热门试卷

解：（1）由|PF1|-|PF2|=2＜|F1F2|知，点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支，由c=2，2a=2，

∴b2=3，故轨迹E的方程为．

（2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k（x-2），P（x1，y1），Q（x2，y2），与双曲线方程联立消y得（k2-3）x2-4k2x+4k2+3=0，

∴

解得k2＞3

（i）∵

=（x1-m）（x2-m）+k2（x1-2）（x2-2）

=（k2+1）x1x2-（2k2+m）（x1+x2）+m2+4k2

=

=．

∵MP⊥MQ，

∴，

故得3（1-m2）+k2（m2-4m-5）=0对任意的k2＞3恒成立，

∴．

∴当m=-1时，MP⊥MQ．

当直线l的斜率不存在时，由P（2，3），Q（2，-3）及M（-1，0）知结论也成立，

综上，当m=-1时，MP⊥MQ．

（ii）∵a=1，c=2，

∴是双曲线的右准线，

由双曲线定义得：|PA|=，

方法一：∴=．

∵k2＞3，∴，

注意到直线的斜率不存在时，，

综上，．

方法二：设直线PQ的倾斜角为θ，由于直线PQ与双曲线右支有二个交点，

∴，过Q作QC⊥PA，垂足为C，则，

∴．

由，

故：．

解：由抛物线x2=4y的焦点为F（0，1），

所以斜率为的直线l的方程为．

由得（2y-2）2=4y，

即y2-3y+1=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=3，

所以|AB|=y1+y2+p=3+2=5．

解：（1）将y=x+b 代入，消去y，整理得3x2+4bx+2b2-2=0．①…（2分）

因为直线y=x+b 与椭圆 相交于A，B 两个不同的点，

∴△=16b2-12（2b2-2）=24-8b2＞0（4分）

∴（6分）

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），当b=1 时，方程①为3x2+4x=0．…（8分）

解得．

此时（10分）

∴==（12分）

（利用弦长公式也可以）

解：（Ⅰ）过点P作PQ⊥x轴于点Q，当∠DPF=时，|PF|=4，

∴|PF|=|PD|=4，

则∠FPQ=，

RT△PQF中，|QF|=|PF|sin=2，

又|DP|=|PF|，即有|AF|=|DP|+|QF|=6，即 p=6，

则抛物线E的方程：y2=12x，

（Ⅱ）当点P为原点O时，直线m的方程：x=0与抛物线E切于点O；

设P（x0，y0），则D（-3，y0），F（3，0），kDF=-，即有直线m的斜率为k=，

直线m：y-y0=（x-x0），化简得：6x=y0y-y02+6x0，

代入y2=12x得y2=2（y0y-y02+6x0），

即有y2-2y0y+y02=0，则y=y0（△=0），

则直线m与抛物线E有且只有一个交点P．

（Ⅲ）由已知得DP的中垂线：x=，与直线m：6x=y0y-y02+6x0联立，

得到圆心C的纵坐标yC=，

即有|BC|=|y0-yC|=|y0-|=||，

又|DP|=x0+3，则S△CDP=|BC|•|DP|=||=|y03+72y0+|

不妨设f（y0）=y03+72y0+（y0＞0），

由f′（y0）=3y02+72-=

由f′（y0）＜0，得0＜y0＜2，由f′（y0）＞0，得y0＞2，

则当y0=2时，函数f（y0）有最小值；

故当点P的坐标为（1，2）或（1，-2）时，

S△CDP取得最小值4．

解：（1）圆M：（x+1）2+（y-2）2=的圆心坐标为M（-1，2），半径为，

∵|PF|+|PQ|最小值为，Q是圆M：（x+1）2+（y-2）2=上一动点，

∴当Q、P、F三点共线时，|QF|最小，M、Q、P、F四点共线时，|MF|最小为2，

∴=2，

∴p=2，

∴抛物线D的方程是y2=4x；

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），

由于O为NG之中点，故当l⊥x轴时，由抛物线的对称性知，一定有：∠AGN=∠BGN，

当l不垂直x轴时，设l：y=k（x-4），

代入抛物线方程得k2x2-4（2k2+1）x+16k2=0，

∴x1+x2=，x1x2=16，

∴kAG+kBG=+=0，

∴∠AGN=∠BGN．

解：（Ⅰ）设F（c，0），令x=c，代入椭圆方程，可得

y2=b2（1-），解得y=±，

由题意可得，=，=，a2-b2=c2，

解得a=2，b=1，c=．

∴椭圆方程是+y2=1；

（Ⅱ）由椭圆的对称性，可以设P1（m，n），P2（m，-n），

点E在x轴上，设点E（t，0），

则圆E的方程为：（x-t）2+y2=（m-t）2+n2，

由内切圆定义知道，椭圆上的点到点E距离的最小值是|P1E|，

设点M（x，y）是椭圆C上任意一点，

则|ME|2=（x-t）2+y2=x2-2tx+t2+1，

当x=m时，|ME|2最小，∴m=-=，①，

又圆E过点F，所以（--t）2=（m-t）2+n2，②，

点P1在椭圆上，∴n2=1-，③，

由①②③解得：t=-或t=-，

又t=-时，m=-＜-2，不合题意，

综上：圆心E（-，0），m=-，n2=，

即有圆E的方程为（x+）2+y2=．

解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），化简得：x2-4kx-4b=0，x1+x2=4k，x1x2=4b，

∵|AB|=4，∴=4，即（1+k2）（k2+b）=1，

b=，

（2）x1+x2=4k，x1+x2=4k，AB中点M，

中点M离x轴的距离==2k2+b=k2+=k2+1+-1≥2-1=1

所以中点M离x轴的最短距离为1．

解：（1）∵，离心率

∴2a=4，e==

∴a=2，c=

∴b2=1

∴椭圆C的方程为

（2）由（1）可得

∴，

∴=（）（）+（-y）（-y）

=x2+y2-3

=-3

==

∵x＞0

∴x=1

∵y＞0

∴y=，故P（1，）

（3）显然直线x=0不满足题设，可设直线y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2）

联立整理可得，（）x2+4kx+3=0

∴x1+x2=-，，

y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=

由可得，k或k

∵∠AOB为锐角

∴＞0

∴

∴-2＜k＜2

综上可得，或-2