热门试卷

证明：（1）过E作EG∥AD交A1D于G，连接GF．

∵=，∴=，∴EG=10=BF．

∵BF∥AD，EG∥AD，∴BF∥EG．

∴四边形BFGE是平行四边形．

∴BE∥FG．（4分）

又FG⊂平面A1FD，BE⊄平面A1FD，

∴BE∥平面A1FD．（6分）

（2）∵在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

∴A1A⊥BD．

由已知，BD⊥A1F，AA1∩A1F=A1，

∴BD⊥平面A1AF．

∴BD⊥AF．（8分）

∵梯形ABCD为直角梯形，且满足AD⊥AB，BC∥AD，

∴在Rt△BAD中，tan∠ABD==2．

在Rt△ABF中，tan∠BAF==．

∵BD⊥AF，∴∠ABD+∠BAF=，

∴=，BF=4．（10分）

∵在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，∴平面AA1B1B⊥平面ABCD，

又平面ABCD∩平面AA1B1B=AB，∠ABF=90°，

∴FB⊥平面AA1B1B，即BF为三棱锥FA1B1A的高．（12分）

∵∠AA1B1=90°，AA1=BB1=8，A1B1=AB=8，

∴S△AA1B1=32．

∴V三棱锥A1AB1F=V三棱锥FA1B1A=×S△AA1B1×BF=．（14分）

（Ⅰ）证明：∵D1D∥B1B，且D1D=B1B，

∴四边形BDD1B1为平行四边形，

∴BD∥D1B1，

∵BD⊂平面ABCD，D1B1⊄平面ABCD，

∴直线B1D1∥平面ABCD；

（Ⅱ）∵BD∥D1B1，

∴直线AB与B1D1所成的角即为AB与BD所成的角，即∠ABD为所求角，

∵AD=AB，AD⊥AB，

∴∠ABD=．

（Ⅲ）解：依题意CD=BD=B1C=1，

∴=•CD•=×1×1×1×=．

（1）证明：连接AC，A1C1，则A1C1∥AC，

∵AC⊄平面A1BC1，A1C1⊂平面A1BC1，

∴AC∥平面A1BC1；

（2）解：连接AB1，则AB1∥DC1，

∴∠AB1C为DC1与B1C直线所组成的角，

∵△AB1C是等边三角形，

∴∠AB1C=60°，

∴DC1与B1C直线所组成的角的大小为60°；

（3）证明：连接AD1，

∵AD1∥BC1，BC1⊄平面AD1C，AD1⊂平面AD1C，

∴BC1∥平面AD1C．

解：（1）连接EH，易知EH=A1D1=BC=BG且EH∥A1D1∥AD∥BG，

所以四边形EHGB为平行四边形，所以GH∥BE，BE⊂平面EFDB

所以GH∥平面EFDB．

（2）取BD中点M，连接MF，易知FH=A1B1=CD=MG且FH∥A1B1∥CD∥MG，

所以四边形FHGM为平行四边形，所以GH∥FM

所以∠DFM为异面直线GH与DF所成的角，

设正方体棱长为2，

可得，MF=，DF=，MD=，

在三角形MDF中，由余弦定理可得cos∠MFD=，

∴异面直线GH与DF所成的角的大小为arccos．

证明：（1）∵M，N分别是△ABC和△ACD的重心，

∴AM：AE=AN：AC=2：3，

∴MN∥EF，又E，F时BC，CD的中点，

∴EF∥BD，

∴MN∥BD，又MN⊄平面ABD，BD⊂平面ABD，

∴MN∥平面ABD；

（2）由（1）知MN∥BD，又MN⊥AD，

∴BD⊥AD，又BD⊥DC，AD∩DC=D

∴BD⊥平面ADC，

∴BD⊥AC．

证明：如图，连接A1C，交AC1于N，连接DN，三棱柱ABC-A1B1C1中，

所以N为A1C的中点，又D为BC中点．所以DN∥A1B，

DN⊄平面AC1D，A1B⊂平面AC1D，

所以A1B∥平面AC1D．

证明：连接B1C交C1B于点O，连接PO

根据正方体AC1可知点O为B1C的中点，而P为A1B1的中点

∴PO∥A1C 而PO⊂平面PBC1，A1C⊄平面PBC1，

∴A1C∥平面PBC1．

证明：（Ⅰ）在直角梯形ABCD中，AC=，

取AB中点E，连接CE，

则四边形AECD为正方形，…（2分）

∴AE=CE=2，又BE=，

则△ABC为等腰直角三角形，

∴AC⊥BC，…（4分）

又∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，

∴PA⊥BC，

由AC∩PA=A得BC⊥平面PAC，

∵PC⊂平面PAC，

所以BC⊥PC．…（6分）

（II）取PA的中点G，连接FG、DG，

则，

∴．…（8分）

∴四边形DCFG为平行四边形，

∴DG∥CF．…（10分）

又DG⊂平面PAD，CF⊄平面PAD，

∴CF∥平面PAD．…（12分）

解：（1）证明：由正视图与侧视图可知侧面BCC1B1是矩形，所以BC∥B1C1，又B1C1⊂平面C1B1N，BC⊄平面C1B1N，

所以BC∥平面C1B1N…（3分）

（2）证明：∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，

∴BA，BC，BB1两两垂直．                              …（5分）

以B为坐标原点，分别以BA，BC，BB1所在直线别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则N（4，4，0），B1（0，8，0），C1（0，8，4），C（0，0，4）

∵=（4，4，0）•（-4，4，0）=-16+16=0

•=（4，4，0）•（0，0，4）=0

∴BN⊥NB1，BN⊥B1C1且NB1与B1C1相交于B1，

∴BN⊥平面C1B1N；   …（7分）

（3）∵M（2，0，0）．设P（0，0，a）为BC上一点，则=（-2，0，a），

∵MP∥平面CNB1，

∴⊥⇒•=（-2，0，a）•（1，1，2）=-2+2a=0⇒a=1．

又PM⊄平面CNB1，∴MP∥平面CNB1，

∴当PB=1时，MP∥平面CNB1∴=…（12分）

证明：过N在平面B1D1内，作NP∥A1D1，交A1B1于P，连接PM，

则==，

由于，

则，

即有PM∥B1B，

又B1B∥A1A，则PM∥AA1，

由于PM⊄平面ADD1A1，A1A⊂平面ADD1A1，

则PM∥平面ADD1A1，

同理可得PN∥平面ADD1A1，

由PN∩PM=P，则平面PMN∥平面ADD1A1，

由于MN⊂平面PMN，则MN∥平面AA1D1D．

解：（1）由矩形ABCD得BC∥AD，推出BC∥平面ADF，由CE∥DF得CE∥平面DAF．

所以平面BCE∥平面ADF，从而BE∥平面DCF．（6分）

（2）连接BD，几何体ABCDEF的体积VABCDEF=VF-ABD+VB-CEFD

在梯形CEFD中，EF⊥DE，CE⊥CD，CE⊥DF，由CD=3，EF=2

解得：CE=3，DF=4．

∴

VABCDEF=VF-ABD+VB-CEFD=33

解：（1）连接EF，FG，

∵E、F、G分别是AB、BC、CD的中点，

∴FG∥BD，

又∵FG⊂面EFG，BD⊄面EFG．

∴BD∥面EFG．

（2）由（1），∵E、F、G分别是AB、BC、CD的中点，

∴FE∥AC，

又∵FE⊂面EFG，AC⊄面EFG．

∴AC∥面EFG．

解：（Ⅰ）设DF的中点为N，连接MN、AN，则

∵△CDF中，M、N分别为CF、DF的中点

∴MN∥CD且MN=CD，

又∵矩形ABCD中，AO∥CD且AO=CD，

∴MN∥AO且MN=AO，得四边形MNAO为平行四边形         …（2分）

∴OM∥AN，又AN⊂平面DAF，OM⊄平面DAF…（4分）

∴OM∥平面DAF…（6分）

（Ⅱ）∵圆O中，EF∥AB，

∴AF=BE，四边形ABEF是等腰梯形

∵AB=2，AF⊥BF，EF=1

∴AF=BE=1，BF=，…（8分）

因此，…（10分）

又∵CB⊥平面ABEF

∴VF-ABC==•1•=（12分）

证明：（Ⅰ）由已知，==λ，

所以EF∥BC．

因为BC∥AD，所以EF∥AD．

而EF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，

所以EF∥平面PAD．          …（4分）

（Ⅱ）因为平面ABCD⊥平面PAC，

平面ABCD∩平面PAC=AC，且PA⊥AC，

所以PA⊥平面ABCD．

所以PA⊥AB，PA⊥AD．

又因为AB⊥AD，

所以PA，AB，AD两两垂直．      …（5分）

如图所示，建立空间直角坐标系，

因为AB=BC=1，PA=AD=2，

所以A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．

当λ=时，F为PC中点，

所以F（，，1），

所以=（-，，1），=（-1，1，0）．

设异面直线BF与CD所成的角为θ，

所以cosθ=|cos＜，＞|==，

所以异面直线BF与CD所成角的余弦值为．…（9分）

（Ⅲ）设F（x0，y0，z0），则=（x0，y0，z0-2），=（1，1，-2）．

由已知=λ，所以（x0，y0，z0-2）=λ（1，1，-2），

所以，

∴=（λ，λ，2-2λ）．

设平面AFD的一个法向量为n1=（x1，y1，z1），因为=（0，2，0），

所以即，

令z1=λ，得n1=（2λ-2，0，λ）．

设平面PCD的一个法向量为n2=（x2，y2，z2），

因为=（0，2，-2），=（-1，1，0），

所以即

令x2=1，则n2=（1，1，1）．

若平面AFD⊥平面PCD，则n1•n2=0，所以（2λ-2）+λ=0，解得．

所以当λ=时，平面AFD⊥平面PCD．…（14分）