- 点、直线、平面之间的位置关系
- 共9241题
关于不重合的直线m，n和平面α，β，下列命题为真命题的是 ______（填写所有真命题的序号）
①若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n．
②若m∥n，m⊂α，n⊥β，则α⊥β．
③若α∩β=m，m∥n，则n∥α，n∥β；
④若α∩β=m，m⊥n，则n⊥α，n⊥β．
正确答案
①、当α∥β，m⊂β，n⊂α时，则m与n平行或异面，故①不对；
②、∵m∥n，n⊥β，∴m⊥β，又∵m⊂α，∴由面面垂直的判定定理知α⊥β，故②正确；
③、当n⊂α时，根据线面平行的判定定理有n∥β，但得不到n∥α，故③不对；
④、由线面垂直的判定定理知，直线必须与平面内的两条相交直线垂直，故④不对．
故答案为②．
在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AD1与CC1之间的距离是______．
正确答案
由题意画出棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，如图：
由图形可知：异面直线AD1与CC1之间的距离是：1．
故答案为：1．
如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，AB=a．
（Ⅰ）求证：直线A1D⊥B1C1；
（Ⅱ）求点D到平面ACC1的距离；
（Ⅲ）判断A1B与平面ADC的位置关系，并证明你的结论．
正确答案
（Ⅰ）∵点D是正△ABC中BC边的中点，∴AD⊥BC，
又A1A⊥底面ABC，∴A1D⊥BC，∵BC∥B1C1，∴A1D⊥B1C1．
（Ⅱ）作DE⊥AC于E，∵平面ACC1⊥平面ABC，
∴DE⊥平面ACC1于E，即DE的长为点D到平面ACC1的 距离．
在Rt△ADC中，AC=2CD=a，AD=
∴所求的距离DE=
（Ⅲ）答：直线A1B∥平面ADC1，证明如下：
连接A1C交AC1于F，则F为A1C的中点，∵D是BC的中点，∴DF∥A1B，
又DF⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，∴A1B∥平面ADC1．
已知a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，在下列命题
①
正确答案
①：与同一条直线平行的两个平面不一定平行，在本题的条件下，两平面可能相交，所以①是假命题；
②：根据直线与平面的位置关系可得：由m⊥α，m⊥β可得出α∥β，所以②是真命题．
③：根据直线与平面的位置关系可得：a与b可以是任意的位置关系，所以③是假命题；
④：垂直于同一条直线的两条直线平行，所以④是真命题；
故答案为②④．
a，b，c是空间中互不重合的三条直线，下面给出五个命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；
④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线；
⑤若a，b与c成等角，则a∥B、
上述命题中正确的 ______（只填序号）．
正确答案
由公理4知①正确；
当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故
②不正确；
当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③不正确；
a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故
④不正确；
当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故⑤不正确．
故答案为：①
下列命题中所有正确命题的序号是______．
（1）异面直线是指空间没有公共点的两直线；
（2）如果直线a，b异面，且a⊥平面α，那么b不垂直于平面α；
（3）如果异面直线a，b满足a∥平面α，b∥平面α，且l⊥平面α，那么l与a，b都垂直；
（4）两条异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线．
正确答案
（1）若两条直线没有公共点，这两条直线还有可能平行．故（1）错误
（2）若a与b都与同一平面垂直，则a∥b，所以（2）正确
（3）若a∥平面α，且l⊥平面α，则a⊥l，同理b⊥l，故（3）正确
（4）两条异面直线在同一平面内的射影可以平行也可以相交，故（4）错误
故答案为：（2）（3）
已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：①若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α；②若l平行于α，则l平行于α内所有的直线；③若m⊊α，l⊊β且l⊥m，则α⊥β；④若l⊊β且l⊥α，则α⊥β；⑤若m⊊α，l⊊β且α∥β，则l∥m．其中正确命题的序号是 ______．
正确答案
①，符合定理的条件故正确；
②，若l平行于α，则l与α内的直线有两种：平行或异面，故错误；
③m⊊α，l⊊β且l⊥m，则α与β可以相交但不垂直；
④符合面面垂直的判定定理，故正确；
⑤若m⊊α，l⊊β且α∥β，则l∥m或者异面，错误，
故正确命题的序号是 ①④．
在空间，下列命题正确的是______．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
①如果两条直线a、b分别与直线l平行，那么a∥b
②如果两条直线a与平面β内的一条直线b平行，那么a∥β
③如果直线a与平面β内的一条直线b、c都有垂直，那么a⊥β
④如果平面β内的一条直线a垂直平面y，那么β⊥y
正确答案
根据公理4，平行于同一条直线的2条直线平行，故①正确．
②线a与平面β内的一条直线b平行，直线a可以在平面β内，故②不正确．
③直线a与平面β内的直线b、c都有垂直，因为b、c不一定是2条相交直线，故不能推出a⊥β，
④若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这2个平面垂直．故④正确．
故只有①④正确．
空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则BC与AD的位置关系是______；四边形EFGH是______形；当______时，四边形EFGH是菱形；当______时，四边形EFGH是矩形；当______时，四边形EFGH是正方形．
正确答案
假设BC，AD是共面直线，则A，B，C，D共面；所以四边形ABCD是平面四边形与已知矛盾故BC，AD是异面直线
∵E，F，分别是AB，BC的中点，∴EF∥BD；EF=
若EFGH是菱形则有EH=EF；所以BD=AC
若EFGH是矩形，则EH⊥EF；所以BDAC
若四边形是正方形则四边形是矩形且是菱形则
BD=AC，BD⊥AC
故答案为：异面直线；平行四边形；BD=AC；BD⊥AC；BD=AC且BD⊥AC
已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面α，β，则下列命题中正确的是______．
①若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n
②若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n
③若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n
④若m∥α，n⊥β，α⊥β，则m∥n．
正确答案
易知①正确．而②中α⊥β且m⊥α⇒m∥β或m∈β，又n∥β，容易知道m，n的位置关系不定，因此②错误．
而③中分别平行于两平行平面的直线的位置关系不定，因此③错误．而④中因为②不对，此项也不对．综上可知①正确．
故答案为：①
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，经过其对角线BD1的平面分别与棱AA1、CC1相交于E，F两点，则四边形EBFD1的形状为 ______
正确答案
因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，平面AA1DD1与平面BB1C1CP平行，
而经过对角线BD1的平面分别与这两个相交于D1E与BF，
根据面面平行的性质定理，故D1E∥BF，
同理可证BE∥FD1，
所以四边形EBFD1的形状为平行四边形，
故答案为平行四边形．
a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：①
④
其中正确的命题是______．（将正确的序号都填上）
正确答案
①符合平行的传递性，正确；
②不正确，a与b可能为异面直线；
③不正确，当α与β相交时，c与交线平行；
④与⑥正确，因为题意中三条直线均不在平面内；
⑤正确，平面也具有平行的传递性．
故答案为：①④⑤⑥．
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若过A、C、B1三点的平面与底面A1B1C1D1所在的平面相交于直线l，则l与AC的关系是______．
正确答案
∵AC∥底面A1B1C1D1
面A1B1C1∩面ACB1=l
∴AC∥l
故答案为：平行
正方体ABCD-A1B1C1D1中，过顶点A1作直线l，使l与直线AC和直线BC1所成的角均为60°，则这样的直线l有______条．
正确答案
因为AD1∥BC1，所以过A1在空间作直线l，使l与直线AC和BC1所成的角都等于 60°，即过点A在空间作直线l，使l与直线AC和AD1所成的角都等于 60°．
因为∠CAD1=60°，∠CAD1的外角平分线与AC和AD1所成的角相等，均为60°，所以在平面ACD1内有一条满足要求．
因为∠CAD1的角平分线与AC和AD1所成的角相等，均为30°，
将角平分线绕点A向上转动到与面ACD1垂直的过程中，存在两条直线与直线AC和AD1所成的角都等于 60°；
故符合条件的直线有3条．
故答案为：3．
如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线的位置关系是______．
正确答案
根据线面垂直的性质定理知
两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行，
故答案为：平行
扫码查看完整答案与解析