热门试卷

（1）＋y2＝1（2）t＝2或t＝

(1)设椭圆C的方程为＝1(a＞b＞0)，

由题意知解得 

因此椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)(ⅰ)当A，B两点关于x轴对称时，设直线AB的方程为x＝m.

由题意得－＜m＜0或0＜m＜.

将x＝m代入椭圆方程＋y2＝1，得|y|＝.

所以S△AOB＝|m|·＝.解得m2＝或m2＝.①

因为＝t＝t(＋)＝t(2m,0)＝(mt,0)，

又P为椭圆C上一点，所以＝1.②

由①②，得t2＝4或t2＝，

又t＞0，所以t＝2或t＝.

(ⅱ)当A，B两点关于x轴不对称时，设直线AB的方程为y＝kx＋h.

将其代入椭圆的方程＋y2＝1，得

(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

由判别式Δ＞0可得1＋2k2＞h2，

此时x1＋x2＝－，x1x2＝，

y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2h＝，

所以|AB|＝.

因为点O到直线AB的距离d＝，

所以S△AOB＝|AB|d＝×2×××＝××|h|.

又S△AOB＝，所以××|h|＝.③

令n＝1＋2k2，代入③整理得3n2－16h2n＋16h4＝0.

解得n＝4h2或n＝h2，即1＋2k2＝4h2或1＋2k2＝h2.④

因为＝t＝t(＋)＝t(x1＋x2，y1＋y2)＝，

又P为椭圆C上一点，

所以t2＝1，即＝1.⑤

将④代入⑤，得t2＝4或t2＝.

又t＞0，故t＝2或t＝.

经检验，适合题意．

综合(ⅰ)(ⅱ)，得t＝2或t＝

（1）＝1（2）

(1)设椭圆方程为＝1，a>b>0，

由c＝，＝，可得a＝2，b2＝a2－c2＝2，

所以椭圆的标准方程为＝1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝2，得可得x1＝－2x2.①

设过点P的直线方程为y＝kx＋1，代入椭圆方程，整理得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0，

则x1＋x2＝－，②x1x2＝，③

由①②得x2＝，将x1＝－2x2代入③得＝，

所以＝，解得k2＝.

又△AOB的面积S＝|OP|·|x1－x2|＝·＝.所以△AOB的面积是.

（1）椭圆C方程是；（2）G的横坐标的值为8.

试题分析：（1）由，又点在椭圆上，所以，这样便得一方程组，解这个方程组求出a、b的值，即可得椭圆C的方程；（2）首先考虑直线MN垂直于轴的情况，易得此时交点为，由此可知，点G的横坐标应当为8.当直线MN不垂直轴时，设直线MN：，.由A、N、G三点共线有，由A、N、G三点共线有，有，即，化简，当时化简得.接下来联立直线MN与椭圆方程再用韦达定理代入此等式验证即可.

（1）由，又点在椭圆上，所以解得，则椭圆C方程是；                   .3分

（2）当直线MN垂直于轴，交点为，

由题知直线AN：，直线MB：，交点     .5分

当直线MN不垂直轴时，设直线MN：，

联立直线MN与椭圆方程得

，        .7分

因为，由A、N、G三点共线有

同理，由A、N、G三点共线有

有，即，化简，验证当时化简得带入韦达定理恒成立，因此G的横坐标的值为8.   13分

（1）；（2）或；（3）（2,6）

试题分析：（1）设出椭圆的标准方程根据题意可a，利用离心率求得c，则b可求得，椭圆的方程可得．

（2）设出直线PQ的方程，与椭圆方程联立，设出P，Q的坐标，进而根据韦达定理表示出和，则利用弦长公式可表示出|PQ|，进而可表示出的面积方程可得．

（3）利用向量的坐标运算，建立函数关系式，利用椭圆的范围找到定义域，利用二次函数即可求范围.

试题解析：（1）设椭圆方程为 (a>b>0) ，由已知

∴                            2分

∴ 椭圆方程为．                         4分

（2）解法一: 椭圆右焦点． 设直线方程为（∈R）．  5分

由   得．①              6分

显然，方程①的．设，则有．                            8分

由的面积==

解得：．

∴直线PQ 方程为，即或．       10分

解法二： 

．                        6分

点A到直线PQ的距离                   8分

由的面积= 解得．

∴直线PQ 方程为，即或．       10分

解法三： 椭圆右焦点．当直线的斜率不存在时，，不合题意．   5分

当直线的斜率存在时，设直线方程为，           

由 得．  ①        6分

显然，方程①的．

设，则．         7分

=．                    8分

点A到直线PQ的距离                   9分

由的面积=   解得．

∴直线的方程为，即或．       10分

（3）设P的坐标（则 ∴

故

                    12分

∵∴的范围为（2,6）                 14分

（注：以上解答题其他解法相应给分）

（1）椭圆的方程为

（2）面积取最大值

（1）设，

依题意得        …………………………2分

解得                    …………………………………….3分

椭圆的方程为    ……………………………………….4分

（2）①当AB      ……………………………………5分

②当AB与轴不垂直时，设直线AB的方程为，

由已知得  ………………………..6分

代入椭圆方程，整理得

  ….7分

当且仅当时等号成立，此时………10分

③当            …………………………………..11分

综上所述：，

此时面积取最大值 ……………..12分

（1）（2）略

：设、、. 则椭圆过点、的切线方程分别为

，（3分）因为两切线都过点，则有，.这表明、均在直线  ①上.由两点决定一条直线知，式①就是直线的方程，其中满足直线的方程.………（6分）

（1）当点在直线上运动时，可理解为取遍一切实数，相应的为

代入①消去得 ②对一切恒成立.……（9分）

变形可得对一切恒成立.故有由此解得直线恒过定点.（12分）

（2）当∥时，由式②知 解得

代入②，得此时的方程为 ③

将此方程与椭圆方程联立，消去得……（15分）

由此可得，此时截椭圆所得弦的中点横坐标恰好为点的横坐标，即

代入③式可得弦中点纵坐标恰好为点的纵坐标，即

这就是说，点平分线段.……（18分）

(1)(2)或

（1）由，得，再由，得

由题意可知，即．

解方程组 得，所以椭圆的方程为．

(2)解：由（1）可知．设B点的坐标为,直线l的斜率为k，则直线l的方程为,

于是A,B两点的坐标满足方程组

由方程组消去整理，得

由得

设线段AB是中点为M，则M的坐标为，

以下分两种情况：

(1)当k=0时，点B的坐标为（2,0）．

此时线段AB的垂直平分线为y轴，于是

∵，∴

（2）当时，线段AB的垂直平分线方程为

令，解得

由

整理得，∴

综合知: 或

（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，-)，(0，)为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴b==1，

故曲线C的方程为x2+=1．（3分）

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足

消去y并整理得（k2+4）x2+2kx-3=0，

故x1+x2=-，x1x2=-．（5分）

若⊥，即x1x2+y1y2=0．

而y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+1，

于是x1x2+y1y2=---+1=0，

化简得-4k2+1=0，所以k=±．（8分）

（Ⅲ）因为A（x1，y1）在椭圆上，所以满足y2=4（1-x2），y12=4（1-x12），

|OA|

2-

|OB|

2=+-(+)=（x12-x22）+4（1-x12-1+x22）=-3（x1-x2）（x1+x2）=．

因为A在第一象限，故x1＞0．由x1x2=-知x2＜0，从而x1-x2＞0．又k＞0，

故

|OA|

2-

|OB|

2＞0，

即在题设条件下，恒有＞．（12分）

设P（x，y），依题意有=，

化简得，9x2+8y2+24y=0，即+=1．

轨迹是中心为(0，-)，F为一个焦点，l为相应准线的椭圆．

（1）当m＞n时，由椭圆定义得 2m=4，∴m=2（2分）

又点A（1，）在椭圆上  所以+=1， ∴ n2=3

∴+=1 （3分）

同理，当m＜n时，椭圆方程+=1 （4分）

（2）当m＞n时，由椭圆定义得 PF1+PF2=2m，PF12+PF22=4

解得  PF1PF2=6             （8分）

所以△PF1F2的面积为3

同理，当m＜n时，△PF1F2的面积也为3   （10分）

（3）设M，N是双曲线-=1（a＞0，b＞0）上关于原点对称的两点，点Q是椭圆上任意一点，且直线QM与直线QN的斜率都存在，分别记为KQM，KQN，那么KQM，KQN之积是与点Q位置无关的定值．

设点M（x1，y1），N（-x1，-y1）．Q（x0，y0）

则-=1，-=1

作差得=（12分）

所以KQMKQN=（14分）

设M，N是二次曲线mx2+ny2=1上关于原点对称的两点，点Q是二次曲线上任意一点，且直线QM与直线QN的斜率都存在，分别记为KQM，KQN，

那么KQMKQN=-     （15分）

证明  设点点M（x1，y1），N（-x1，-y1）．Q（x0，y0）

则mx12+ny12=1，mx02+ny02=1

作差得=-∴KQMKQN=-  （18分）

（1）；（2）

试题分析：（1）连接，因为，可得      (1)

又因为的外接圆与直线相切，所以有    (1)

解由(1)(2)组成的方程组可得椭圆的标准方程.

（2）由（1）椭圆的标准方程是,所以,设直线的方程为：，.由方程组：消去得,由韦达定理求出

的表达式,写出线段MN的垂直平分线的方程,并求出的表达式,进而用函数的方法求其取值范围,要注意直线斜率不存在及斜率为0情况的讨论.

解：（1）连接，因为，，所以，

即，则，.                  3分

的外接圆圆心为，半径    4分

由已知圆心到直线的距离为，所以，解得，所以，，

所求椭圆方程为.                          6分

（2）因为，设直线的方程为：，.

联立方程组：，消去得.  7分

则，，

的中点为.                       8分

当时，为长轴，中点为原点，则.          9分

当时，垂直平分线方程

令，所以 

因为，所以，可得，           12分

综上可得，实数的取值范围是                    13分