圆锥曲线与方程_章节学习

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题型：单选题

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单选题

（2014秋•市中区校级月考）若直线y=-x+m与曲线y=只有一个公共点，则m的取值范围是（　　）

A-1≤m＜2

B-≤m≤2

C-2≤m＜2或m=5

D-≤m≤2或m=5

正确答案

D

解析

解：根据曲线y=，得到5-x2≥0，解得：-2≤x≤2；y≥0，

画出曲线的图象，为椭圆在x轴上边的一部分，如图所示：

当直线y=-x+m在直线l1的位置时，直线与椭圆相切，故只有一个交点，

把直线y=-x+m代入椭圆方程得：5x2-8mx+4m2-20=0，得到△=0，

即64m2-20（4m2-20）=0，化简得：m2=25，解得m=5或m=-5（舍去），

则m=5时，直线与曲线只有一个公共点；

当直线y=-x+m在直线l2位置时，直线与曲线刚好有两个交点，此时m=2，

当直线y=-x+m在直线l3位置时，直线与曲线只有一个公共点，此时m=-2，

则当-2≤m＜2时，直线与曲线只有一个公共点，

综上，满足题意得m的范围是-2≤m＜2或m=5．

故选D

1

题型：简答题

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简答题

已知椭圆x2+=1的左、右两个顶点分别为A，B．双曲线C的方程为x2-=1．设点P在第一象限且在双曲线C上，直线AP与椭圆相交于另一点T．

（Ⅰ）设P，T两点的横坐标分别为x1，x2，证明x1•x2=1；

（Ⅱ）设△TAB与△POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S1与S2，且•≤15，求S-S的取值范围．

正确答案

（Ⅰ）证明：设点P（x1，y1）、T（x2，y2）（xi＞0，yi＞0，i=1，2），直线AP的斜率为k（k＞0），

则直线AP的方程为y=k（x+1），

代入椭圆方程，消去y，整理，得（4+k2）x2+2k2x+k2-4=0，

解得x=-1或x=，故x2=．

同理可得x1=．

所以x1•x2=1．

（Ⅱ）设点P（x1，y1）、T（x2，y2）（xi＞0，yi＞0，i=1，2），

则=（-1-x1，y1），=（1-x1，y1）．

因为•≤15，所以（-1-x1）（1-x1）+y12≤15，即x12+y12≤16．

因为点P在双曲线上，所以，所以x12+4x12-4≤16，即x12≤4．

因为点P是双曲线在第一象限内的一点，所以1＜x1≤2．

因为S1=|y2|，S2=，

所以S-S==

由（Ⅰ）知，x1•x2=1，即．

设t=，则1＜t≤4，S-S=5-t-．

设f（t）=5-t-，则f′（t）=-1+=，

当1＜t＜2时，f‘（t）＞0，当2＜t≤4时，f'（t）＜0，

所以函数f（t）在（1，2）上单调递增，在（2，4]上单调递减．

因为f（2）=1，f（1）=f（4）=0，

所以当t=4，即x1=2时，S-S的最小值为f（4）=0，当t=2，即x1=时，S-S的最大值为f（2）=1．

所以S-S的取值范围为[0，1]．

解析

（Ⅰ）证明：设点P（x1，y1）、T（x2，y2）（xi＞0，yi＞0，i=1，2），直线AP的斜率为k（k＞0），

则直线AP的方程为y=k（x+1），

代入椭圆方程，消去y，整理，得（4+k2）x2+2k2x+k2-4=0，

解得x=-1或x=，故x2=．

同理可得x1=．

所以x1•x2=1．

（Ⅱ）设点P（x1，y1）、T（x2，y2）（xi＞0，yi＞0，i=1，2），

则=（-1-x1，y1），=（1-x1，y1）．

因为•≤15，所以（-1-x1）（1-x1）+y12≤15，即x12+y12≤16．

因为点P在双曲线上，所以，所以x12+4x12-4≤16，即x12≤4．

因为点P是双曲线在第一象限内的一点，所以1＜x1≤2．

因为S1=|y2|，S2=，

所以S-S==

由（Ⅰ）知，x1•x2=1，即．

设t=，则1＜t≤4，S-S=5-t-．

设f（t）=5-t-，则f′（t）=-1+=，

当1＜t＜2时，f‘（t）＞0，当2＜t≤4时，f'（t）＜0，

所以函数f（t）在（1，2）上单调递增，在（2，4]上单调递减．

因为f（2）=1，f（1）=f（4）=0，

所以当t=4，即x1=2时，S-S的最小值为f（4）=0，当t=2，即x1=时，S-S的最大值为f（2）=1．

所以S-S的取值范围为[0，1]．

1

题型：单选题

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单选题

已知点P是椭圆16x2+25y2=1600上一点，且在x轴上方，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，直线PF2的斜率为，则△PF1F2的面积为（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：椭圆16x2+25y2=1600化成标准形式为．

∴F1、F2是椭圆的左、右焦点，

∴F1（-6，0），F2（6，0），

设P（x，y）是椭圆上一点，则

消去y，得19x2-225x+650=0，

∴x1=5或x2=．

当x2=时，代入②得与③矛盾，舍去．

由x=5，得y=4．

∴△PF1F2的面积S==24．

故选B．

1

题型：简答题

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简答题

已知过点A（0，4）的直线l与以F为焦点的抛物线C：x2=py相切于点T（-4，yo）；中心在坐标原点，一个焦点为F的椭圆与直线l有公共点．

（1）求直线l的方程和焦点F的坐标；

（2）求当椭圆的离心率最大时椭圆的方程；

（3）设点M（x1，yl）是抛物线C上任意一点，D（0，-2）为定点，是否存在垂直于y轴的直线l′被以MD为直径的圆截得的弦长为定值？请说明理由．

正确答案

解：（1）∵，∴，∴l：

∵直线l过点A（0，4），∴，∴p=-4

∴l的方程为2x-y+4=0，焦点F的坐标为（0，-1）…（4分）

（2）设椭圆为=1（a＞1），F1（0，1），F2（0，-1），则，当e最大时，a取得最小

则在直线l上找一点P，使得|PF1|+|PF2|最小

设F2（0，-1）关于2x-y+4=0对称点为F2′（x0，y0） …（6分）

，解得

∴…（8分）

∴所求椭圆方程为…（9分）

（3）假设l′存在为y=b，以MD为直径的圆N的圆心为N

半径为r=|ND|=…l0分

N到直线l′的距离为d=

∵

∴弦长=…（12分）

∴当b=-1时，弦长为定值2 …（13分）

即l′为y=-1时，垂直于y轴的直线l′被以MD为直径的圆截得的弦长为定值2．…（14分）

解析

解：（1）∵，∴，∴l：

∵直线l过点A（0，4），∴，∴p=-4

∴l的方程为2x-y+4=0，焦点F的坐标为（0，-1）…（4分）

（2）设椭圆为=1（a＞1），F1（0，1），F2（0，-1），则，当e最大时，a取得最小

则在直线l上找一点P，使得|PF1|+|PF2|最小

设F2（0，-1）关于2x-y+4=0对称点为F2′（x0，y0） …（6分）

，解得

∴…（8分）

∴所求椭圆方程为…（9分）

（3）假设l′存在为y=b，以MD为直径的圆N的圆心为N

半径为r=|ND|=…l0分

N到直线l′的距离为d=

∵

∴弦长=…（12分）

∴当b=-1时，弦长为定值2 …（13分）

即l′为y=-1时，垂直于y轴的直线l′被以MD为直径的圆截得的弦长为定值2．…（14分）

1

题型：单选题

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单选题

以下四个关于圆锥曲线的命题中：

①A、B为两个定点，k为非零常数，||-||=k，则动点P的轨迹为双曲线；

②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，P是AB中点，则动点P的轨迹为椭圆；

③方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

④双曲线-=1与椭圆+y2=1有相同的焦点．其中正确命题的个数（　　）

A0个

B1个

C2个

D3个

正确答案

C

解析

解：①A、B为两个定点，k为非零常数，||-||=k，只有当k＜|AB|时，则动点P的轨迹为双曲线，因此不正确；

②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，P是AB中点，则动点P的轨迹为圆，不正确；

③方程2x2-5x+2=0的两根分别为，2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，正确；

④由双曲线-=1可得c=，其焦点为，椭圆+y2=1的焦点为，因此有相同的焦点，正确．

其中正确命题的个数是2．

故选：C．

1

题型：简答题

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简答题

已知倾斜角为45°的直线l过点A（1，-2）和点B，B在第一象限，．

（1）求点B的坐标；

（2）若直线l与双曲线（a＞0）相交于E、F两点，且线段EF的中点坐标为（4，1），求a的值；

（3）对于平面上任一点P，当点Q在线段AB上运动时，称|PQ|的最小值为P与线段AB的距离．已知点P在x轴上运动，写出点P（t，0）到线段AB的距离h关于t的函数关系式．

正确答案

解：（1）直线AB方程为y=x-3，设点B（x，y），

由及x＞0，y＞0得x=4，y=1，点B的坐标为（4，1）．

（2）由得，

设E（x1，y1），F（x2，y2），则，得a=2．

（3）设线段AB上任意一点Q坐标为Q（x，x-3），，

记（1≤t≤4），

当时，即-1≤t≤5时，，

当，即t＞5时，f（x）在[1，4]上单调递减，；

当，即t＜-1时，f（x）在[1，4]上单调递增，．

综上所述，

解析

解：（1）直线AB方程为y=x-3，设点B（x，y），

由及x＞0，y＞0得x=4，y=1，点B的坐标为（4，1）．

（2）由得，

设E（x1，y1），F（x2，y2），则，得a=2．

（3）设线段AB上任意一点Q坐标为Q（x，x-3），，

记（1≤t≤4），

当时，即-1≤t≤5时，，

当，即t＞5时，f（x）在[1，4]上单调递减，；

当，即t＜-1时，f（x）在[1，4]上单调递增，．

综上所述，

1

题型：简答题

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简答题

已知圆锥曲线E：+=4c（c为正常数，过原点O的直线与曲线E交于P、A两点，其中P在第一象限，B是曲线E上不同于P，A的点，直线PB，AB的斜率分别为k1，k2，且k1k2≠0．

（Ⅰ）若P点坐标为（1，），求圆锥曲线E的标准方程；

（Ⅱ）求k1•k2的值；

（Ⅲ）若PD⊥x轴于点D，D点坐标为（m，0），存在μ∈R使=μ，且直线AB与直线l：x=交于点M，记直线PA、PM的斜率分别为k3，k4，问是否存在常数λ，使k1+k3=λk4，若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由．

正确答案

解：（I）由圆锥曲线E满足：+=4c（c为正常数）．

∴点E的轨迹是以（±c，0）为焦点，4c为长轴长的椭圆，

可得方程为．

把（1，）代入可得=1，解得c2=1，

∴椭圆E的标准方程为．

（II）设P（x1，y1），B（x2，y2），则A（-x1，-y1）．

∴，，

∴，

∴=．

∴k1k2===．

（III）设P（x1，y1），则A（-x1，-y1），D（x1，0），直线x=（m=x1）．

，k3=．

∵k1k2=．

∴k1=．

∵=，

∴yM=．

∴k4==．

假设存在常数λ，使k1+k3=λk4，

则-=λ，

化为λ=，

∵，

代入上式可得λ=×=2，

∴存在常数λ=2，使k1+k3=λk4成立．

解析

解：（I）由圆锥曲线E满足：+=4c（c为正常数）．

∴点E的轨迹是以（±c，0）为焦点，4c为长轴长的椭圆，

可得方程为．

把（1，）代入可得=1，解得c2=1，

∴椭圆E的标准方程为．

（II）设P（x1，y1），B（x2，y2），则A（-x1，-y1）．

∴，，

∴，

∴=．

∴k1k2===．

（III）设P（x1，y1），则A（-x1，-y1），D（x1，0），直线x=（m=x1）．

，k3=．

∵k1k2=．

∴k1=．

∵=，

∴yM=．

∴k4==．

假设存在常数λ，使k1+k3=λk4，

则-=λ，

化为λ=，

∵，

代入上式可得λ=×=2，

∴存在常数λ=2，使k1+k3=λk4成立．

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题型：填空题

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填空题

已知抛物线x2=2y，过点P（0，1）的直线与抛物线相交于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，则y1+y2的最小值是______．

正确答案

2

解析

解：设过点P（0，1）的直线方程为：

y=kx+1，

联立方程组，

整理，得

x2-2kx-1=0，

∴△=4k2+4＞0，

∴x1+x2=2k，x1•x2=-1，

∵y1=kx1+1，y2=kx2+1

∴y1+y2=k（x1+x2）+2

=2k2+2，

∴当k=0时，y1+y2的最小值2．

故答案为：2．

1

题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，椭圆短轴长为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．

①若线段AB中点的横坐标为-，求斜率k的值；

②若点M（-，0），求证：为定值．

正确答案

解：（Ⅰ）因为（a＞b＞0）满足a2=b2+c2①，

由=②，2b=③．联立①②③，

解得a2=5，，

所以椭圆方程为=1．

（Ⅱ）（1）将y=k（x+1）代入=1中，得（1+3k2）x2+6k2x+3k2-5=0，

△=36k4-4（3k2+1）（3k2-5）=48k2+20＞0，，

因为AB中点的横坐标为-，所以-=-，解得k=±，

（2）由（1）知，，

所以=（x1+，y1）（，y2）=（）（）+y1y2

=（）（）+k2（x1+1）（x2+1）

=（1+k2）x1x2+（+k2）（x1+x2）++k2

=（1+k2）+（）（-）++k2=；

解析

解：（Ⅰ）因为（a＞b＞0）满足a2=b2+c2①，

由=②，2b=③．联立①②③，

解得a2=5，，

所以椭圆方程为=1．

（Ⅱ）（1）将y=k（x+1）代入=1中，得（1+3k2）x2+6k2x+3k2-5=0，

△=36k4-4（3k2+1）（3k2-5）=48k2+20＞0，，

因为AB中点的横坐标为-，所以-=-，解得k=±，

（2）由（1）知，，

所以=（x1+，y1）（，y2）=（）（）+y1y2

=（）（）+k2（x1+1）（x2+1）

=（1+k2）x1x2+（+k2）（x1+x2）++k2

=（1+k2）+（）（-）++k2=；

1

题型：单选题

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单选题

设过点P（x，y）的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若且，则点P的轨迹方程是（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：设P（x，y），则Q（-x，y），又设A（a，0），B（0，b），则a＞0，b＞0，

∴，

由可得a=x，b=3y，

∴x＞0，y＞0

又∵=（-a，b）=（-x，3y），

由=1

∴

故选：D

1

题型：填空题

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填空题

以椭圆的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点的双曲线的渐近线方程为______．

正确答案

解析

解：由题意，椭圆的焦点坐标为（±4，0），∴双曲线的顶点坐标为（±4，0），

∵双曲线以椭圆的顶点为焦点

∴双曲线的焦点为（±5，0），

∴双曲线中，b2=a2-c2=9

∴双曲线的渐近线方程为

故答案为：

1

题型：简答题

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简答题

设F1、F2分别是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，M，N分别为其短轴的两个端点，且四边形MF1NF2的周长为4设过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AB|=．

（1）求|AF2|•|BF2|的最大值；

（2）若直线l的倾斜角为45°，求△ABF2的面积．

正确答案

解：（1）∵四边形MF1NF2为菱形，周长为4，∴a=1

由椭圆的定义可知|AF2|+|AB|+|BF2|=4a=4，

∵|AB|=，∴|AF2|+|BF2|=

∴|AF2|•|BF2|≤=

当且仅当|AF2|=|BF2|=时，等号成立，即|AF2|•|BF2|的最大值为；

（2）∵直线l的倾斜角为45°，∴可设l的方程为y=x+c，其中

由（1）知椭圆E的方程为

直线方程代入椭圆方程，化简可得（1+b2）x2+2cx+1-2b2=0

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=

∵|AB|=|x1-x2|=

∴=

∴

∴c=

∴l的方程为

∴F2到l的距离d=1

∴

解析

解：（1）∵四边形MF1NF2为菱形，周长为4，∴a=1

由椭圆的定义可知|AF2|+|AB|+|BF2|=4a=4，

∵|AB|=，∴|AF2|+|BF2|=

∴|AF2|•|BF2|≤=

当且仅当|AF2|=|BF2|=时，等号成立，即|AF2|•|BF2|的最大值为；

（2）∵直线l的倾斜角为45°，∴可设l的方程为y=x+c，其中

由（1）知椭圆E的方程为

直线方程代入椭圆方程，化简可得（1+b2）x2+2cx+1-2b2=0

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=

∵|AB|=|x1-x2|=

∴=

∴

∴c=

∴l的方程为

∴F2到l的距离d=1

∴

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题型：简答题

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简答题

已知F1、F2分别是椭圆C：+=1的左、右焦点，点P是椭圆上异于顶点的任意一点，过点F2作直线PF2的垂线交直线x=4于点Q．

（1）当PF1⊥F1F2时，求点Q坐标；

（2）判断直线PQ与直线OP的斜率之积是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由；

（3）证明：直线PQ与椭圆C只有一个公共点．

正确答案

解：（1）由题意，作图如右：

由可得，y=±，

则点P（-1，），

则|PF1|=，|F1F2|=2；

则由△PF1F2∽△F2EQ知，

，

即=，

解得，|QE|=4，

则点Q（4，4）或（4，-4）；

（2）由题意，如右图：

设点P（a，b），点Q（4，y），F2（1，0）；

则由PF2⊥QF2知，

，

化简得，y=-3，

则kPQ==，

又∵，

∴，

∴kPQ==-，

又∵kOP=，

∴kOP×kQP=-，

即直线PQ与直线OP的斜率之积为定值-．

（3）证明：由题意，直线PQ的方程为：y-b=-（x-a），

即y=-x+a+b=-x+，

与+=1联立消y，

由可化为3a2+4b2=12，

将3a2+4b2=12代入化简可得，

3x2-6ax+12-4b2=0，

则△=（6a）2-4×3（12-4b2）

=12（3a2-12+4b2）=0，

故方程有一个根，

即直线PQ与椭圆C只有一个公共点．

解析

解：（1）由题意，作图如右：

由可得，y=±，

则点P（-1，），

则|PF1|=，|F1F2|=2；

则由△PF1F2∽△F2EQ知，

，

即=，

解得，|QE|=4，

则点Q（4，4）或（4，-4）；

（2）由题意，如右图：

设点P（a，b），点Q（4，y），F2（1，0）；

则由PF2⊥QF2知，

，

化简得，y=-3，

则kPQ==，

又∵，

∴，

∴kPQ==-，

又∵kOP=，

∴kOP×kQP=-，

即直线PQ与直线OP的斜率之积为定值-．

（3）证明：由题意，直线PQ的方程为：y-b=-（x-a），

即y=-x+a+b=-x+，

与+=1联立消y，

由可化为3a2+4b2=12，

将3a2+4b2=12代入化简可得，

3x2-6ax+12-4b2=0，

则△=（6a）2-4×3（12-4b2）

=12（3a2-12+4b2）=0，

故方程有一个根，

即直线PQ与椭圆C只有一个公共点．

1

题型：单选题

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单选题

若直线l被圆x2+y2=4所截得的弦长为，则直线l与下列曲线一定有公共点的是（　　）

Ay2=x

B（x-2）2+y2=4

C

D

正确答案

C

解析

解：∵直线l被圆x2+y2=4所截得的弦长为，

∴圆心到直线l的距离为1

∴直线l是圆x2+y2=1的切线

∵圆x2+y2=1在内

∴直线l与一定有公共点

故选C．

1

题型：简答题

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简答题

（2015秋•曲沃县校级期末）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，

（1）求双曲线的焦点坐标；

（2）求双曲线的标准方程．

正确答案

解：因为抛物线y2=24x的准线方程为x=-6，

则由题意知，点F（-6，0）是双曲线的左焦点，

（1）双曲线的焦点坐标F（±6，0）；

（2）由（1），所以a2+b2=c2=36，

又双曲线的一条渐近线方程是y=x，

所以，

解得a2=9，b2=27，

所以双曲线的方程为．

故选B．

解析

解：因为抛物线y2=24x的准线方程为x=-6，

则由题意知，点F（-6，0）是双曲线的左焦点，

（1）双曲线的焦点坐标F（±6，0）；

（2）由（1），所以a2+b2=c2=36，

又双曲线的一条渐近线方程是y=x，

所以，

解得a2=9，b2=27，

所以双曲线的方程为．

故选B．

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