热门试卷

解：（1）依题意，得a=2，，

∴c=，b==1，

故椭圆C的方程为．…（3分）

（2）方法一：点M与点N关于x轴对称，

设M（x1，y1），N（x1，-y1），不妨设y1＞0．

由于点M在椭圆C上，所以．     （*）          …（4分）

由已知T（-2，0），则，，

∴

=（x1+2）2-

=

=．…（6分）

由于-2＜x1＜2，

故当时，取得最小值为．

由（*）式，，故，

又点M在圆T上，代入圆的方程得到．

故圆T的方程为：．…（8分）

方法二：点M与点N关于x轴对称，

故设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，-sinθ），

不妨设sinθ＞0，由已知T（-2，0），

则

=（2cosθ+2）2-sin2θ

=5cos2θ+8cosθ+3

=．…（6分）

故当时，取得最小值为，

此时，

又点M在圆T上，代入圆的方程得到．

故圆T的方程为：． …（8分）

（3）方法一：设P（x0，y0），

则直线MP的方程为：，

令y=0，得，

同理：，…（10分）

故      （**） …（11分）

又点M与点P在椭圆上，

故，，…（12分）

代入（**）式，

得：．

所以|OR|•|OS|=|xR|•|xS|=|xR•xS|=4为定值．               …（14分）

方法二：设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，-sinθ），

不妨设sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．

则直线MP的方程为：，

令y=0，得，

同理：，…（12分）

故．

所以|OR|•|OS|=|xR|•|xS|=|xR•xS|=4为定值．…（14分）

解：（1）由椭圆定义可知，

点P的轨迹C是以，为焦点，长半轴长为2的椭圆．…（3分）

故曲线C的方程为． …（5分）

（2）存在△AOB面积的最大值．…（6分）

因为直线l过点E（-1，0），设直线l的方程为 x=my-1或y=0（舍）．

则

整理得 （m2+4）y2-2my-3=0．…（7分）

由△=（2m）2+12（m2+4）＞0．

设A（x1，y1），B（x2，y2）．

解得，．

则 ．

因为

=． …（10分）

设，，．

则g（t）在区间上为增函数．

所以．

所以，

当且仅当m=0时取等号，即．

所以S△AOB的最大值为．…（13分）

解：（1）抛物线y2=4（x-1）焦点为F（2，0），准线l：x=0．设P（x，y），

∵P为BF中点，

∴B（2x-2，2y）（x＞2，y≠0）．设椭圆C1的长半轴、短半轴、半焦距分别为a、b、c，

则c=（2x-2）-2=2x-4，b2=（2y）2=4y2，

∵（-c）-（- ）=2，

∴=2，

即b2=2c．∴4y2=2（2x-4），

即y2=x-2（y≠0），此即C2的轨迹方程．

（2）由，y≠0，知y2+y-m+2=0，

令△=1-4（-m+2）＞0，知m＞．

而当m=2时，直线x+y=2过点（2，0），这时它与曲线C2只有一个交点，

∴所求m的取值范围是（ ，2）∪（2，+∞）．

解：因为圆N：（x+2）2+y2=8，所以圆心N为（-2，0），半径，…（1分）

设A（x1，y1），B（x2，y2），

（1）当直线l的斜率为1时，设l的方程为y=x+m即x-y+m=0

因为直线l是圆N的切线，所以，解得m=-2或m=6（舍），此时直线l的方程为y=x-2，…（3分）

由消去x得y2-2y-4=0，

所以△＞0，y1+y2=2，y1y2=4，…（4分）

所以

所以弦长…（6分）

（2）设直线l的方程为y=kx+m即kx-y+m=0（k≠0）

因为直线l是圆N的切线，所以，得m2-4k2-4mk-8=0…①…（8分）

由消去x得 ky2-2y+2m=0，

所以△=4-4k×2m＞0即且k≠0，，．

因为点M和点N关于直线y=x对称，所以点M为（0，-2）

所以，，

因为，所以=x1x2+（y1+2）（y2+2）=0…（10分）

将A，B在直线y=kx+m上代入化简得

代入，得

化简得 m2+4k2+2mk+4k=0…②

①+②得 2m2-2mk+4k-8=0，即（m-2）（m-k+2）=0，解得m=2或m=k-2

当m=2时，代入①解得k=-1，满足条件且k≠0，此时直线l的方程为y=-x+2；

当m=k-2时，代入①整理得 7k2-4k+4=0，无解．…（12分）

当直线l的斜率不存在时，因为直线l是圆N的切线，所以l的方程为，

则得，y1+y2=0，即

由①得：=x1x2+（y1+2）（y2+2）

=

当直线l的斜率不存在时不成立．

综上所述，存在满足条件的直线l，其方程为y=-x+2…（14分）

另解：

（2）设直线l的方程为x=my+a即x-my-a=0（m必存在）

因为直线l是圆N的切线，所以，得a2+4a-8m2-4=0…①…（8分）

由消去x得 y2-2my-2a=0，

所以△=4m2+8a＞0即m2+2a＞0，y1+y2=2m，y1y2=-2a．…（10分）

因为点M和点N关于直线y=x对称，所以点M为（0，-2）

所以，，

因为，所以=x1x2+（y1+2）（y2+2）=0

将A，B在直线x=my+a上代入化简得…（12分）

代入y1+y2=2m，y1y2=-2a得（1+m2）（-2a）+（am+2）（2m）+a2+4=0

化简得 a-2a+4m+4=0…②

①+②得 2a2+2a-8m2+4m=0，即（a+2m）（a-2m+1）=0，解得a=-2m或a=2m-1

当a=-2m时，代入①解得m=-1，a=2，满足条件m2+2a＞0；

当a=2m-1时，代入①整理得 4m2-4m+7=0，无解．

综上所述，存在满足条件的直线l，其方程为y=-x+2…（14分）

（Ⅰ）解：设椭圆半焦距为c，圆心O到l的距离d==，

∴直线l被圆O截得的弦长为，

由2b=，解得b=，

∵椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，

∴

∴，解得a2=3

∴椭圆E的方程为；

（Ⅱ）证明：设P（x0，y0），过点P的椭圆E的切线l0的方程为y-y0=k（x-x0）

与椭圆方程联立，消去y可得（3+2k2）x2+4k（y0-kx0）x+2（kx0-y0）2-6=0

∴△=[4k（y0-kx0）]2-4（3+2k2）[2（kx0-y0）2-6]=0

∴（）k2+2kx0y0-（）=0

设满足题意的椭圆的两条切线的斜率分别为k1，k2，

∴k1k2=-

∵P在圆O上，∴，

∴k1k2=-=-1

∴两切线斜率之积为定值-1．

解：（I）依题意，f（x）=g（x），即ax2+ax=x-a，

整理，得ax2+（a-1）x+a=0，①

∵a≠0，函数f（x）与g（x）图象相交于不同的两点A、B，

∴△＞0，即△=（a-1）2-4a2=-3a2-2a+1=（3a-1）（-a-1）＞0．

∴-1＜a＜且a≠0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2，由①得，x1•x2=1＞0，x1+x2=-．

设点O到直线g（x）=x-a的距离为d，则d=，

∴S△OAB==．

∵∴-1＜a＜且a≠0，∴当a=-时，S△OAB有最大值；

（II）证明：由题意可知f（x）-g（x）=a（x-p）（x-q）

∴f（x）-（p-a）=a（x-p）（x-q）+x-a-（p-a）=（x-p）（ax-aq+1），

当x∈（0，p）时，x-p＜0，且ax-aq+1＞1-aq＞0，

∴f（x）-（p-a）＜0，

∴f（x）＜p-a．

解法一：由可得（5k2+m）x2+10kx+5-5m=0，

∴△=m-5k2-1≥0即m≥5k2+1≥1∴m≥1且m≠5；

解法二：直线恒过一定点（0，1），

当m＜5时，椭圆焦点在x轴上，短半轴长，

要使直线与椭圆恒有交点则，即1≤m＜5；

当m＞5时，椭圆焦点在y轴上，长半轴长，

可保证直线与椭圆恒有交点即m＞5．

综述：m≥1且m≠5；

解法三：直线恒过一定点（0，1），

要使直线与椭圆恒有交点，

即要保证定点（0，1）在椭圆内部，

即m≥1且m≠5．

解：（1）由题意，，解得：a2=8，b2=4．

∴椭圆C的方程为；

（2）联立，得3x2+4mx+2m2-8=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则．

∴，

∴A，B的中点坐标为（），

又线段AB的中点M在圆x2+y2=1上，

∴，解得：．

∴，=．

则|AB|===．

解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知y1＞0，y2＜0．

直线l的方程为y=（x-c），其中c=．

联立，得 （3a2+b2）y2+2b2cy-3b4=0．

解得y1=-，y2=-，

因为=2，所以-y1=2y2．

即-=2•，

解得离心率e==；

（2）因为|AB|=•|y2-y1|，

∴=•，

由e==得b=a，所以a=，

解得a=6，b=2．

故椭圆C的方程为+=1．

解：（Ⅰ）∵

∴a=2，b=1∴椭圆的方程为

（Ⅱ）依题意，设l的方程为，

由 ，

显然△=12k2+4（k2+4）＞0，，

由得•=0，即有

=

=，

解得．

即得直线l的斜率k的值为±．