圆锥曲线与方程_章节学习

1

题型：填空题

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填空题

椭圆与双曲线l有相同的焦点，则实数a=______．

正确答案

1

解析

解：椭圆得

∴c1==1，

∴焦点坐标为（1，0）（-1，0），

双曲线：有

则半焦距c2=1

∴

则实数a=1

故答案为：1．

1

题型：单选题

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单选题

与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程为（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：∵的焦点为

∴双曲线的焦点在x轴上，且

∵

∴a=2

∵c2=a2+b2

∴b2=5-4=1

∴双曲线的方程为

故选C

1

题型：填空题

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填空题

已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线渐近线方程为______．

正确答案

y=±x

解析

解：∵椭圆的焦点为（4，0）（-4，0），故双曲线中的c=4，且满足 =2，故a=2，

b=，所以双曲线的渐近线方程为y=±=±x

故答案为：y=x

1

题型：填空题

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填空题

抛物线的顶点在坐标原点，焦点是双曲线x2-2y2=8的一个焦点，则此抛物线的焦点到其准线的距离等于是______．

正确答案

解析

解：整理双曲线方程得 =1，

∴焦点坐标为（2，0）（-2，0），

设出抛物线方程为y2=2px，

依题意可知 =-2或 =2，

求得p=-4或4，则准线方程为x=2或x=-2

则抛物线的焦点到其准线的距离等于

故答案为：．

1

题型：单选题

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单选题

方程+=1所表示的曲线为（　　）

A焦点在x轴上的椭圆

B焦点在y轴上的椭圆

C焦点在x轴上的双曲线

D焦点在y轴上的双曲线

正确答案

C

解析

解：∵2sinθ+6≥4＞0，sinθ-2≤-1＜0，

∴方程+=1所表示的曲线为焦点在x轴上的双曲线．

故选：C．

1

题型：填空题

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填空题

设椭圆M：（a＞b＞0）右顶点和上顶点分别为A，B，直线AB与直线y=-x相交于点P，若点P在抛物线y2=-ax上，则椭圆M的离心率等于______．

正确答案

解析

解：椭圆M：（a＞b＞0）右顶点A（a，0）和上顶点分别为B（0，b），

直线AB的方程与直线y=-x相交于点P（，），

点P在抛物线y2=-ax上，所以，

b=a-b，a=2b，所以e===．

故答案为：．

1

题型：填空题

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填空题

设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则曲线r的离心率等于______．

正确答案

或

解析

解：根据|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，不妨设|PF1|=4m，|F1F2|=3m，|PF2|=2m，

∴|PF1|+|PF2|=6m＞|F1F2|=3m，此时曲线为椭圆，且曲线r的离心率等于；

|PF1|-|PF2|=2m＜|F1F2|=3m，此时曲线为双曲线，且曲线r的离心率等于，

故答案为：或

1

题型：填空题

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填空题

已知椭圆+=1与双曲线-=1在第一象限内的交点为P，则点P到椭圆右焦点的距离等于______．

正确答案

2

解析

解：因为椭圆+=1的焦点（±4，0），与双曲线-=1的焦点（±4，0），

∴椭圆+=1与双曲线-=1有共同的焦点F1、F2，

设左右焦点F1、F2：

利用椭圆以及双曲线的定义可得：|PF1|+|PF2|=2×5 ①

|PF1|-|PF2|=2×3 ②

由①②得：|PF1|=8，|PF2|=2．

则点P到椭圆右焦点的距离等于 2．

故答案为：2．

1

题型：填空题

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填空题

已知A，B是椭圆和双曲线的公共顶点．P是双曲线上的动点，M是椭圆上的动点（P、M都异于A、B），且满足，其中λ∈R，设直线AP、BP、AM、BM的斜率分别记为k1，k2，k3，k4，k1+k2=5，则k3+k4=______．

正确答案

-5

解析

解：∵A，B是椭圆和双曲线的公共顶点，∴（不妨设）A（-a，0），B（a，0）．

设P（x1，y1），M（x2，y2），∵，其中λ∈R，∴（x1+a，y1）+（x1-a，y1）=λ[（x2+a，y2）+（x2-a，y2）]，化为x1y2=x2y1．

∵P、M都异于A、B，∴y1≠0，y2≠0．∴．

由k1+k2==5，化为，（*）

又∵，∴，代入（*）化为．

k3+k4==，又，

∴，

∴k3+k4===-5．

故答案为-5．

1

题型：单选题

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单选题

对于曲线C：=1给出下面四个命题：

①曲线C不可能表示椭圆

②当1＜k＜4时，曲线C表示椭圆

③若曲线C表示双曲线，则k＜1或k＞4

④若曲线C表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜k＜

下列选项正确的是（　　）

A①③

B③④

C②③

D①④

正确答案

B

解析

解：①当1＜k＜4且k≠时，曲线表示椭圆，所以①错误；

②当k=时，4-k=k-1，此时曲线表示圆，所以②错误．

③若曲线C表示双曲线，则（4-k）（k-1）＜0，解得k＞4或k＜1，所以③正确．

④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则，解得1＜k＜，所以④正确．

故选B．

1

题型：单选题

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单选题

（2015秋•山东期末）已知m＞0，n＞0（m≠n），椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，若将m，n的值都增加k（k＞0），则e1，e2的大小的变化情况是（　　）

Ae1减小，e2可能减小或增大

Be1增大，e2减小

Ce1与e2同时减小或增大

De1减小，e2增大

正确答案

A

解析

解：m＞n，e1′2-e12=-1+=＜0，∴e1′＜e1，∴e1减小；

m＜n结论也成立；

e1′2-e12=1+-1-=-，∴e2可能减小或增大．

故选：A．

1

题型：简答题

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简答题

已知方程kx2+y2=4，其中k为实数对于不同范围的k值，分别指出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图．

正确答案

解：（1）k＞0时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①k＞1时，长轴在y轴上，半长轴=2，半短轴=；②k=1时，为半径r=2的圆；③k＜1时，长轴在x轴上，半长轴=，半短轴=2

（2）k=0时，方程为y2=4，图形是两条平行于x轴的直线y=±2如图：

（3）k＜0时，方程为，这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在y轴上，如图：

解析

解：（1）k＞0时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①k＞1时，长轴在y轴上，半长轴=2，半短轴=；②k=1时，为半径r=2的圆；③k＜1时，长轴在x轴上，半长轴=，半短轴=2

（2）k=0时，方程为y2=4，图形是两条平行于x轴的直线y=±2如图：

（3）k＜0时，方程为，这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在y轴上，如图：

1

题型：单选题

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单选题

曲线与曲线的（　　）

A焦距相等

B离心率相等

C焦点相同

D准线相同

正确答案

A

解析

解：由知该方程表示焦点在x轴上的椭圆，

由知该方程表示焦点在y轴上的双曲线，排除C，D；

椭圆的离心率小于1，双曲线离心率大于1排除B，

故选A

1

题型：单选题

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单选题

已知双曲线和椭圆的离心率之积大于1，那么以a，b，m为边的三角形是（　　）

A锐角三角形

B钝角三角形

C直角三角形

D等边三角形

正确答案

B

解析

解：由题意，

∴-a2b2+b2m2-b4＞0

∴a2+b2-m2＜0

∴

∴m所对的角为钝角

∴以a，b，m为边的三角形是钝角三角形

故选B．

1

题型：填空题

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填空题

设 E1：（其中a＞0）为焦点在（3，0），（-3，0）的椭圆；E2：焦点在（3，0）且准线为x=-3的抛物线．已知E1，E2的交点在直线x=3上，则 a=______．

正确答案

3+

解析

解：设P为拋物线E1与椭圆E2的交点

P在E1上，根据拋物线的定义，

P在E2上，根据椭圆的定义，

∵P在直线x=3上，

∴轴

故

故答案为：．

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