热门试卷

证明：（I）取B1C1的中点Q，连A1Q，PQ

∵PB1=PC1，A1B1=A1C1，

∴B1C1⊥A1Q，B1C1⊥PQ

∵A1Q∩PQ=Q

∴B1C1⊥平面A1PQ，∵PA1⊂平面A1PQ

∴PA1⊥B1C1；

（II）连BQ，在△PB1C1中，PB1=PC1=，B1C1=2，Q为中点，∴PQ=1

∵BB1=AA1=1

∴BB1=PQ

在平面PBB1CC1中，BB1⊥B1C1，PQ⊥B1C1

∴BB1∥PQ

∴四边形BB1PQ为平行四边形

∴PB1∥BQ

∵BQ∥DC1

∴PB1∥DC1

∴PB1∥平面AC1D；

（III）三棱锥P-A1B1C1的体积为

多面体ABD-A1B1C1的体积为．

∴多面体PA1B1DAC1的体积为．

（1）证明：取PD中点F，则FD∥EC，FD=EC

∴四边形EFDC为长方形

∴EF∥CD∥AB

∴四边形EFAB为平行四边形

∴BE∥AF

∵BE⊄面PDA，AF⊂面PDA

∴BE∥平面PDA；

（2）证明：设AC∩BD=O，则NO∥CE，NO=CE

∴四边形NOCE为长方形，∴CO∥EN

∵PD⊥面ABCD，∴CO⊂面ABCD

∴PD⊥CO，

∵CO⊥BD，PD∩BD=D

∴C0⊥平面PDB

∴NE⊥平面PDB；

（3）解：设平面PBE与平面ABCD所夹角为α

∵PD⊥平面ABCD于D，CE⊥平面ABCD于C，∴

在△PBE中，PB=2a，BE=，PE=，

∴S△PBE=

∵S△BDC=，

∴

证明：如图连接EF，A1C1，A1B，BC1，

因为E是A1B的中点，F是B1D1的中点，

所以EF∥BC1，

EF⊄平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，

所以EF∥平面BB1C1C．

解：（I）证法一：取BE的中点H，连接HF、GH，（如图）

∵G、F分别是EC和BD的中点

∴HG∥BC，HF∥DE，（2分）

又∵ADEB为正方形∴DE∥AB，从而HF∥AB

∴HF∥平面ABC，HG∥平面ABC，HF∩HG=H，

∴平面HGF∥平面ABC

∴GF∥平面ABC（5分）

证法二：取BC的中点M，AB的中点N连接GM、FN、MN

（如图）

∵G、F分别是EC和BD的中点

∴（2分）

又∵ADEB为正方形∴BE∥AD，BE=AD

∴GM∥NF且GM=NF

∴MNFG为平行四边形

∴GF∥MN，又MN⊂平面ABC，

∴GF∥平面ABC（5分）

证法三：连接AE，

∵ADEB为正方形，

∴AE∩BD=F，且F是AE中点，（2分）

∴GF∥AC，

又AC⊂平面ABC，

∴GF∥平面ABC（5分）

（Ⅱ）∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB，∴GF∥平面ABC（5分）

又∵平面ABED⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC（7分）

∴BE⊥AC

又∵CA2+CB2=AB2

∴AC⊥BC，

∵BC∩BE=B，

∴AC⊥平面BCE（9分）

（Ⅲ）连接CN，因为AC=BC，∴CN⊥AB，（10分）

又平面ABED⊥平面ABC，CN⊂平面ABC，∴CN⊥平面ABED．（11分）

∵三角形ABC是等腰直角三角形，∴，（12分）

∵C-ABED是四棱锥，

∴VC-ABED==（14分）

证明：（Ⅰ）连接AC，AC∩BD=O，连接OE，则O为AC的中点

∵E是SD的中点，∴EO∥SA

∵SA⊄平面BDE，EO⊂平面BDE

∴SA∥平面BDE；

（Ⅱ）∵E是SD的中点，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，SD=AD，

∴DE⊥SC，BC⊥DE

∵SC∩BC=C

∴DE⊥面SBC

∵SB⊂面SBC

∴DE⊥SB

∵DF⊥SB，DE∩DF=D

∴SB⊥平面DEF

∵SB⊂平面SBD

∴平面SBD⊥平面DEF．

解：（I）∵P为AD1中点

故P点到底面ABCD的距离等于棱长的一半

又∵S△BCD=

∵VC-PDB=CP-BCD==；

（II）连接BC1，DC1，

∵AD1∥BC1，

∴AD1∥平面BDC1，

令A1C∩平面BDC1=Q

由正方体的几何特征易得A1C⊥平面BDC1，

且A1Q=2QC

故=2

解：（1）连结BD，AC交于O．

∵ABCD是正方形，∴AO=OC，OC=AC

连结EO，则EO是△PBD的中位线，可得EO∥PB

∵EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，∴PB∥平面AEC

（2）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，

∴CD⊥PA

又∵ABCD是正方形，可得AD⊥CD，且PA∩AD=A

∴CD⊥平面PAD

∵CD⊂平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD

（1）证明：在矩形ABCD中，连接AC，设AC、BD交点为O，则O是AC中点．

又E是PA中点，所以EO是△PAC的中位线，所以PC∥EO…（3分）

又EO⊂平面EBD，PC⊄平面EBD．

所以PC∥平面EBD…（6分）

（2）解：取AB中点H，则由PA=PB，得PH⊥AB，

又平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD=AB，

所以PH⊥平面ABCD．             …．．（8分）

取AH中点F，由E是PA中点，得EF∥PH，所以EF⊥平面ABCD．

∵，

由题意可求得：S△ABD=，PH=，EF=，…．．（10分）

则．          …．．（12分）

解：（本小题共14分）                                                        

（1）证明：∵DE∥BC，DE⊂面A1DE，BC⊄面A1DE

∴BC∥面A1DE…（4分）

（2）证明：在△ABC中，∠C=90°，DE∥BC，

∴AD⊥DE∴A1D⊥DE．

又A1D⊥CD，CD∩DE=D，∴A1D⊥面BCDE．

由BC⊂面BCDE，

∴A1D⊥BC．BC⊥CD，A1D∩CD=D，

∴BC⊥面A1DC．…（9分）

（3）设DC=x则A1D=6-x由（Ⅱ）知，△A1CB，△A1DC均为直角三角形．

，即==…（12分）

当x=3时，A1B的最小值是．

即当D为AC中点时，A1B的长度最小，最小值为．…（14分）

证明：（1）由俯视图可得，BD2+BC2=CD2，

∴BC⊥BD．

又∵PD⊥平面ABCD，

∴BC⊥PD，

∵BD∩PD=D，

∴BC⊥平面PBD．

（2）取PC上一点Q，使PQ：PC=1：4，连接MQ，BQ．

由左视图知 PM：PD=1：4，∴MQ∥CD，MQ=CD

在△BCD中，易得∠CDB=60°，∴∠ADB=30°．

又 BD=2，∴AB=1，AD=．

又∵AB∥CD，AB=CD，

∴AB∥MQ，AB=MQ．

∴四边形ABQM为平行四边形，

∴AM∥BQ．

∵AM⊄平面PBC，BQ⊂平面PBC，

∴直线AM∥平面PBC．

证明：∵EH∥A1D1，且B1C1∥A1D1，

∴EH∥平面B1BCC1，

∵平面EFGH∩平面B1BCC1=FG

∴EH∥FG，

∵EH∥A1D1，且EH⊊平面ADD1A1．

∴FG∥平面ADD1A1．

解：（Ⅰ）解：因为E，F分别是PA，PD的中点，所以EF∥AD，

于是，∠DAG是EF与AG所成的角…（2分）

∵，

∴，

∴EF与AG所成角的余弦值是…（4分）

（Ⅱ）证明：因为BC∥AD，AD∥EF，所以BC∥EF…（6分）

∵BC⊄平面EFG，EF⊂平面EFG，

∴BC∥平面EFG…（8分）

（Ⅲ）解：VE-AFG=VG-AEF=…（12分）