- 圆锥曲线与方程
- 共14739题
已知抛物线C1:x2=2py(p>0)上纵坐标为p的点到其焦点的距离为3.
(Ⅰ)求抛物线C1的方程;
(Ⅱ)过点P(0,-2)的直线交抛物线C1于A,B两点,设抛物线C1在点A,B处的切线交于点M,
(ⅰ)求点M的轨迹C2的方程;
(ⅱ)若点Q为(ⅰ)中曲线C2上的动点,当直线AQ,BQ,PQ的斜率kAQ,kBQ,kPQ均存在时,试判断是否为常数?若是,求出这个常数;若不是,请说明理由.
正确答案
解:(Ⅰ)由题意得,则p=2,…(3分)
所以抛物线C1的方程为x2=4y. …(5分)
(Ⅱ)(ⅰ)设过点P(0,-2)的直线方程为y=kx-2,A(x1,y1),B(x2,y2),
由得x2-4kx+8=0.
由△>0,得或
,x1+x2=4k,x1x2=8.…(7分)
抛物线C1在点A,B处的切线方程分别为,
,
即,
,
由得
所以点M的轨迹C2的方程为或
).…(10分)
(ⅱ)设Q(m,2)(),
则,
.…(11分)
所以=
…(12分)
==
==
=
=2,
即为常数2. …(15分)
解析
解:(Ⅰ)由题意得,则p=2,…(3分)
所以抛物线C1的方程为x2=4y. …(5分)
(Ⅱ)(ⅰ)设过点P(0,-2)的直线方程为y=kx-2,A(x1,y1),B(x2,y2),
由得x2-4kx+8=0.
由△>0,得或
,x1+x2=4k,x1x2=8.…(7分)
抛物线C1在点A,B处的切线方程分别为,
,
即,
,
由得
所以点M的轨迹C2的方程为或
).…(10分)
(ⅱ)设Q(m,2)(),
则,
.…(11分)
所以=
…(12分)
==
==
=
=2,
即为常数2. …(15分)
若P是极坐标方程为的直线与参数方程为
(θ为参数,且θ∈R)的曲线的交点,则P点的直角坐标为 ______.
正确答案
(0,0)
解析
解:依题意可知直线的方程为,曲线的方程为
,
联立解方程组得,或
,
∵-2≤x≤2
∴舍去,
故P点的直角坐标为P(0,0).
故答案为:(0,0)
直线x+(2m-1)y=m-5与双曲线x2-y2=1的位置关系是( )
正确答案
解析
解:由x+(2m-1)y=m-5,得x-y+5+m(2y-1)=0.
联立,解得
.
∴直线x+(2m-1)y=m-5恒过定点.
∵.
∴点在双曲线x2-y2=1的内部.
∴直线x+(2m-1)y=m-5与双曲线x2-y2=1的位置关系是相交.
故选A.
已知抛物线y2=4x的焦点为F,直线l过点M(4,0).
(Ⅰ)若点F到直线l的距离为,求直线l的斜率;
(Ⅱ)设A,B为抛物线上两点,且AB不与x轴重合,若线段AB的垂直平分线恰过点M,求证:线段AB中点的横坐标为定值.
正确答案
解:(Ⅰ)由已知,x=4不合题意.设直线l的方程为y=k(x-4),
由已知,抛物线C的焦点坐标为(1,0),…(1分)
因为点F到直线l的距离为,
所以,…(3分)
解得,所以直线l的斜率为
.…(5分)
(Ⅱ)设线段AB中点的坐标为N(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),
因为AB不垂直于x轴,
则直线MN的斜率为,
直线AB的斜率为,…(7分)
直线AB的方程为,…(8分)
联立方程
消去x得,…(10分)
所以,…(11分)
因为N为AB中点,
所以,即
,…(13分)
所以x0=2.即线段AB中点的横坐标为定值2.…(14分)
解析
解:(Ⅰ)由已知,x=4不合题意.设直线l的方程为y=k(x-4),
由已知,抛物线C的焦点坐标为(1,0),…(1分)
因为点F到直线l的距离为,
所以,…(3分)
解得,所以直线l的斜率为
.…(5分)
(Ⅱ)设线段AB中点的坐标为N(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),
因为AB不垂直于x轴,
则直线MN的斜率为,
直线AB的斜率为,…(7分)
直线AB的方程为,…(8分)
联立方程
消去x得,…(10分)
所以,…(11分)
因为N为AB中点,
所以,即
,…(13分)
所以x0=2.即线段AB中点的横坐标为定值2.…(14分)
已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,且经过点M(4,1),直线l:y=x+m交椭圆于不同的两点A、B.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求m的取值范围;
(Ⅲ)若直线l不过点M,求证:直线MA、MB的斜率互为相反数.
正确答案
解:(Ⅰ)设椭圆的方程为,因为
,所以
,
所以a2=4b2,
又因为M(4,1)在椭圆上,所以,两式联立解得b2=5,a2=20,
故椭圆方程为;
(Ⅱ)将y=x+m代入并整理得5x2+8mx+4m2-20=0,
△=(8m)2-20(4m2-20)>0,解得-5<m<5;
(Ⅲ)设直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,只要证明k1+k2=0即可.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则,
.
.
分子=(x1+m-1)(x2-4)+(x2+m-1)(x1-4)
=2x1x2+(m-5)(x1+x2)-8(m-1)
=.
所以直线MA、MB的斜率互为相反数.
解析
解:(Ⅰ)设椭圆的方程为,因为
,所以
,
所以a2=4b2,
又因为M(4,1)在椭圆上,所以,两式联立解得b2=5,a2=20,
故椭圆方程为;
(Ⅱ)将y=x+m代入并整理得5x2+8mx+4m2-20=0,
△=(8m)2-20(4m2-20)>0,解得-5<m<5;
(Ⅲ)设直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,只要证明k1+k2=0即可.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则,
.
.
分子=(x1+m-1)(x2-4)+(x2+m-1)(x1-4)
=2x1x2+(m-5)(x1+x2)-8(m-1)
=.
所以直线MA、MB的斜率互为相反数.
已知F1,F2为椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,O是坐标原点,过F2作垂直于x轴的直线MF2交椭圆于M
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过左焦点F1的斜率为1直线l与椭圆C交于A、B两点,求AB的长.
正确答案
解:(1)由题意可知:.
又M在椭圆C:
=1(a>b>0)上,
∴.
联立,解得
.
∴椭圆C的方程为;
(2)由(1)知,左焦点.
则过左焦点F1的斜率为1直线l的方程为.
联立,得
,
.
∴|AB|==
.
解析
解:(1)由题意可知:.
又M在椭圆C:
=1(a>b>0)上,
∴.
联立,解得
.
∴椭圆C的方程为;
(2)由(1)知,左焦点.
则过左焦点F1的斜率为1直线l的方程为.
联立,得
,
.
∴|AB|==
.
以下四个关于圆锥曲线的命题中:
①设A、B为两个定点,k为非零常数,,则动点P的轨迹为双曲线;
②平面内到两定点距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆
③若方程表示焦点在x轴上的椭圆,则1<t<
④双曲线有相同的焦点.
其中真命题的序号为______(写出所有真命题的序号)
正确答案
③、④
解析
解:①不正确.若动点P的轨迹为双曲线,则|k|要小于A、B为两个定点间的距离.当|k|大于A、B为两个定点间的距离时动点P的轨迹不是双曲线.
②不正确,若平面内到两定点距离之和等于常数,常数为两个点的距离的轨迹是两点的垂直平方线,而不是椭圆;
③正确,若方程表示焦点在x轴上的椭圆,则4-t>t-1>0,解得1<t<
;
④正确,双曲线有相同的焦点,焦点在x轴上,焦点坐标为(±
,0);
故答案为:③、④
已知抛物线,则过抛物线焦点F且斜率为
的直线l被抛物线截得的线段长为( )
正确答案
解析
解:抛物线的焦点坐标为(0,1),
∴过抛物线焦点F且斜率为的直线l的方程为y=
x+1,代入抛物线
,
得x2-2x-4=0,
设两个交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)
∴x1+x2=2,∴y1+y2=3
根据抛物线的定义可知|AB|=y1++y2+
=y1+y2+p=3+2=5
故选C.
双曲线的中心是原点O,它的虚轴长为,右焦点为F(c,0)(c>0),直线l:
与x轴交于点A,且|OF|=3|OA|.过点F的直线与双曲线交于P、Q两点.
(Ⅰ)求双曲线的方程;
(Ⅱ)若=0,求直线PQ的方程.
正确答案
解.(Ⅰ)由题意,设曲线的方程为=1(a>0,b>0)
由已知解得a=
,c=3
所以双曲线的方程:=1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知A(1,0),F(3,0),
当直线PQ与x轴垂直时,PQ方程为x=3.此时,≠0,应舍去.
当直线PQ与x轴不垂直时,设直线PQ的方程为y=k(x-3).
由方程组得(k2-2)x2-6k2x+9k2+6=0
由于过点F的直线与双曲线交于P、Q两点,则k2-2≠0,即k≠,
由于△=36k4-4(k2-2)(9k2+6)=48(k2+1)>0得k∈R.
∴k∈R且k≠(*)
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则
由直线PQ的方程得y1=k(x1-3),y2=k(x2-3)
于是y1y2=k2(x1-3)(x2-3)=k2[x1x2-3(x1+x2)+9](3)
∵=0,
∴(x1-1,y1)•(x2-1,y2)=0
即x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=0(4)
由(1)、(2)、(3)、(4)得=0
整理得k2=,
∴k=满足(*)
∴直线PQ的方程为x--3=0或x+
-3=0
解析
解.(Ⅰ)由题意,设曲线的方程为=1(a>0,b>0)
由已知解得a=
,c=3
所以双曲线的方程:=1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知A(1,0),F(3,0),
当直线PQ与x轴垂直时,PQ方程为x=3.此时,≠0,应舍去.
当直线PQ与x轴不垂直时,设直线PQ的方程为y=k(x-3).
由方程组得(k2-2)x2-6k2x+9k2+6=0
由于过点F的直线与双曲线交于P、Q两点,则k2-2≠0,即k≠,
由于△=36k4-4(k2-2)(9k2+6)=48(k2+1)>0得k∈R.
∴k∈R且k≠(*)
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则
由直线PQ的方程得y1=k(x1-3),y2=k(x2-3)
于是y1y2=k2(x1-3)(x2-3)=k2[x1x2-3(x1+x2)+9](3)
∵=0,
∴(x1-1,y1)•(x2-1,y2)=0
即x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=0(4)
由(1)、(2)、(3)、(4)得=0
整理得k2=,
∴k=满足(*)
∴直线PQ的方程为x--3=0或x+
-3=0
过抛物线y=2x2的焦点的直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)则x1x2=( )
正确答案
解析
解:∵抛物线y=2x2,
∴抛物线的标准方程是,它的焦点F(0,
),
设过焦点F(0,)的直线是
,
由,得
,
∵直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2),
∴.
故选D.
(2015秋•广元校级期末)已知M(4,2)是直线l被椭圆x2+4y2=36所截得的线段AB的中点,则直线l的方程为______.
正确答案
x+2y-8=0
解析
解:由题意得,斜率存在,设为 k,则直线l的方程为 y-2=k(x-4),即 kx-y+2-4k=0,
代入椭圆的方程化简得 (1+4k2)x2+(16k-32k2)x+64k2-64k-20=0,
∴x1+x2==8,解得 k=-
,故直线l的方程为 x+2y-8=0,
故答案为 x+2y-8=0.
附加题:如图,过椭圆C:
(a>b>0)上一动点P引圆x2+y2=b2的两条切线PA,PB(A,B为切点).直线AB与x轴、y轴分别交于M、N两点.
①已知P点的坐标为(x0,y0),并且x0•y0≠0,试求直线AB的方程;
②若椭圆的短轴长为8,并且,求椭圆C的方程;
③椭圆C上是否存在P,由P向圆O所引两条切线互相垂直?若存在,求出存在的条件;若不存在,说明理由.
正确答案
解:(1)设A (x1,y1),B (x2,y2)切线PA:x1x+y1y=b2,PB:x2x+y2y=b2,
∵P点在切线PA、PB上,∴x1x0+y1y0=b2,x2x0+y2y0=b2.
∴直线AB的方程为x0x+y0y=b2.
(2)在x0x+y0y=b2中,2b=8⇒b=4,b2=16,
分别令y=0,得,x=0 得
代入,得:
①
又P(x0,y0)在椭圆上:②
代入①⇒a2=25∴所求椭圆为:
(xy≠0)
(3)假设存在点P(x0,y0)满足PA⊥PB,连OA、OB,
由|PA|=|PB|,知四边形PAOB为正方形,|OP|=|OA|∴x02+y02=2b2①又P在椭圆上∴a2x02+b2y02=a2b2②
由①、②知:∵a>b>0∴a2>b2,
所以 当a2≥2b2>0,即时,椭圆C上存在点P1满足条件,
当a2<2b2,即时,椭圆C上不存在满足条件的点P.
解析
解:(1)设A (x1,y1),B (x2,y2)切线PA:x1x+y1y=b2,PB:x2x+y2y=b2,
∵P点在切线PA、PB上,∴x1x0+y1y0=b2,x2x0+y2y0=b2.
∴直线AB的方程为x0x+y0y=b2.
(2)在x0x+y0y=b2中,2b=8⇒b=4,b2=16,
分别令y=0,得,x=0 得
代入,得:
①
又P(x0,y0)在椭圆上:②
代入①⇒a2=25∴所求椭圆为:
(xy≠0)
(3)假设存在点P(x0,y0)满足PA⊥PB,连OA、OB,
由|PA|=|PB|,知四边形PAOB为正方形,|OP|=|OA|∴x02+y02=2b2①又P在椭圆上∴a2x02+b2y02=a2b2②
由①、②知:∵a>b>0∴a2>b2,
所以 当a2≥2b2>0,即时,椭圆C上存在点P1满足条件,
当a2<2b2,即时,椭圆C上不存在满足条件的点P.
已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于A、B两点.
(1)求证:OA⊥OB;
(2)当△OAB的面积等于时,求k的值.
正确答案
解:(1)由方程y2=-x,y=k(x+1)
消去x后,整理得
ky2+y-k=0.
设A(x1,y1)、B(x2,y2),由韦达定理y1•y2=-1.
∵A、B在抛物线y2=-x上,
∴y12=-x1,y22=-x2,y12•y22=x1x2.
∵kOA•kOB=•
=
=
=-1,
∴OA⊥OB.
(2)设直线与x轴交于N,又显然k≠0,
∴令y=0,则x=-1,即N(-1,0).
∵S△OAB=S△OAN+S△OBN
=|ON||y1|+
|ON||y2|
=|ON|•|y1-y2|,
∴S△OAB=•1•
=.
∵S△OAB=,
∴=
.解得k=±
.
解析
解:(1)由方程y2=-x,y=k(x+1)
消去x后,整理得
ky2+y-k=0.
设A(x1,y1)、B(x2,y2),由韦达定理y1•y2=-1.
∵A、B在抛物线y2=-x上,
∴y12=-x1,y22=-x2,y12•y22=x1x2.
∵kOA•kOB=•
=
=
=-1,
∴OA⊥OB.
(2)设直线与x轴交于N,又显然k≠0,
∴令y=0,则x=-1,即N(-1,0).
∵S△OAB=S△OAN+S△OBN
=|ON||y1|+
|ON||y2|
=|ON|•|y1-y2|,
∴S△OAB=•1•
=.
∵S△OAB=,
∴=
.解得k=±
.
如图,椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2,过F2的直线l交C于A,B两点,△ABF1的周长为8,且F2与抛物线y2=4x的焦点重合.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若直线l交y轴于点M,且=λ
,
=μ
,求λ+μ的值;
(Ⅲ)是否存在实数t,使得|AF2|+|BF2|=t|AF2|•|BF2|恒成立?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.
正确答案
解:(I)设椭圆C的标准方程为,抛物线y2=4x的焦点为F2(1,0),∴c=1.
∵△ABF1的周长为8,∴4a=8,解得a=2.
∴b2=a2-c2=3.
∴椭圆C的标准方程为.
(II)由题意可设直线l的方程为:y=k(x-1),则M(0,-k),设A(x1,y1),B(x2,y2).
联立,化为(3+4k2)x2-8k2x+4(k2-3)=0,
则x1+x2=,x1x2=
,
由=λ
,可得(x1,y1+k)=λ(1-x1,-y1),
∴,
由=μ
,同理可得μ=
,
∴λ+μ==
=
=-
.
∴λ+μ=.
(III)①当直线l⊥x轴时,l的方程为:x=1.由,解得A
,B
.
∴|AF2|=|BF2|=,
∴|AF2|+|BF2|=3,|AF2|•|BF2|=,
可得:|AF2|+|BF2|=|AF2|•|BF2|.此时t=
.
②当直线l与x轴不垂直时,设l的方程为:y=k(x-1),
不妨设x2>1>x1,则|AF2|==
,|BF2|=
=
,
x2-x1==
=
,
∴=
+
=
=
=×
=
.
即得:|AF2|+|BF2|=|AF2|•|BF2|.
故存在实数t=,使得|AF2|+|BF2|=
|AF2|•|BF2|.
解析
解:(I)设椭圆C的标准方程为,抛物线y2=4x的焦点为F2(1,0),∴c=1.
∵△ABF1的周长为8,∴4a=8,解得a=2.
∴b2=a2-c2=3.
∴椭圆C的标准方程为.
(II)由题意可设直线l的方程为:y=k(x-1),则M(0,-k),设A(x1,y1),B(x2,y2).
联立,化为(3+4k2)x2-8k2x+4(k2-3)=0,
则x1+x2=,x1x2=
,
由=λ
,可得(x1,y1+k)=λ(1-x1,-y1),
∴,
由=μ
,同理可得μ=
,
∴λ+μ==
=
=-
.
∴λ+μ=.
(III)①当直线l⊥x轴时,l的方程为:x=1.由,解得A
,B
.
∴|AF2|=|BF2|=,
∴|AF2|+|BF2|=3,|AF2|•|BF2|=,
可得:|AF2|+|BF2|=|AF2|•|BF2|.此时t=
.
②当直线l与x轴不垂直时,设l的方程为:y=k(x-1),
不妨设x2>1>x1,则|AF2|==
,|BF2|=
=
,
x2-x1==
=
,
∴=
+
=
=
=×
=
.
即得:|AF2|+|BF2|=|AF2|•|BF2|.
故存在实数t=,使得|AF2|+|BF2|=
|AF2|•|BF2|.
已知椭圆C短轴的一个端点为(0,1),离心率为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点,求线段AB的长.
正确答案
(本小题满分10分)
解:(1)∵椭圆C短轴的一个端点为(0,1),
∴椭圆的焦点在x轴上,b=1,…(2分)
∵,
,∴得a=3,…(3分)
所以其标准方程是:.…(4分)
(2)联立方程组,消去y得,10x2+36x+27=0.…(5分)
△=362-4×10×27>0
设A(x1,y1),B(x2,y2),,
,…(7分)
所以|AB|=•
=
.…(10分)
解析
(本小题满分10分)
解:(1)∵椭圆C短轴的一个端点为(0,1),
∴椭圆的焦点在x轴上,b=1,…(2分)
∵,
,∴得a=3,…(3分)
所以其标准方程是:.…(4分)
(2)联立方程组,消去y得,10x2+36x+27=0.…(5分)
△=362-4×10×27>0
设A(x1,y1),B(x2,y2),,
,…(7分)
所以|AB|=•
=
.…(10分)
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