圆锥曲线与方程_章节学习

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题型：填空题

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填空题

已知抛物线x2=ay的焦点恰好为双曲线y2-x2=2的上焦点，则a的值为______．

正确答案

8

解析

解：抛物线x2=ay（a＞0）的焦点为（0，），

双曲线y2-x2=2的焦点为（0，，±2），

∵a＞0，

∴，

∴a=8，

故答案为：8．

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题型：单选题

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单选题

如果双曲线=1（m＞0，n＞0）的渐近线方程渐近线为y=x，则椭圆的离心率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：由题意，，∴m=4n

∴椭圆中，a2=m=4n，b2=n

c2=m-n=4n-n=3n

∴e===

故选A．

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题型：填空题

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填空题

对于圆锥曲线，给出以下结论：

①设A、B为两个定点，k为非零常数，||-||=k，则动点P的轨迹为双曲线；

②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若=（+），则动点P的轨迹为圆；

③方程4x2-12x+5=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

④双曲线-=1与椭圆+=1有相同的焦点．

⑤椭圆C：+y2=1上满足•=0的点M有4个（其中F1，F2为椭圆C的焦点）．

其中正确结论的序号为______（写出所有正确结论的序号）．

正确答案

③④

解析

解：①不正确．若动点P的轨迹为双曲线，则|k|要小于A、B为两个定点间的距离．当|k|大于A、B为两个定点间的距离时动点P的轨迹不是双曲线；

对于②，设定圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，点A（m，n），P（x，y），由=（+），可知P为AB的中点，则B（2x-m，2y-n），因为AB为圆的动弦，所以B在已知圆上，把B的坐标代入圆x2+y2+Dx+Ey+F=0得到P的轨迹仍为圆，当B与A重合时AB不是弦，所以点A除外，所以②不正确；

因为4x2-12x+5=0的两根是1.25，0.5，椭圆的离心率范围是（0，1），双曲线的离心率范围是（1，+∞），所以③正确；

④双曲线-=1与椭圆+=1有相同的焦点（±5，0），正确；

⑤椭圆C：+y2=1上满足•=0的点M有2个（0，±1）（其中F1，F2为椭圆C的焦点），不正确．

故答案为：③④．

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题型：单选题

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单选题

双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点，则双曲线的方程为（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：椭圆的焦点为（0，±3），即c=3，

设双曲线方程为

过点（），则，

得a2=4或a2=36，而a2＜9，

∴a2=4，双曲线方程为

故选C．

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题型：单选题

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单选题

设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的离心率为（　　）

A2

B

C

D

正确答案

B

解析

解：依题意可知椭圆的长轴的端点为（5，0）（-5，0），c==4

∴焦点坐标为（4，0）（-4，0）

设双曲线方程为

则有解得：a=2，b=

∴=．

故选B．

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题型：简答题

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简答题

求与双曲线有公共渐近线，且过点M（2，-2）的双曲线的标准方程．

正确答案

解：设所求双曲线的方程为，

将点M（2，-2）代入得λ=-2，

所求双曲线的标准方程为

解析

解：设所求双曲线的方程为，

将点M（2，-2）代入得λ=-2，

所求双曲线的标准方程为

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题型：填空题

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填空题

设双曲线的离心率为，且它的一条准线与抛物线y2=4x的准线重合，则此双曲线的方程为______．

正确答案

解析

解：∵双曲线的一条准线与抛物线y2=4x的准线重合

∴双曲线的一条准线为直线x=-1

∴

∵离心率为，∴

∴a=，c=3

∴b2=c2-a2=6

∴双曲线的方程为

故答案为：

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题型：单选题

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单选题

已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为F1，F2，记它们其中的一个交点为P，且∠F1PF2=120°，则该椭圆离心率e1与双曲线离心率e2必定满足的关系式为（　　）

A=1

B=1

C=1

D

正确答案

C

解析

解：由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，不妨令P在双曲线的右支上

由双曲线的定义|PF1|-|PF2|=2m ①

由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a ②

又∠F1PF2=1200，故|PF1|2+|PF2|2+|PF1||PF2|=4c2 ③

①2+②2得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2④

-①2+②2得|PF1||PF2|=a2-m2⑤

将④⑤代入③得3a2+m2=4c2，即，即=1

故选C

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题型：单选题

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单选题

（　　）

Ax=-1

Bx=-2

C

Dx=-4

正确答案

B

解析

解：由题意椭圆，故它的右焦点坐标是（2，0），

又的y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆的右焦点重合，

故p=4

∴抛物线的准线方程为x=-2

故选B

1

题型：单选题

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单选题

方程所表示的曲线是（　　）

A双曲线

B焦点在x轴上的椭圆

C焦点在y轴上的椭圆

D以上答案都不对

正确答案

C

解析

解：192=361，

192010=3611005=360m+1，其中m为正整数．

∴sin（192010）°=sin1°＞0，

cos（192010）°=cos1°＞0．

且sin1°＜cos1°

∴所表示的曲线是焦点在y轴的椭圆．

故选C

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题型：单选题

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单选题

当k＜17且k≠8时，曲线与曲线的（　　）

A焦距相等

B准线相同

C焦点相同

D离心率相等

正确答案

A

解析

解：根据椭圆方程可得：

椭圆的半焦距c==3

当k＜8时，根据椭圆的方程

可知椭圆的半焦距=

得：曲线与曲线的焦距相等

故选A．

1

题型：简答题

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简答题

判断方程-=1所表示的曲线．

正确答案

解：若（9-k）（2k-4）＞0，则2＜k＜9，方程表示双曲线；

若9-k＞4-2k＞0，即2＞k＞-5时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；若0＜9-k＜4-2k，即k＜-5时，方程表示焦点在y轴上的椭圆；9-k=4-2k，即k=-5时，方程表示圆．

解析

解：若（9-k）（2k-4）＞0，则2＜k＜9，方程表示双曲线；

若9-k＞4-2k＞0，即2＞k＞-5时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；若0＜9-k＜4-2k，即k＜-5时，方程表示焦点在y轴上的椭圆；9-k=4-2k，即k=-5时，方程表示圆．

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题型：填空题

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填空题

双曲线的离心率为______；若椭圆与双曲线C有相同的焦点，则a=______．

正确答案

2

解析

解：双曲线

∴焦点坐标为（-，0），（，0）

∴双曲线C的离心率，

∵椭圆C的焦点与双曲线C的焦点重合

∴椭圆的c=，

∴，∴a=2．

故答案为：；2．

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题型：简答题

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简答题

（2015春•德宏州校级期中）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为，过点（-1，0）且斜率为1的直线l与椭圆交于不同的两点A，B．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求弦|AB|的中点坐标．

正确答案

解：（1）由题意可得：，解得b=1，

故椭圆的标准方程为：=1．

（2）由点斜式得直线方程为y=x+1，设直线与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．

联立，化为2x2+3x=0，

由韦达定理可得x1+x2=-．

故中点横坐标x==-，

代入直线方程可得中点纵坐标y=．

∴弦AB的中点坐标为．

解析

解：（1）由题意可得：，解得b=1，

故椭圆的标准方程为：=1．

（2）由点斜式得直线方程为y=x+1，设直线与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．

联立，化为2x2+3x=0，

由韦达定理可得x1+x2=-．

故中点横坐标x==-，

代入直线方程可得中点纵坐标y=．

∴弦AB的中点坐标为．

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题型：单选题

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单选题

已知抛物线y2=2px（p＞0）与椭圆有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则椭圆的离心率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：设点A坐标为（x0，y0）依题意可知=，x0=代入椭圆方程得（*）

根据抛物线定义可知y0=p=2=2c

∴y20=4c2，代入（*）式整理得a2-c2-2ac=0

两边除以a2得e2+2e-1=0，解得e=或--1（排除）

故选D

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