热门试卷

（1）＝1（2）

(1)由e＝得＝，即a＝2c，∴b＝c.

由右焦点到直线＝1的距离为d＝，＝1化为一般式：bx＋ay－ab＝0得＝，解得a＝2，b＝.

所以椭圆C的方程为＝1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋m.与椭圆＝1联立消去y，得(4k2＋3)x2＋8kmx＋(4m2－12)＝0.由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1x2＝.

∵OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝0，∴x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0，即(k2＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0，

∴(k2＋1) －＋m2＝0.

整理得7m2＝12(k2＋1)，所以O到直线AB的距离d＝＝＝ (为定值)．

当直线AB斜率不存在时，可求出直线AB方程为x＝±，则点O到直线AB的距离为 (定值)

∵OA⊥OB，∴OA2＋OB2＝AB2≥2OA·OB，当且仅当OA＝OB时取“＝”，由直角三角形面积公式得：

d·AB＝OA·OB.

∵OA·OB≤，∴d·AB≤.

∴AB≥2d＝，故当OA＝OB时，弦AB的长度取得最小值.

(1)2      (2)

（Ⅰ）由题意:设直线,

由消y得:,设A、B,AB的中点E,则由韦达定理得: =,即,,所以中点E的坐标为E,因为O、E、D三点在同一直线上，所以，即，解得

，所以=,当且仅当时取等号,即的最小值为2.

（Ⅱ）（i）证明:由题意知:n>0,因为直线OD的方程为,所以由得交点G的纵坐标为,又因为,,且∙，所以,又由（Ⅰ）知: ,所以解得,所以直线的方程为,即有,令得,y=0,与实数k无关,所以直线过定点(-1,0).

（ii）假设点，关于轴对称,则有的外接圆的圆心在x轴上,又在线段AB的中垂线上,

由（i）知点G(,所以点B(,又因为直线过定点(-1,0),所以直线的斜率为，又因为，所以解得或6，又因为,所以舍去,即，此时k=1，m=1，E，AB的中垂线为2x+2y+1=0，圆心坐标为，G(,圆半径为，圆的方程为.综上所述, 点，关于轴对称,此时的外接圆的方程为.

（I）由已知可设椭圆的方程为：+=1（a＞b＞0），…（2分）

由条件知c=1，e==，

解得a=2，…（4分）

所以b2=a2-c2=3．…（5分）

所以椭圆的标准方程方程为+=1…（6分）

（Ⅱ）因为点P在椭圆+=1上，

 所以|PF1|+|PF2|=2a=4；…（8分）

又因为|PF1|-|PF2|=1，解得|PF1|=，|PF2|=，…（10分）

在△ABC中，cos∠F1PF2===，

所以∠F1PF2的余弦值为．    …（12分）

（1）；（2）详见解析.

试题分析：(1)由过右焦点斜率为1的直线到原点的距离为可以得到右焦点坐标，即的值.再由公式可得椭圆方程.此处注意因为是右焦点，即焦点在轴上，从而得到对应的分母1即为；（2）由点坐标设出直线的点斜式方程，联立椭圆方程求出的坐标.易知直线的方程，所以易求得点坐标，由圆的性质知，则只要就有直线、重合，即三点共线.因为点的坐标已求得，可通过向量数量积予以证明.注意本题如选择求点坐标则将较为繁琐，增加了解题的计算量，这里合理利用圆的直径对应的圆周角是直角这一性质，简化了运算.

试题解析：（1）设右焦点为，则过右焦点斜率为1的直线方程为：    1分

则原点到直线的距离                        3分

方程                                                   4分

（2）点坐标为                                             5分

设直线方程为：，设点坐标为

得：                    6分

      7分    9分

    10分

由圆的性质得：

又点的横坐标为   点的坐标为    11分

     11分          13分

即，又三点共线               14分 

（1）（2）

（1）由题意可知所以椭圆方程为

 设，将其代入椭圆方程相减，将

代入 可化得

（2）若2<3，则

（1）；（2）.

试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程、中点坐标公式等基础知识，突出解析几何的基本思想和方法的考查：如数形结合思想、分类讨论思想、坐标化方法等.第一问，设出动点坐标，利用斜率的关系列出表达式，整理出方程；第二问，先根据直线的斜率是否存在进行讨论，当斜率存在时，设出直线方程，因为相交，所以联立方程，消参，得到关于的方程，找到中点坐标，因为，所以找直线的垂直平分线，令，得到纵坐标，讨论的正负，利用基本不等式得到范围.

试题解析：（1）设动点的坐标为，依题意可知，

整理得.                     3分

所以动点的轨迹的方程为.            5分

（2）当直线的斜率不存在时，满足条件的点的纵坐标为.       7分

当直线的斜率存在时，设直线的方程为.

将代入并整理得，

.  .           8分  

设，，则，.

设的中点为，则，，

所以.                 10分

由题意可知，

又直线的垂直平分线的方程为.

令解得 .                        .   11分

当时，因为，所以；      

当时，因为，所以.   .   13分

综上所述，点纵坐标的取值范围是.               .   14分

（1）＋y2＝1（2）存在圆心在原点的圆x2＋y2＝满足条件

(1)由已知得解得∴b2＝a2－c2＝1，

故椭圆Γ的方程为＋y2＝1.

(2)假设满足条件的圆存在，其方程为x2＋y2＝r2(0＜r＜1)．

当直线PQ的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋t，

由消去y整理得(1＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－4＝0.

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

则x1＋x2＝－，x1x2＝.①

∵⊥，∴x1x2＋y1y2＝0.

又y1＝kx1＋t，y2＝kx2＋t，

∴x1x2＋(kx1＋t)(kx2＋t)＝0，

即(1＋k2)x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2＝0.②

将①代入②得＋t2＝0，

即t2＝ (1＋k2)．

∵直线PQ与圆x2＋y2＝r2相切，

∴r＝∈(0,1)，

∴存在圆x2＋y2＝满足条件．

当直线PQ的斜率不存在时，也适合x2＋y2＝.

综上所述，存在圆心在原点的圆x2＋y2＝满足条件．

（1）椭圆C的方程；（2）线段的长为；（3）的取值范围是.

试题分析：（1）根据椭圆的右焦点为F（1，0），点A（2，0）在椭圆C上，代入即可求得椭圆C的方程；（2）先用点斜式写出直线方程，再和椭圆方程联立，用弦长公式即可求出线段的长为；（3）当轴时，显然.当与轴不垂直时，可设直线的方程为,把直线方程与椭圆方程联立，设直线与椭圆的两个交点为，，表示出，联立即可求出的取值范围.

试题解析：（1）由题意：，，

，

所求椭圆方程为.                                            3分

（2）由题意，直线l的方程为：.

由得，

所以.                                       7分

（3）当轴时，显然.

当与x轴不垂直时，可设直线的方程为.

由消去y整理得.

设，，线段MN的中点为，

则.

所以，

线段MN的垂直平分线方程为

在上述方程中令x＝0，得.

当时，；当时，.

所以，或.

综上，的取值范围是.                                     10分

,

解：（Ⅰ）所求椭圆M的方程为…3分

（Ⅱ）当≠，设直线AB的斜率为k = tan，焦点F ( 3 , 0 )，则直线AB的方程为     y = k ( x – 3 )              有( 1 + 2k2 )x2 – 12k2x + 18( k2 – 1 ) =" 0"

设点A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 )             有x1 + x2 =, x1x2 =

|AB| =             

又因为k = tan=代入**式得  |AB| =

当=时，直线AB的方程为x = 3，此时|AB| =

而当=时，|AB| ==                  |AB| =

同理可得         |CD| ==

有|AB| + |CD| =+=

因为sin2∈[0，1]，所以  当且仅当sin2=1时，|AB|+|CD|有最小值是

设A、B，直线AB的方程为因为A既在椭圆上又在直线AB上，从而有将（1）代入（2）得

由于直线AB与椭圆相切，故

从而可得，           （3）……………………5分

同理，由B既在圆上又在直线AB上，可得， （4）………10分

由（3）、（4）得，

即，当且仅当时取等号所以A、B两点的距离的最大值为. ……………20分.

的最小值的集合为空集.

(1) 以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设 |CA|+|CB|=2a(a>3)为定值，所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，所以焦距 2c=|AB|=6.

因为

又 ，所以 ，由题意得 .

此时，|PA|=|PB|，P点坐标为 P(0，±4).所以C点的轨迹方程为  

(2) 不妨设A点坐标为A(-3，0)，M(x1,y1),N(x2,y2).当直线MN的倾斜角不为900时，设其方程为 y="k(x+3)" 代入椭圆方程化简，得

显然有 △≥0， 所以

而由椭圆第二定义可得

只要考虑 的最小值，即考虑取最小值，显然.

当k=0时，取最小值16.

当直线MN的倾斜角为900时，x1=x2=-3,得

但 ，故，这样的M、N不存在，即的最小值的集合为空集.

(72＋7)．

：取方程组代入得，25y2－64y＋28＝0．

此方程的解为y＝2，y＝．即得B(0，2)，A(－，)，

又左焦点F1(－，0)．连OA把四边形AFOB分成两个三角形．

得，S＝×2×＋××＝(72＋7)．

也可以这样计算面积：直线与x轴交于点C(－4，0)．所求面积＝×4×2－×(4－)×＝(72＋7)．也可以这样计算面积：所求面积＝(0×2－0×0＋0×－(－)×2＋(－)×0－(－)×＋(－)×0－0×0)＝(＋)＝(72＋7)．

设椭圆方程为+=1 (a＞b＞0)，M（x，y）为椭圆上的点，由=得a=2b，

|PM|2=x2+(y-

3

2

)2=-3(y+

1

2

)2+4b2+3(-b≤y≤b)，

若b＜，则当y=-b时|PM|2最大，即(-b-

3

2

)2=7，

∴b=-＞，故矛盾．

若b≥时，y=-时，

4b2+3=7，

b2=1，从而a2=4．

所求方程为 +y2=1．