圆锥曲线与方程_章节学习

1

题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线+=1与圆x2+y2=相切．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设F2是椭圆C的右焦点，与坐标轴不平行的直线l经过F2与该椭圆交于A，B两点，P是A关于x轴的对称点，证明：直线BP与x轴的交点是个定点．

正确答案

（1）解：由于椭圆的离心率为，则=，

即有a=2c，b=c，

又直线+=1与圆x2+y2=相切，

则d==，即有=，

解得，c=1，则a=2，b=．

则椭圆方程为：=1；

（2）证明：设与坐标轴不平行经过F2的直线l的方程为y=k（x-1），

代入椭圆方程，消去y，得，（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

即有x1+x2=，x1x2=，

由于P是A关于x轴的对称点，则P（x1，-y1），

设直线BP与x轴的交点为Q（m，0），

即有kBP=kBQ，

即为=，即有=，

化简可得，2x1x2=（m+1）（x1+x2）-2m，

即有=（m+1）-2m，

解得，m=4．

即有Q（4，0）．

则直线BP与x轴的交点是个定点（4，0）．

解析

（1）解：由于椭圆的离心率为，则=，

即有a=2c，b=c，

又直线+=1与圆x2+y2=相切，

则d==，即有=，

解得，c=1，则a=2，b=．

则椭圆方程为：=1；

（2）证明：设与坐标轴不平行经过F2的直线l的方程为y=k（x-1），

代入椭圆方程，消去y，得，（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

即有x1+x2=，x1x2=，

由于P是A关于x轴的对称点，则P（x1，-y1），

设直线BP与x轴的交点为Q（m，0），

即有kBP=kBQ，

即为=，即有=，

化简可得，2x1x2=（m+1）（x1+x2）-2m，

即有=（m+1）-2m，

解得，m=4．

即有Q（4，0）．

则直线BP与x轴的交点是个定点（4，0）．

1

题型：单选题

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单选题

双曲线（a＞0）的焦点与椭圆的焦点重合，则双曲线的离心率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：由题意，c2=a2+1=4-1，∴a=，c=

∴e==

故选D．

1

题型：单选题

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单选题

若椭圆与双曲线x2-y2=1有相同的焦点，且过抛物线y2=8x的焦点，则该椭圆的方程是（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），

双曲线 x2-y2=1的焦点坐标为（，0），（-，0），

所以椭圆过（2，0），且椭圆的焦距2c=2 ，

即c=，则a2-b2=c2=2，即a2=b2+2，

所以设椭圆的方程为：+=1，

把（2，0）代入得：=1即b2=2，

则该椭圆的方程是：．

故选A

1

题型：填空题

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填空题

已知点P为椭圆上一点，A、B为椭圆=1上不同的两点，且，若OA、OB所在的直线的斜率为k1、k2，则k1•k2=______．

正确答案

-

解析

解：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）．

则，，．

∵，∴，代入上述方程得

，

∴+，

∴，

得=-．

故答案为-．

1

题型：填空题

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填空题

过抛物线y2=4x的焦点F作直线l交抛物线于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，若x1+x2=9，则|PQ|=______．

正确答案

11

解析

解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=-1，

∵抛物线y2=4x 的焦点作直线交抛物线于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点

∴|PQ|=x1+x2+2，

又x1+x2=9

∴|PQ|=x1+x2+2=11

故答案为：11．

1

题型：单选题

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单选题

在同一坐标系中，方程与bx2=-ay（a＞b＞0）表示的曲线大致是（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：由a＞b＞0，

椭圆a2x2+b2y2=1，即，焦点在x轴上；

抛物线bx2=-ay，即y2=-x，焦点在x轴的负半轴上；

分析可得，A符合，

故选A．

1

题型：简答题

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简答题

已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．

（Ⅰ）求C2的方程；

（Ⅱ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率．

正确答案

解：（Ⅰ）由C1方程可知F（0，1），

∵F也是椭圆C2的一个焦点，∴a2-b2=1，

又∵C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2的图象都关于y轴对称，

∴易得C1与C2的公共点的坐标为（±，），

∴，

又∵a2-b2=1，

∴a2=9，b2=8，

∴C2的方程为+=1；

（Ⅱ）如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），

∵与同向，且|AC|=|BD|，

∴=，∴x1-x2=x3-x4，

∴（x1+x2）2-4x1x2=（x3+x4）2-4x3x4，

设直线l的斜率为k，则l方程：y=kx+1，

由，可得x2-4kx-4=0，

由韦达定理可得x1+x2=4k，x1x2=-4，

由，得（9+8k2）x2+16kx-64=0，

由韦达定理可得x3+x4=-，x3x4=-，

又∵（x1+x2）2-4x1x2=（x3+x4）2-4x3x4，

∴16（k2+1）=+，

化简得16（k2+1）=，

∴（9+8k2）2=16×9，解得k=±，

即直线l的斜率为±．

解析

解：（Ⅰ）由C1方程可知F（0，1），

∵F也是椭圆C2的一个焦点，∴a2-b2=1，

又∵C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2的图象都关于y轴对称，

∴易得C1与C2的公共点的坐标为（±，），

∴，

又∵a2-b2=1，

∴a2=9，b2=8，

∴C2的方程为+=1；

（Ⅱ）如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），

∵与同向，且|AC|=|BD|，

∴=，∴x1-x2=x3-x4，

∴（x1+x2）2-4x1x2=（x3+x4）2-4x3x4，

设直线l的斜率为k，则l方程：y=kx+1，

由，可得x2-4kx-4=0，

由韦达定理可得x1+x2=4k，x1x2=-4，

由，得（9+8k2）x2+16kx-64=0，

由韦达定理可得x3+x4=-，x3x4=-，

又∵（x1+x2）2-4x1x2=（x3+x4）2-4x3x4，

∴16（k2+1）=+，

化简得16（k2+1）=，

∴（9+8k2）2=16×9，解得k=±，

即直线l的斜率为±．

1

题型：填空题

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填空题

已知AB是椭圆上不垂直于对称轴的弦，M为AB中点，O为坐标原点，设直线AB和直线OM斜率分别为k1，k2，则k1•k2=______．

正确答案

-

解析

解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则，，．

∵，，

∴+=0．

∴=0，∴．

∴．

故答案为-．

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题型：简答题

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简答题

设中心在坐标原点的椭圆M与双曲线2x2-2y2=1有公共焦点，且它们的离心率互为倒数

（Ⅰ）求椭圆M的方程；

（Ⅱ）过点A（2，0）的直线交椭圆M于P、Q两点，且满足OP⊥OQ，求直线PQ的方程．

正确答案

解：（Ⅰ）设椭圆M的方程为

则有

解得，

∴椭圆M的方程为

（Ⅱ）当k不存在时，直线为x=2与椭圆无交点

当k存在时，设PQ：y=k（x-2）

代入整理得：（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则有

∴

∵OP⊥OQ，

∴y1y2+x1x2=0即

解得：

所求直线PQ的方程为

解析

解：（Ⅰ）设椭圆M的方程为

则有

解得，

∴椭圆M的方程为

（Ⅱ）当k不存在时，直线为x=2与椭圆无交点

当k存在时，设PQ：y=k（x-2）

代入整理得：（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则有

∴

∵OP⊥OQ，

∴y1y2+x1x2=0即

解得：

所求直线PQ的方程为

1

题型：简答题

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简答题

如图，设A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，过原点O作直线交线段AB于点M（异于点A，B），交椭圆于C，D两点（点C在第一象限内），△ABC和△ABD的面积分别为S1与S2．

（1）若M是线段AB的中点，直线OM的方程为，求椭圆的离心率；

（2）当点M在线段AB上运动时，求的最大值．

正确答案

解：（1）由题设，得A（a，0），B（0，b），则点M（）．

因为点M在直线y=上，所以，则b=．

从而，

故椭圆的离心率e=．

（2）设C（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则，D（-x0，-y0）．

由题设，直线AB的方程为，即bx+ay-ab=0．

因为点C在直线AB的上方，

所以点C到直线AB的距离=．

同理可得点D到直线AB的距离=．

因为，即，且bx0＞0，ay0＞0．

所以=．

当且仅当bx0=ay0时等号成立．

由，得．

因此，．

所以，当时，取得最大值，最大值为3-2．

解析

解：（1）由题设，得A（a，0），B（0，b），则点M（）．

因为点M在直线y=上，所以，则b=．

从而，

故椭圆的离心率e=．

（2）设C（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则，D（-x0，-y0）．

由题设，直线AB的方程为，即bx+ay-ab=0．

因为点C在直线AB的上方，

所以点C到直线AB的距离=．

同理可得点D到直线AB的距离=．

因为，即，且bx0＞0，ay0＞0．

所以=．

当且仅当bx0=ay0时等号成立．

由，得．

因此，．

所以，当时，取得最大值，最大值为3-2．

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题型：简答题

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简答题

如图，已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴上，抛物线上的点A到F的距离为2，且A的横坐标为1．过A点作抛物线C的两条动弦AD、AE，且AD、AE的斜率满足kAD•kAE=2．

（1）求抛物线C的方程；

（2）直线DE是否过某定点？若过某定点，请求出该点坐标；若不过某定点，请说明理由．

正确答案

解：（1）设抛物线方程为C：y2=2px（p＞0），

由其定义知，又|AF|=2，

所以p=2，y2=4x；

（2）易知A（1，2），设D（x1，y1），E（x2，y2），

DE方程为x=my+n（m≠0），

把DE方程代入C，并整理得y2-4my-4n=0，△=16（m2+n）＞0，y1+y2=4m，y1y2=-4n，

由及，得y1y2+2（y1+y2）=4，即-4n+2×4m=4，

所以n=2m-1，代入DE方程得：x=my+2m-1，即（y+2）m=x+1，

故直线DE过定点（-1，-2）．

解析

解：（1）设抛物线方程为C：y2=2px（p＞0），

由其定义知，又|AF|=2，

所以p=2，y2=4x；

（2）易知A（1，2），设D（x1，y1），E（x2，y2），

DE方程为x=my+n（m≠0），

把DE方程代入C，并整理得y2-4my-4n=0，△=16（m2+n）＞0，y1+y2=4m，y1y2=-4n，

由及，得y1y2+2（y1+y2）=4，即-4n+2×4m=4，

所以n=2m-1，代入DE方程得：x=my+2m-1，即（y+2）m=x+1，

故直线DE过定点（-1，-2）．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右两个焦点为F1，F2离心率为e=，过点（，1）．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，椭圆的左顶点为M，连接MA，MB并延长交直线x=4于P、Q两点，yP，yQ分别为P、Q的纵坐标，且满足+=+．

求证：直线l过定点．

正确答案

（1）解：由离心率为e=，即=，①

椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（，1），即有+=1，②

又c2=a2-b2③

由①②③，解得a=2，b=，

故椭圆C的方程为+=1．

（2）证明：联立，消去y，得（2k2+1）x+4kmx+2m2-4=0，

则△=16k2m2-4（2k2+1）（2m2-4）=32k2-8m2+16＞0，又A（x1，y1），B（x2，y2），

即有x1+x2=-，x1x2=，

设直线MA：y=（x+2），则yP=，同理yQ=，

∵+=+，

∴+=+，即+=0，

∴（x1-4）y2+（x2-4）y2=0，∴（x1-4）（kx2+m）+（x2-4）（kx1+m）=0，

即2kx1x2+（m-4k）（x2+x1）-8m=0，

∴2k•+（m-4k）（-）-8m=0，

∴=0，故k=-m，

故直线l方程为y=kx-k，可知该直线过定点（1，0）．

解析

（1）解：由离心率为e=，即=，①

椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（，1），即有+=1，②

又c2=a2-b2③

由①②③，解得a=2，b=，

故椭圆C的方程为+=1．

（2）证明：联立，消去y，得（2k2+1）x+4kmx+2m2-4=0，

则△=16k2m2-4（2k2+1）（2m2-4）=32k2-8m2+16＞0，又A（x1，y1），B（x2，y2），

即有x1+x2=-，x1x2=，

设直线MA：y=（x+2），则yP=，同理yQ=，

∵+=+，

∴+=+，即+=0，

∴（x1-4）y2+（x2-4）y2=0，∴（x1-4）（kx2+m）+（x2-4）（kx1+m）=0，

即2kx1x2+（m-4k）（x2+x1）-8m=0，

∴2k•+（m-4k）（-）-8m=0，

∴=0，故k=-m，

故直线l方程为y=kx-k，可知该直线过定点（1，0）．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆经过点P，两焦点为F1、F2，短轴的一个端点为D，且．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线l恒过点，且交椭圆C于A、B两点，证明：以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）．

正确答案

解：（1）由题意知△DF1F2为等腰直角三角形，且b=c，

∴a=，

∴，

∵椭圆过点P（-1，-），代入方程，得b=1，

∴a=，故所求椭圆方程为．

（2）当直线l与x轴垂直时，以AB为直径的圆的方程为x2+y2=1，

此圆显然过点T（0，1）．

当直线l不垂直于x轴时，设直线l：y=kx-，

由，消去y，得：（18k2+9）x2-12kx-16=0，

设点A（x1，y1），B（x2，y2），

则，

∵，，

∴=x1x2+（y1-1）（y2-1）

=

=（1+k2）•，

∴TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过定点T（0，1），

综上所述，以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）．

解析

解：（1）由题意知△DF1F2为等腰直角三角形，且b=c，

∴a=，

∴，

∵椭圆过点P（-1，-），代入方程，得b=1，

∴a=，故所求椭圆方程为．

（2）当直线l与x轴垂直时，以AB为直径的圆的方程为x2+y2=1，

此圆显然过点T（0，1）．

当直线l不垂直于x轴时，设直线l：y=kx-，

由，消去y，得：（18k2+9）x2-12kx-16=0，

设点A（x1，y1），B（x2，y2），

则，

∵，，

∴=x1x2+（y1-1）（y2-1）

=

=（1+k2）•，

∴TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过定点T（0，1），

综上所述，以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）．

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题型：简答题

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简答题

已知抛物线E：x2=2py（p＞0）的准线方程是y=-．

（1）求抛物线E的方程；

（2）过点F（0，）的直线l与抛物线E交于P，Q两点，设N（0，a）（a＜0），且恒成立，求实数a的取值范围．

正确答案

解：（1）∵抛物线的准线方程是，∴，解得p=1，

抛物线E的方程是x2=2y．

（2）设直线l方程是，与x2=2y联立，消去y得，

x2-2kx-1=0，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=2k，x1x2=-1，

∵，∴x1x2+（y1-a）（y2-a）≥0，

又，，

得，对k∈R恒成立，

而2k2+1≥1，∴，解得．

解析

解：（1）∵抛物线的准线方程是，∴，解得p=1，

抛物线E的方程是x2=2y．

（2）设直线l方程是，与x2=2y联立，消去y得，

x2-2kx-1=0，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=2k，x1x2=-1，

∵，∴x1x2+（y1-a）（y2-a）≥0，

又，，

得，对k∈R恒成立，

而2k2+1≥1，∴，解得．

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题型：简答题

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简答题

（2015春•溧阳市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点为A，右焦点为F（c，0），P（x0，y0）为椭圆上一点，且PA⊥PF．

（1）若a=3，b=，求x0的值；

（2）若x0=0，求椭圆的离心率；

（3）试判断该椭圆的右准线与以F为圆心，FP为半径的圆的位置关系，并说明理由．

正确答案

解：（1）由a=3，b=，可得c==2，

PA⊥PF，可得•=-1，即为y02=-x02-x0+6，

又+=1，解得x0=或-3（舍去）；

（2）x0=0，即有y02=b2，

PA⊥PF，可得•=-1，即有y02=ac，

即为b2=ac=a2-c2，

由e=，可得e2+e-1=0，

解得e=（负的舍去）；

（3）PA⊥PF，可得P在以AF为直径的圆上，

即有圆的方程为（x+a）（x-c）+y2=0，

即有y02=（x0+a）（c-x0），

又+=1，

解方程可得，x0=-或-a（舍去），

由椭圆的第二定义可得，|PF|=（-x0）•

=a+•=-c，

而F到右准线x=的距离为-c，

故该椭圆的右准线与以F为圆心，FP为半径的圆相切．

解析

解：（1）由a=3，b=，可得c==2，

PA⊥PF，可得•=-1，即为y02=-x02-x0+6，

又+=1，解得x0=或-3（舍去）；

（2）x0=0，即有y02=b2，

PA⊥PF，可得•=-1，即有y02=ac，

即为b2=ac=a2-c2，

由e=，可得e2+e-1=0，

解得e=（负的舍去）；

（3）PA⊥PF，可得P在以AF为直径的圆上，

即有圆的方程为（x+a）（x-c）+y2=0，

即有y02=（x0+a）（c-x0），

又+=1，

解方程可得，x0=-或-a（舍去），

由椭圆的第二定义可得，|PF|=（-x0）•

=a+•=-c，

而F到右准线x=的距离为-c，

故该椭圆的右准线与以F为圆心，FP为半径的圆相切．

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