- 圆锥曲线与方程
- 共14739题
直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1的两支分别交于A、B两点，则a的取值范围是 ______．
正确答案
（-
解析
解：联立两曲线方程消去y得（3-a2）x2-2ax-2=0，
∵直线与双曲线有两交点
∴△=4a2+8（3-a2）＞0，求得-
∵A，B在两支上
∴x1x2=-
∴3-a2＞0
求得-
最后综合a的范围是（-
故答案为：（-
（2015秋•宁夏校级月考）设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3．
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）在抛物线上是否存在不与原点重合的点P，使得过点P的直线交抛物线于另一点Q，满足PF⊥QF，且直线PQ与抛物线在点P处的切线垂直？并请说明理由．
正确答案
解：（Ⅰ）设抛物线的方程为x2=2py（p＞0），
设A（xA，yA），B（xB，yB），
由抛物线定义可知yA+yB+p=8，
又AB中点到x轴的距离为3，
∴yA+yB=6，∴p=2，
∴抛物线的标准方程是x2=4y；
（Ⅱ）设P（x1，y1），x1≠0，Q（x2，y2），
则x2=4y在P处的切线方程是y=
直线PQ：y=-
由韦达定理可得x1+x2=-
∴x2=-
而
整理可得y13-2y12-7y1-4=0，（y1＞0），
变形可得y13+y12-3y12-7y1-4=0，
可得y12（y1+1）-3y12-7y1-4=0，
可得y12（y1+1）-（3y12+7y1+4）=0，
即y12（y1+1）-（y1+1）（3y1+4）=0，
可得（y1+1）（y12-3y1-4）=0，
可得（y1+1）（y1+1）（y1-4）=0
即（y1+1）2（y1-4）=0，
解得y1=4，故存在点P（±4，4）满足题意．
解析
解：（Ⅰ）设抛物线的方程为x2=2py（p＞0），
设A（xA，yA），B（xB，yB），
由抛物线定义可知yA+yB+p=8，
又AB中点到x轴的距离为3，
∴yA+yB=6，∴p=2，
∴抛物线的标准方程是x2=4y；
（Ⅱ）设P（x1，y1），x1≠0，Q（x2，y2），
则x2=4y在P处的切线方程是y=
直线PQ：y=-
由韦达定理可得x1+x2=-
∴x2=-
而
整理可得y13-2y12-7y1-4=0，（y1＞0），
变形可得y13+y12-3y12-7y1-4=0，
可得y12（y1+1）-3y12-7y1-4=0，
可得y12（y1+1）-（3y12+7y1+4）=0，
即y12（y1+1）-（y1+1）（3y1+4）=0，
可得（y1+1）（y12-3y1-4）=0，
可得（y1+1）（y1+1）（y1-4）=0
即（y1+1）2（y1-4）=0，
解得y1=4，故存在点P（±4，4）满足题意．
已知椭圆C的焦点F1（-2
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标．
正确答案
解：（1）设椭圆C的方程为：
由题意知，2a=6，c=2
椭圆C的标准方程为：
（2）由
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-
∴线段AB中点横坐标为-
故线段AB中点的坐标为（-
解析
解：（1）设椭圆C的方程为：
由题意知，2a=6，c=2
椭圆C的标准方程为：
（2）由
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-
∴线段AB中点横坐标为-
故线段AB中点的坐标为（-
已知F1，F2是椭圆
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当
正确答案
解：（1）依题意，由
∴c=1，
将点p坐标代入椭圆方程可得
解得a2=2，b2=1，c2=1，
∴椭圆的方程为
（2）直线l：y=kx+m与⊙x2+y2=1相切，则
由直线l与椭圆交于不同的两点A、B，设A（x1，y1），B（x2，y2），
由
△=（4km）2-4×（1+2k2）（2m2-2）＞0，化简可得2k2＞1+m2，
x1+x2=-
y1•y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1•x2+km（x1+x2）+m2=
|AB|=
设u=k4+k2（
则
分析易得，
解析
解：（1）依题意，由
∴c=1，
将点p坐标代入椭圆方程可得
解得a2=2，b2=1，c2=1，
∴椭圆的方程为
（2）直线l：y=kx+m与⊙x2+y2=1相切，则
由直线l与椭圆交于不同的两点A、B，设A（x1，y1），B（x2，y2），
由
△=（4km）2-4×（1+2k2）（2m2-2）＞0，化简可得2k2＞1+m2，
x1+x2=-
y1•y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1•x2+km（x1+x2）+m2=
|AB|=
设u=k4+k2（
则
分析易得，
由抛物线y2=x和直线x=1所围成图形的面积为______．
正确答案
解析
解：由
由定积分的几何意义知：
由抛物线y2=x和直线x=1所围成图形的面积S=∫-11（1-y2）dy=（y-
故答案为
已知直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A、B两个不同的点，抛物线的焦点为F，且|AF|、4、|BF|成等差数列，则k=______．
正确答案
2
解析
解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立y2=8x与y=kx-2，消去y，整理得k2x2-（4k+8）x+4=0，
由△=（4k+8）2-16k2=64k+64＞0，得k＞-1，
由韦达定理，得x1+x2=
∵|AF|、4、|BF|，∴|AF|+|BF|=2×4=8，
由抛物线的定义，得|AF|+|BF|=（x1+2）+（x2+2），
∴x1+x2=4，
结合①式得
故答案为：2．
已知椭圆E的两焦点分别为（-1，0）（1，0），且经过点（1，
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过P（-2，0）的直线l交E于A、B两点，且
正确答案
解：（Ⅰ）由题意可得c=1，∴a2=b2+1，
把点（1，
解得b2=1，∴a2=b2+1=2，
∴椭圆E的方程为
（Ⅱ）由题意设l：x=my-2，代入椭圆E
由△=16m2-8（m2+2）＞0可解得m2＞2，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=
由
不妨取m=2，则线段AB的垂直平分线方程为y=-2x-
则所求圆的圆心为（-
∴圆的半径r=
∴所求圆的方程为（x+
解析
解：（Ⅰ）由题意可得c=1，∴a2=b2+1，
把点（1，
解得b2=1，∴a2=b2+1=2，
∴椭圆E的方程为
（Ⅱ）由题意设l：x=my-2，代入椭圆E
由△=16m2-8（m2+2）＞0可解得m2＞2，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=
由
不妨取m=2，则线段AB的垂直平分线方程为y=-2x-
则所求圆的圆心为（-
∴圆的半径r=
∴所求圆的方程为（x+
已知椭圆：
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ） 直线l与y轴交于点P（0，m）（m≠0），与椭圆C交于相异两点A，B且
正确答案
解：（Ⅰ）由题意，4a=4，
∴a=1，c=
∴
∴椭圆方程方程为
（Ⅱ）设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）
由
△=（2km）2-4（k2+2）（m2-1）=4（k2-2m2+2）＞0（*）
∴x1+x2=-
∵
∴λ=3
∴-x1=3x2
∴x1+x2=-2x2，x1x2=-3x22，
∴3（x1+x2）2+4x1x2=0，
∴3（-
整理得4k2m2+2m2-k2-2=0
m2=
由（*）式得k2＞2m2-2
∵k≠0，
∴
∴-1＜m＜-
即所求m的取值范围为（-1，-
解析
解：（Ⅰ）由题意，4a=4，
∴a=1，c=
∴
∴椭圆方程方程为
（Ⅱ）设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）
由
△=（2km）2-4（k2+2）（m2-1）=4（k2-2m2+2）＞0（*）
∴x1+x2=-
∵
∴λ=3
∴-x1=3x2
∴x1+x2=-2x2，x1x2=-3x22，
∴3（x1+x2）2+4x1x2=0，
∴3（-
整理得4k2m2+2m2-k2-2=0
m2=
由（*）式得k2＞2m2-2
∵k≠0，
∴
∴-1＜m＜-
即所求m的取值范围为（-1，-
已知P为椭圆
正确答案
（1，2）
解析
设直线AB的方程为：ty=x-x0，A（x1，y1），B（x2，y2），
（y1＞y2，y1＞0）．
联立 
化为（4+t2）y2-2tx0y+x02-4=0．
∴△=4t2x02-4（4+t2）（x02-4）＞0，
∴y1+y2=
y1y2=
S△AOP=
∵S△AOB=2S△AOP，
∴2y1=
化为y2=（1-
∴y2=
∴
化为t2=
令m=x0，f（m）=m4-4m3+16m-16，（m∈（0，2）），
f′（m）=4m3-12m2+16=4（m-2）2（m+1），
∴函数f（m）在m∈（0，2）单调递增，
又f（0）=-16，f（1）=-3，f（2）=0，
因此要使（*）有解，则1＜m＜2，
即x0∈（1，2）．
故答案为：（1，2）．
椭圆
正确答案
解析
解：∵椭圆方程为
∴可设椭圆上的任意一点P坐标为（4cosα，2sinα）
∴P到直线
=
∵
∴
∴d的最大值为
过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于6，则其中一条直线方程是（ ）
正确答案
解析
解：过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，
若直线AB的斜率不存在，则横坐标之和等于2，不适合．
故设直线AB的斜率为k，则直线AB方程为y=k（x-1）
代入抛物线y2=4x得，k2x2-2（k2+2）x+k2=0
∵A、B两点的横坐标之和等于6，
∴
∴k=±1，
∴直线AB方程为y=±（x-1），即x-y-1=0或x+y-1=0．
故选D．
（I）若直线l与抛物线恰有一个交点，求l的方程；
（II）如题20图，直线l与抛物线交于A、B两点，记直线FA、FB的斜率分别为k1、k2，求k1+k2的值．
正确答案
解：依题意得：Q（-1，0），
直线l斜率存在，
设其斜率为k，则l的方程为y=k（x+1），
代入抛物线方程有：k2x2+（2k2-4）x+k2=0…（2分）
（I）若k≠0，令△=0得，k=±1，
此时l的方程为y=x+1，y=-x-1．
若k=0，方程有唯一解．
此时l的方程为y=0…（4分）
（II）显然k≠0，记A（x1，y1），B（x2，y2），
则
解析
解：依题意得：Q（-1，0），
直线l斜率存在，
设其斜率为k，则l的方程为y=k（x+1），
代入抛物线方程有：k2x2+（2k2-4）x+k2=0…（2分）
（I）若k≠0，令△=0得，k=±1，
此时l的方程为y=x+1，y=-x-1．
若k=0，方程有唯一解．
此时l的方程为y=0…（4分）
（II）显然k≠0，记A（x1，y1），B（x2，y2），
则
已知定点A（-2，0），B（2，0），曲线E上任一点P满足|PA|-|PB|=2．
（1）求曲线E的方程；
（2）延长PB与曲线E交于另一点Q，求|PQ|的最小值；
（3）若直线l的方程为x=a（a≤
正确答案
（1）解：∵|PA|-|PB|=2，
∴点P的轨迹是以A、B为焦点，焦距为4，实轴长为2的双曲线的右支，
则a=1，c=2，∴b2=c2-a2=3．
其方程为
（2）若直线PQ的斜率存在，设斜率为k，则直线PQ的方程为y=k（x-2）代入双曲线方程，
得（3-k2）x2+4k2x-4k2-3=0，
由△＞0，
∴|PQ|=
当直线斜率不存在时，x1=x2=2，得y1=3，y2=-3，|PQ|=6，|PQ|的最小值为6
（3）当PC⊥CQ时，P、C、Q构成直角三角形
∴R到直线l的距离
又∵点P、Q都在双曲线
∴
∴
将②代入①得
故有a≤-1．
解析
（1）解：∵|PA|-|PB|=2，
∴点P的轨迹是以A、B为焦点，焦距为4，实轴长为2的双曲线的右支，
则a=1，c=2，∴b2=c2-a2=3．
其方程为
（2）若直线PQ的斜率存在，设斜率为k，则直线PQ的方程为y=k（x-2）代入双曲线方程，
得（3-k2）x2+4k2x-4k2-3=0，
由△＞0，
∴|PQ|=
当直线斜率不存在时，x1=x2=2，得y1=3，y2=-3，|PQ|=6，|PQ|的最小值为6
（3）当PC⊥CQ时，P、C、Q构成直角三角形
∴R到直线l的距离
又∵点P、Q都在双曲线
∴
∴
将②代入①得
故有a≤-1．
已知曲线C：y=2x2，点A（0，-2）及点B（3，a），从点A观察点B，要使视线不被C挡住，则实数a的取值范围是______．
正确答案
（-∞，10）
解析
解：视线最高时为抛物线切线，而且为右上方向
设切线y=kx-2（k＞0）
与抛物线方程联立得2x2-kx+2=0
△=k2-16=0
k=4（负的舍去）
∴切线为y=4x-2
取x=3得y=10
B点只要在此切线下面都满足题意
∴a＜10
故答案为：（-∞，10）．
抛物线y2=4x上有两个定点A、B分别在对称轴的上、下两侧，F为抛物线的焦点，并且|FA|=2，|FB|=5，在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求这个最大面积．
正确答案
解：由已知得F（1，0），点A在x轴上方，
设A（x1，y1），y1＞0，
由|FA|=2，
得x1+1=2，x1=1，
所以A（1，2），
同理B（4，-4），
所以直线AB的方程为2x+y-4=0．
设在抛物线AOB这段曲线上任一点P（x0，y0），
且0≤x0≤4，-4≤y0≤2．
则点P到直线AB的距离d=
所以当y0=-1时，d取最大值
又|AB|=3
所以△PAB的面积最大值为
此时P点坐标为（
解析
解：由已知得F（1，0），点A在x轴上方，
设A（x1，y1），y1＞0，
由|FA|=2，
得x1+1=2，x1=1，
所以A（1，2），
同理B（4，-4），
所以直线AB的方程为2x+y-4=0．
设在抛物线AOB这段曲线上任一点P（x0，y0），
且0≤x0≤4，-4≤y0≤2．
则点P到直线AB的距离d=
所以当y0=-1时，d取最大值
又|AB|=3
所以△PAB的面积最大值为
此时P点坐标为（
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