圆锥曲线与方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的离心率e=，经过A（a，0），B（0，-b）两点的直线l与原点的距离d=

（1）求双曲线C的方程；

（2）直线y=kx+5与双曲线C交于M，N两点，若|BM|=|BN|，求斜率k的值．

正确答案

解：（1）由题意可得，

，

解得，a=，b=1，c=2；

故双曲线C的方程为：；

（2）由题意可得，

即（1-3k2）x2-30kx-78=0，

设MN的中点为E，

则E（，），

则kEB=，

则k•=-1，

解得，k=．

解析

解：（1）由题意可得，

，

解得，a=，b=1，c=2；

故双曲线C的方程为：；

（2）由题意可得，

即（1-3k2）x2-30kx-78=0，

设MN的中点为E，

则E（，），

则kEB=，

则k•=-1，

解得，k=．

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题型：填空题

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填空题

若直线x+y-a=0与圆（θ为参数）没有公共点，则a的取值范围是 ______．

正确答案

（-∞，2）∪（6，+∞）

解析

解：圆的普通方程是：

圆心到直线的距离是：

∵直线与圆没有公共点

∴d＞r

∴

∴a＞6或a＜2

故答案为：（-∞，2）∪（6，+∞）

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率e=2，过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2．若直线AB过原点，则k1•k2的值为（　　）

A2

B3

C

D

正确答案

B

解析

解：因为过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2．若直线AB过原点，

所以A、B关于原点对称，

设M（p，q），A（-p，-q），B（s，t），

则有k1•k2==，

，，

两式相等得：，

即，=，

k1•k2====22-1=3．

故选B．

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线x2一y2=1．

（1）若直线l：y=x-b交双曲线于A，B两点，且|AB|=．求直线l方程：

（2）求以定点M（2，1）为中点的弦所在直线方程：

（3）思考以定点N（1，1）为中点＜弦存在吗？（数形结合）

正确答案

解：（1）直线y=x-b代入双曲线的方程，可得

3x2+4bx-4b2-4=0，

即有△=16b2+12（4b2+4）＞0恒成立，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

即有x1+x2=-，x1x2=-，

则|AB|=•|x1-x2|=•=，

解方程可得b=±1，

即有直线方程为y=x-1或y=x+1；

（2）设以定点M（2，1）为中点的弦为CD，

若直线的斜率不存在，设为x=2，代入双曲线的方程，显然无解；

可设直线CD的方程为y=k（x-2）+1，代入双曲线的方程可得，

（1-k2）x2-2k（1-2k）x-（1-2k）2-1=0，

△=4k2（1-2k）2+4（1-k2）[（1-2k）2-1]＞0，

x1+x2=，

由M为CD的中点，可得=4，

解得k=2，代入判别式，可得△＞0成立，

则所在直线方程为y=2x-3；

（3）假设存在以定点N（1，1）为中点弦EF，

若x=1，显然不成立；

可设直线CD的方程为y=k（x-1）+1，代入双曲线的方程可得，

（1-k2）x2-2k（1-k）x-（1-k）2-1=0，

△=4k2（1-k）2+4（1-k2）[（1-k）2-1]＞0，

x1+x2=，

由M为CD的中点，可得=2，

解得k=1，代入判别式，可得△＞0不成立，

通过图象观察，由于直线恒过定点（1，1），

将直线绕着定点（1，1）旋转，发现不存在以（1，1）为中点的弦．

故不存在这样的直线．

解析

解：（1）直线y=x-b代入双曲线的方程，可得

3x2+4bx-4b2-4=0，

即有△=16b2+12（4b2+4）＞0恒成立，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

即有x1+x2=-，x1x2=-，

则|AB|=•|x1-x2|=•=，

解方程可得b=±1，

即有直线方程为y=x-1或y=x+1；

（2）设以定点M（2，1）为中点的弦为CD，

若直线的斜率不存在，设为x=2，代入双曲线的方程，显然无解；

可设直线CD的方程为y=k（x-2）+1，代入双曲线的方程可得，

（1-k2）x2-2k（1-2k）x-（1-2k）2-1=0，

△=4k2（1-2k）2+4（1-k2）[（1-2k）2-1]＞0，

x1+x2=，

由M为CD的中点，可得=4，

解得k=2，代入判别式，可得△＞0成立，

则所在直线方程为y=2x-3；

（3）假设存在以定点N（1，1）为中点弦EF，

若x=1，显然不成立；

可设直线CD的方程为y=k（x-1）+1，代入双曲线的方程可得，

（1-k2）x2-2k（1-k）x-（1-k）2-1=0，

△=4k2（1-k）2+4（1-k2）[（1-k）2-1]＞0，

x1+x2=，

由M为CD的中点，可得=2，

解得k=1，代入判别式，可得△＞0不成立，

通过图象观察，由于直线恒过定点（1，1），

将直线绕着定点（1，1）旋转，发现不存在以（1，1）为中点的弦．

故不存在这样的直线．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的焦距为2，且该椭圆经过点．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）经过点P（-2，0）分别作斜率为k1，k2的两条直线，两直线分别与椭圆E交于M，N两点，当直线MN与y轴垂直时，求k1•k2的值．

正确答案

解：（Ⅰ）由题意得，2c=2，=1；

解得，a2=4，b2=1；

故椭圆E的方程为+y2=1；

（Ⅱ）由题意知，当k1=0时，M点的纵坐标为0，

直线MN与y轴垂直，

则点N的纵坐标为0，

故k2=k1=0，这与k2≠k1矛盾．

当k1≠0时，直线PM：y=k1（x+2）；

由得，

（+4）y2-=0；

解得，yM=；

∴M（，），

同理N（，），

由直线MN与y轴垂直，则=；

∴（k2-k1）（4k2k1-1）=0，

∴k2k1=．

解析

解：（Ⅰ）由题意得，2c=2，=1；

解得，a2=4，b2=1；

故椭圆E的方程为+y2=1；

（Ⅱ）由题意知，当k1=0时，M点的纵坐标为0，

直线MN与y轴垂直，

则点N的纵坐标为0，

故k2=k1=0，这与k2≠k1矛盾．

当k1≠0时，直线PM：y=k1（x+2）；

由得，

（+4）y2-=0；

解得，yM=；

∴M（，），

同理N（，），

由直线MN与y轴垂直，则=；

∴（k2-k1）（4k2k1-1）=0，

∴k2k1=．

1

题型：简答题

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简答题

设直线y=2x-4与抛物线y2=4x交于A，B两点．

（1）求线段AB的中点；

（2）若F为抛物线的焦点，求△FAB的面积．

正确答案

解：（1）直线y=2x-4与抛物线y2=4x联立可得x2-5x+4=0，

∴x=1或4，

∴A（1，-2），B（4，4），

∴线段AB的中点（2.5，1）；

（2）|AB|==3，

F到直线AB的距离为d=，

∴△FAB的面积S==3．

解析

解：（1）直线y=2x-4与抛物线y2=4x联立可得x2-5x+4=0，

∴x=1或4，

∴A（1，-2），B（4，4），

∴线段AB的中点（2.5，1）；

（2）|AB|==3，

F到直线AB的距离为d=，

∴△FAB的面积S==3．

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题型：简答题

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简答题

过双曲线-=1（a＞0，b＞0）上的点P向x轴作垂线恰好通过双曲线的左焦点F1，双曲线的虚轴端点B与右焦点F2的连线平行于PO，如图．

（1）求双曲线的离心率；

（2）若直线BF2与双曲线交于M、N两点，且|MN|=12，求双曲线的方程．

正确答案

解：（1）设双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），

且设B（0，b），

令x=-c，则-=1，解得y=±，

可取P（-c，），由PO∥BF2，可得-=，

即有a=b，c==a，

则双曲线的离心率e==；

（2）设直线BF2的方程为y=-（x-c），即为y=-（x-c），

代入双曲线方程可得x2+cx-c2-a2=0，

即为x2+2cx-2c2=0，

设M（x1，y1），N（x2，y2），

则有x1+x2=-2c，x1x2=-2c2，

则|MN|=•=•=3c=12，

解得c=2．

则有a=b=2，

即有双曲线的方程为x2-y2=4．

解析

解：（1）设双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），

且设B（0，b），

令x=-c，则-=1，解得y=±，

可取P（-c，），由PO∥BF2，可得-=，

即有a=b，c==a，

则双曲线的离心率e==；

（2）设直线BF2的方程为y=-（x-c），即为y=-（x-c），

代入双曲线方程可得x2+cx-c2-a2=0，

即为x2+2cx-2c2=0，

设M（x1，y1），N（x2，y2），

则有x1+x2=-2c，x1x2=-2c2，

则|MN|=•=•=3c=12，

解得c=2．

则有a=b=2，

即有双曲线的方程为x2-y2=4．

1

题型：单选题

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单选题

直线L：+=1与椭圆E：+=1相交于A，B两点，该椭圆上存在点P，使得△PAB的面积等于3，则这样的点P共有（　　）

A1个

B2个

C3个

D4个

正确答案

B

解析

解：设P1（4cosα，3sinα）（0＜α＜），即点P1在第一象限的椭圆上，考虑四边形P1AOB面积S，

S=S△OAP1+S△OBP1=×4（3sinα）+×3（4cosα）=6（sinα+cosα）=6sin（α+），∴Smax=6．

∵S△OAB=×4×3=6为定值，

∴S△P1AB的最大值为6-6．

∵6-6＜3，

∴点P不可能在直线AB的上方，显然在直线AB的下方有两个点P，

故选B．

1

题型：简答题

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简答题

已知椭圆C1：（a＞b＞0）的右顶点A（1，0），一个焦点与点A、B构成等边三角形．

（I）求椭圆C1的方程；

（II）设点P是抛物线C2：y=x2+h（h∈R）与C1的公共点，C2在点P处的切线与C1交于点另一点M．Q是P关于X轴的对称点，问中否存在h使点Q在以PM为直径的圆上．

正确答案

解：（I）由题意，∵椭圆C1：（a＞b＞0）的右顶点A（1，0），一个焦点与点A、B构成等边三角形

∴b=1，2•=1

∴a=2，b=1

∴所求的椭圆方程为，

（II）不妨设P（t，t2+h），M（x0，y0），则（t2+h）2+4t2-4=0（1）

假设存在h使点Q在以PM为直径的圆上，则

∵

∴M（-t，-t2-h），∴2t=

∴h=t2＞0

代入（1）得h2+h-1=0

∴h=

∴存在h=，使点Q在以PM为直径的圆上．

解析

解：（I）由题意，∵椭圆C1：（a＞b＞0）的右顶点A（1，0），一个焦点与点A、B构成等边三角形

∴b=1，2•=1

∴a=2，b=1

∴所求的椭圆方程为，

（II）不妨设P（t，t2+h），M（x0，y0），则（t2+h）2+4t2-4=0（1）

假设存在h使点Q在以PM为直径的圆上，则

∵

∴M（-t，-t2-h），∴2t=

∴h=t2＞0

代入（1）得h2+h-1=0

∴h=

∴存在h=，使点Q在以PM为直径的圆上．

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题型：填空题

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填空题

已知点A（m，2）在曲线C：y2=4x上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE，且AD⊥AE，则直线DE过定点______．

正确答案

（5，-2）

解析

解：把点A（m，2）代入y2=4x，可得22=4m，解得m=1，∴A（1，2）．

由题意可知：直线AD，AE的斜率都存在．

设直线AD：y-2=k（x-1），则．

联立，解得或，

∴D．

同理可得E（（1+2k）2，-（4k+2））．

∴kDE==．

∴直线DE的方程为：y+（4k+2）=，

化为（k2-1）（2+y）+k（x+y-3）=0，

令，解得．

∴直线DE过定点（5-，2）．

故答案为（5，-2）．

1

题型：单选题

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单选题

给定四条曲线：①x2+y2=，②，③x2+=1，④，其中与直线x+y-=0仅有一个交点的曲线是（　　）

A①②③

B②③④

C①②④

D①③④

正确答案

D

解析

解：分析选择支可知，四条曲线中有且只有一条曲线不符合要求，故可考虑找不符合条件的曲线从而筛选，而在四条曲线中②是一个面积最大的椭圆，故可先看②，显然直线和曲线是相交的，因为直线上的点（，0）在椭圆内，对照选项故选D．

1

题型：单选题

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单选题

已知双曲线，过点O（0，0）作直线l与双曲线仅有一个公共点，这样的直线l共有（　　）

A0条

B2条

C4条

D无数条

正确答案

A

解析

解：若直线l的斜率不存在时，显然直线与双曲线无交点；

若直线的斜率存在时，可设直线l：y=kx，

代入双曲线的方程，可得（1-4k2）x2=4，①

当1-4k2=0，即有k=±，直线为渐近线，显然与双曲线无交点；

当1-4k2＞0，即有-＜k＜时，方程①有两解，直线与双曲线有两个交点；

当1-4k2＜0，即有k＜-或k＞时，方程①无解，直线与双曲线无交点．

综上可得符合条件的直线不存在．

故选A．

1

题型：简答题

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简答题

已知点P（6，8）是椭圆（a＞b＞0）上一点，F1，F2为椭圆的两焦点，若=0，试求：

（1）椭圆的方程．

（2）求sin∠PF1F2的值．

正确答案

解：（1）∵，

∴（-c-6）（c-6）+64=0，解得c=10．

∴F1（-10，0），F2（10，0），

∴，

∴．

∴椭圆方程为．

（2）如图所示，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则|PM|=8，|F1M|=10+6=16，

∴==，

∴sin∠PF1F2==．

解析

解：（1）∵，

∴（-c-6）（c-6）+64=0，解得c=10．

∴F1（-10，0），F2（10，0），

∴，

∴．

∴椭圆方程为．

（2）如图所示，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则|PM|=8，|F1M|=10+6=16，

∴==，

∴sin∠PF1F2==．

1

题型：简答题

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简答题

直线l：y=kx+1与双曲线C：x2-y2=1有且只有一个公共点，求K的值．

正确答案

解：联立，化为（1-k2）x2-2kx-2=0．

①当1-k2=0时，可得k=±1，此时直线l的方程为y=±x+1，分别与等轴双曲线的渐近线y=±x平行，此时直线l与双曲线有且只有一个交点，满足题意；

②当1-k2≠0时，由直线与双曲线有且只有一个公共点，可得△=4k2+8（1-k2）=0，解得．此时满足条件．

综上可得：k=±1，．

解析

解：联立，化为（1-k2）x2-2kx-2=0．

①当1-k2=0时，可得k=±1，此时直线l的方程为y=±x+1，分别与等轴双曲线的渐近线y=±x平行，此时直线l与双曲线有且只有一个交点，满足题意；

②当1-k2≠0时，由直线与双曲线有且只有一个公共点，可得△=4k2+8（1-k2）=0，解得．此时满足条件．

综上可得：k=±1，．

1

题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为2．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若过点（2，0）的直线l的与椭圆C交于A、B两点，O为坐标原点，当∠AOB为锐角时，求直线l的斜率k的取值范围．

正确答案

解：（1）由=得a2=2c2=2b2，

依题意×2a×2b=，即ab=，解方程组得a=，b=1，

所以椭圆C的方程为．

（2）设l：y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2），

由，得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0，

由△=64k4-4（2k2+1）（8k2-2）＞0，得，且，，

于是=k2[x1x2-2（x1+x2）+4]=．

∵∠AOB为锐角，∴，

∴=＞0，解得，

又，∴，解得-＜k＜-或＜k＜，

所以直线l的斜率k的取值范围是（-，-）∪（，）．

解析

解：（1）由=得a2=2c2=2b2，

依题意×2a×2b=，即ab=，解方程组得a=，b=1，

所以椭圆C的方程为．

（2）设l：y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2），

由，得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0，

由△=64k4-4（2k2+1）（8k2-2）＞0，得，且，，

于是=k2[x1x2-2（x1+x2）+4]=．

∵∠AOB为锐角，∴，

∴=＞0，解得，

又，∴，解得-＜k＜-或＜k＜，

所以直线l的斜率k的取值范围是（-，-）∪（，）．

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