平面γ交平面α于直线a，

因为l∥α，所以l∥a，又l⊥β，所以a⊥β，

a⊂α，故α⊥β，所以②正确；

③由α⊥β，l⊥α，不能推出l⊥β；反例如图：故③不正确；

④若α⊥β，l∥α，未必有l⊥β．反例如图：

故④不正确；

①若m∥n，m⊥α，则n⊥α成立，所以①正确．

②根据线面平行的性质可知，只有当m⊂β时，结论才成立．所以②错误．

③根据线面垂直的性质可知，垂直于同一条直线的两个平面是平行的，所以③正确．

④根据面面垂直的判定定理可知，④正确．

故不正确的是②．

故答案为；②．

由m，n表示不同直线，α，β，γ表示不同平面，知：

①∵α∩β=m，n⊂α，n⊥m，

∴n⊥β，∴α⊥β，故①是真命题；

②α⊥β，α∩β=m，α∩γ=n，

则n与m相交、平行或异面，故②不正确；

③若α⊥β，α⊥γ=m，β∩γ=m．

则m⊂α，故③不正确．

④根据异面直线所成角的概念，m⊥n可按相交垂直分析，

又m⊥α，n⊥β，可知α与β所成二面角的平面角为直角，

∴α⊥β，故④正确．

故答案为：①④．

由面面平行的判定定理可知，（1）正确．由线面平行的判定定理可知，（2）正确．

对于（3）来说，α内直线只垂直于α和β的交线l，得不到其是β的垂线，故也得不出α⊥β．

对于（4）来说，l只有和α内的两条相交直线垂直，才能得到l⊥α．

也就是说当l垂直于α内的两条平行直线的话，l不一定垂直于α．

由a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，

若a∥b，我们可得a⊥α且a⊥β，由垂直于同一直线的两个平面平行，可得α∥β，故①正确；

若α⊥β，则a∥β或a⊂β，此时a⊥b，故②正确；

若a、b相交，则表示a，b不平行，则α，β也不平行，则α、β相交，故③正确；

若α、β相交，则a、b既可以是相交直线，也可以是异面直线．故④错误

故答案为：④

根据线面平行的定义，我们易得命题p：若直线a与平面α平行，则若直线a与平面α内的任意直线都平行为假命题；

根据线面垂直的定义，我们易得命题q：若直线a与平面α垂直，则若直线a与平面α内的任意直线都垂直为真命题；

故：①命题“p∧q”为假命题；

②命题“p∨¬q”为假命题；

③命题“¬p∨¬q”为真命题；

④命题“¬p∧q”为真命题．

故答案为：③④

由于直线m，n是平面α外的两条直线，且m∥n，若m∥α，由直线与平面的关系，

故可以直接推出n∥α成立．

则是充分条件．

同理直线m，n是平面α外的两条直线，且m∥n．若n∥α，也可以直接推出m∥α成立．

则是必要条件．

故答案应为：充要．