圆锥曲线与方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题

椭圆C1：+y2=1，椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点坐标为（，0），斜率为1的直线l与椭圆C2相交于A、B两点，线段AB的中点H的坐标为（2，-1）．

（1）求椭圆C2的方程；

（2）设P为椭圆C2上一点，点M、N在椭圆C1上，且=+2，则直线OM与直线ON的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

正确答案

解：（1）椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点坐标为（，0），

则c=，即有a2-b2=5，①

设A（x1，y1），B（x2，y2），则=1，=1，

两式相减的，+=0，

由于x1+x2=4，y1+y2=-2，

则有kAB===1，②

由①②解得，a=，b=．

则椭圆C2的方程为=1；

（2）设P（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），

则 x02+2y02=10，x12+2y12=2，x22+2y22=2，

由=+2，

可得：（x0，y0）=（x1，y1）+2（x2，y2），

∴，

∴x02+2y02=（x1+2x2）2+2（y1+2y2）2

=x12+4x1x2+4x22+2y12+8y1y2+8y22=（x12+2y12）+4（x22+2y22）+4（x1x2+2y1y2）

=10+4（x1x2+2y1y2）=10．

∴x1x2+2y1y2=0，

∴=-，即kOM•kON=-，

∴直线OM与直线ON的斜率之积为定值，且定值为-．

解析

解：（1）椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点坐标为（，0），

则c=，即有a2-b2=5，①

设A（x1，y1），B（x2，y2），则=1，=1，

两式相减的，+=0，

由于x1+x2=4，y1+y2=-2，

则有kAB===1，②

由①②解得，a=，b=．

则椭圆C2的方程为=1；

（2）设P（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），

则 x02+2y02=10，x12+2y12=2，x22+2y22=2，

由=+2，

可得：（x0，y0）=（x1，y1）+2（x2，y2），

∴，

∴x02+2y02=（x1+2x2）2+2（y1+2y2）2

=x12+4x1x2+4x22+2y12+8y1y2+8y22=（x12+2y12）+4（x22+2y22）+4（x1x2+2y1y2）

=10+4（x1x2+2y1y2）=10．

∴x1x2+2y1y2=0，

∴=-，即kOM•kON=-，

∴直线OM与直线ON的斜率之积为定值，且定值为-．

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题型：单选题

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单选题

若实数a，b，c使得函数f（x）=x3+ax2+bx+c的三个零点分别为椭圆、双曲线、抛物线的离心率e1，e2，e3，则a，b，c的一种可能取值依次为（　　）

A-2，-1，2

B2，0，-2

C

D

正确答案

C

解析

解：抛物线的离心率为1，将1代入得到1+a+b+c=0，

∴c=-a-b-1，代入方程得x3+ax2+bx-a-b-1=0．

分解得（x-1）[x2+（a+1）x+a+b+1]=0．

于是方程另两根满足x2+（a+1）x+a+b+1=0，由已知得此方程的两根一个大于1，另一个大于0而小于1．

设g（x）=x2+（a+1）x+a+b+1，则 g（0）＞0且g（1）＜0，

即a+b+1＞0且2a+b+3＜0，所以-（a+b+1）＜0 与 2a+b+3＜0

相加得a＜-2．

故选C．

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线C与椭圆有相同的焦点，实半轴长为．

（1）求双曲线C的方程；

（2）若直线与双曲线C有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点），求k的取值范围．

正确答案

解：（1）设双曲线的方程为，

由题意知，，∴b2=c2-a2=1，解得b=1，

故双曲线方程为．

（2）将代入，得

由得，且k2＜1，，，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则由，

得==，得．

又k2＜1，∴，解得，

所以k的取值范围为（-1，-）∪（，1）．

解析

解：（1）设双曲线的方程为，

由题意知，，∴b2=c2-a2=1，解得b=1，

故双曲线方程为．

（2）将代入，得

由得，且k2＜1，，，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则由，

得==，得．

又k2＜1，∴，解得，

所以k的取值范围为（-1，-）∪（，1）．

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题型：单选题

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单选题

y=kx+1与椭圆恰有公共点，则m的范围（　　）

A（0，1）

B（0，5 ）

C[1，5）∪（5，+∞）

D（1，+∞）

正确答案

C

解析

解：联立，化为（m+5k2）x2+10kx+5-5m=0，

∵y=kx+1与椭圆恰有公共点，

∴，

化为m≥1-5k2且m≠5．

∴m≥1且m≠5．

故选C．

1

题型：简答题

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简答题

已知椭圆M的中心为坐标原点，且焦点在x轴上，若M的一个顶点恰好是抛物线y2=8x的焦点，M的离心率，过M的右焦点F作不与坐标轴垂直的直线l，交M于A，B两点．

（1）求椭圆M的标准方程；

（2）设点N（t，0）是一个动点，且，求实数t的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）∵抛物线y2=8x的焦点F（2，0）

∴a=2

∵=

∴c=1

∴b2=a2-c2=3

∴椭圆M的标准方程：（4分）

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），设l：x=my+1（m∈R，m≠0）

联立方程可得（3m2+4）y2+6my-9=0

由韦达定理得①（6分）

∵

∴|NA|=|NB|

∴=

∴

将x1=my1+1，x2=my2+1代入上式整理得：，

由y1≠y2知（m2+1）（y1+y2）+m（2-2t）=0，将①代入得（10分）

所以实数t（12分）

解析

解：（Ⅰ）∵抛物线y2=8x的焦点F（2，0）

∴a=2

∵=

∴c=1

∴b2=a2-c2=3

∴椭圆M的标准方程：（4分）

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），设l：x=my+1（m∈R，m≠0）

联立方程可得（3m2+4）y2+6my-9=0

由韦达定理得①（6分）

∵

∴|NA|=|NB|

∴=

∴

将x1=my1+1，x2=my2+1代入上式整理得：，

由y1≠y2知（m2+1）（y1+y2）+m（2-2t）=0，将①代入得（10分）

所以实数t（12分）

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题型：填空题

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填空题

MN为双曲线C：=1（a，b＞0）的垂直于实轴的动弦，P，Q为双曲线C的顶点，直线MQ与直线PN交于点F，直线NQ与直线PM交于点E，则下列说法：

①存在a，b＞0及动弦MN，使得P，E，Q，F四点共圆；

②对任意a，b＞0，都存在动弦MN，使得P，E，Q，F四点共圆；

③存在a，b＞0及动弦MN，使得P，E，Q，F四点共椭圆，且PQ为椭圆的长轴；

④存在a，b＞0及动弦MN，使得P，E，Q，F四点共椭圆，且PQ为椭圆的短轴．

其中正确的序号是______．

正确答案

①③④

解析

解：∵MN为双曲线C：=1（a，b＞0）的垂直于实轴的动弦，

∴设M（x0，y0），N（x0，-y0），F（x，y），

∵P，Q为双曲线C的顶点，

∵P（-a，0），Q（a，0），

∴直线lMQ：y=，直线lNP：y=，

上述两式相乘得，，

将代入上式，消元化简得，C′：，

∴点E，F的轨迹方程为，

当a=b时，上式表示圆的方程，

当a≠b时，上式表示椭圆，且PQ为长轴还是短轴取决于a，b的大小，

综上所述，可知选项①③④正确．

故答案为：①③④．

1

题型：单选题

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单选题

设双曲线M：-y2=1，点C（0，1），若直线（t为参数）交双曲线的两渐近线于点A、B，且=2，则双曲线的离心率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：因为直线（t为参数）的一般方程为y=x+1，双曲线的两渐近线方程为y=x，y=-x，

联立⇒，即A（，

联立⇒，即B（）．

所以，=（），

又因为⇒-=2×（-）⇒a=-．

所以离心率e==．

故选D．

1

题型：简答题

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简答题

已知A是圆x2+y2=4上的一个动点，过点A作两条直线l1，l2，它们与椭圆都只有一个公共点，且分别交圆于点M，N．

（1）若A（-2，0），求直线l1，l2的方程；

（2）①求证：对于圆上的任意点A，都有l1⊥l2成立；

②求△AMN面积的取值范围．

正确答案

（1）解：设直线的方程为y=k（x+2），代入椭圆，消去y，可得（1+3k2）x2+12k2x+12k2-3=0

由△=0，可得k2-1=0

设l1，l2的斜率分别为k1，k2，∴k1=-1，k2=1

∴直线l1，l2的方程分别为y=-x-2，y=x+2；

（2）①证明：当直线l1，l2的斜率有一条不存在时，不妨设l1无斜率

∵l1与椭圆只有一个公共点，所以其方程为x=±

当l1的方程为x=时，此时l1与圆的交点坐标为（，±1），所以l2的方程为y=1（或y=-1），l1⊥l2成立，

同理可证，当l1的方程为x=-时，结论成立；

当直线l1，l2的斜率都存在时，设点A（m，n），且m2+n2=4

设方程为y=k（x-m）+n，代入椭圆方程，可得（1+3k2）x2+6k（n-km）x+3（n-km）2-3=0

由△=0化简整理得（3-m2）k2+2mnk+1-n2=0

∵m2+n2=4

∴（3-m2）k2+2mnk+m2-3=0

设l1，l2的斜率分别为k1，k2，∴k1k2=-1，∴l1⊥l2成立

综上，对于圆上的任意点A，都有l1⊥l2成立；

②记原点到直线l1，l2的距离分别为d1，d2，

∵=4，∴△AMN面积S2==4=-4+16

∵，∴S2∈[12，16]

∴S∈[2，4]．

解析

（1）解：设直线的方程为y=k（x+2），代入椭圆，消去y，可得（1+3k2）x2+12k2x+12k2-3=0

由△=0，可得k2-1=0

设l1，l2的斜率分别为k1，k2，∴k1=-1，k2=1

∴直线l1，l2的方程分别为y=-x-2，y=x+2；

（2）①证明：当直线l1，l2的斜率有一条不存在时，不妨设l1无斜率

∵l1与椭圆只有一个公共点，所以其方程为x=±

当l1的方程为x=时，此时l1与圆的交点坐标为（，±1），所以l2的方程为y=1（或y=-1），l1⊥l2成立，

同理可证，当l1的方程为x=-时，结论成立；

当直线l1，l2的斜率都存在时，设点A（m，n），且m2+n2=4

设方程为y=k（x-m）+n，代入椭圆方程，可得（1+3k2）x2+6k（n-km）x+3（n-km）2-3=0

由△=0化简整理得（3-m2）k2+2mnk+1-n2=0

∵m2+n2=4

∴（3-m2）k2+2mnk+m2-3=0

设l1，l2的斜率分别为k1，k2，∴k1k2=-1，∴l1⊥l2成立

综上，对于圆上的任意点A，都有l1⊥l2成立；

②记原点到直线l1，l2的距离分别为d1，d2，

∵=4，∴△AMN面积S2==4=-4+16

∵，∴S2∈[12，16]

∴S∈[2，4]．

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题型：单选题

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单选题

若椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则△F1PF2的面积是（　　）

A4

B2

C1

D

正确答案

C

解析

解：由题意设两个圆锥曲线的焦距为2c，椭圆的长轴长2，双曲线的实轴长为2，

由它们有相同的焦点，得到m-n=2．

不妨设m=5，n=3，

椭圆的长轴长2，双曲线的实轴长为2，

不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|-|PF2|=2 ①

由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2 ②

①2+②2得|PF1|2+|PF2|2=16

又|F1F2|=4，

∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，

则△F1PF2的形状是直角三角形

△PF1F2的面积为•PF1•PF2=（）（）=1

故选C．

1

题型：简答题

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简答题

已知椭圆的两焦点在x轴上，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q，使得以AB为直径的圆恒过点Q？若存在求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（Ⅰ）由椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，得b=c，

又斜边长为2，即2c=2，解得c=1，故，

所以椭圆方程为．

（Ⅱ）当l与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程为；

当l为y轴时，以AB为直径的圆的方程为x2+y2=1，

由，

故若存在定点Q，则Q的坐标只可能为Q（0，1）．

下证明Q（0，1）为所求：

若直线l斜率不存在，上述已经证明．

设直线，

由，

，

=，

∴，即以AB为直径的圆恒过点Q（0，1）．

解析

解：（Ⅰ）由椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，得b=c，

又斜边长为2，即2c=2，解得c=1，故，

所以椭圆方程为．

（Ⅱ）当l与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程为；

当l为y轴时，以AB为直径的圆的方程为x2+y2=1，

由，

故若存在定点Q，则Q的坐标只可能为Q（0，1）．

下证明Q（0，1）为所求：

若直线l斜率不存在，上述已经证明．

设直线，

由，

，

=，

∴，即以AB为直径的圆恒过点Q（0，1）．

1

题型：简答题

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简答题

已知椭圆的顶点与双曲线的焦点重合，它们的离心率之和为，若椭圆的焦点在x轴上，求椭圆的标准方程．

正确答案

解：设所求椭圆方程为，

其离心率为e，焦距为2c，

双曲线的焦距为2c1，离心率为e1，（2分）

则有：c12=4+12=16，c1=4 （4分）

∴（6分）

∴，

即①（8分）

又b=c1=4 ②（9分）

a2=b2+c2③（10分）

由①、②、③可得a2=25

∴所求椭圆方程为（12分）

解析

解：设所求椭圆方程为，

其离心率为e，焦距为2c，

双曲线的焦距为2c1，离心率为e1，（2分）

则有：c12=4+12=16，c1=4 （4分）

∴（6分）

∴，

即①（8分）

又b=c1=4 ②（9分）

a2=b2+c2③（10分）

由①、②、③可得a2=25

∴所求椭圆方程为（12分）

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题型：简答题

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简答题

（2011春•长沙校级期末）已知点A（1，1）是椭圆上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且满足|AF1|+|AF2|=4．

（1）求椭圆的方程及离心率；

（2）设点C，D是椭圆上的两点，直线AC、AD的倾斜角互补，试判断直线CD的斜率是否为定值？并说明理由．

正确答案

解：（1）∵A（1，1）是椭圆上的一点，F1、F2为两个焦点，

|AF1|+|AF2|=4，

∴2a=4，a=2，（2分）

，

∴，∴，（4分）

∴．椭圆的方程为．（6分）

（2）设C（xC，yC），D（xD，yD），

∵直线AC、AD的倾斜角互补，

∴直线AC、AD的斜率互为相反数，∴直线AC：y-1=k（x-1），直线AD：y-1=-k（x-1）．（8分）

由，得（1+3k2）x2+3（2k-2k2）x+3（k2-2k）-1=0（10分）

∵A点的横坐标x=1一定为该方程的解．

∴，同理，．（12分）

∴．

故直线CD的斜率为定值．（13分）

解析

解：（1）∵A（1，1）是椭圆上的一点，F1、F2为两个焦点，

|AF1|+|AF2|=4，

∴2a=4，a=2，（2分）

，

∴，∴，（4分）

∴．椭圆的方程为．（6分）

（2）设C（xC，yC），D（xD，yD），

∵直线AC、AD的倾斜角互补，

∴直线AC、AD的斜率互为相反数，∴直线AC：y-1=k（x-1），直线AD：y-1=-k（x-1）．（8分）

由，得（1+3k2）x2+3（2k-2k2）x+3（k2-2k）-1=0（10分）

∵A点的横坐标x=1一定为该方程的解．

∴，同理，．（12分）

∴．

故直线CD的斜率为定值．（13分）

1

题型：填空题

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填空题

如图所示，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为a，b（a＜b），原点O为AD的中点，抛物线y2=2px（p＞0）经过C，F两点，则=______．

正确答案

解析

解：由题意可得，，

将C，F两点的坐标分别代入抛物线方程y2=2px中，得

∵a＞0，b＞0，p＞0，两式相比消去p得，化简整理得a2+2ab-b2=0，

此式可看作是关于a的一元二次方程，由求根公式得，

取，

从而，

故答案为：．

1

题型：填空题

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填空题

椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的斜率为______，直线方程为______．

正确答案

2x+3y-12=0

解析

解：设弦端点为A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1+x2=6，y1+y2=4，

①，=144②，

①-②得，+9=0，即4（x1+x2）（x1-x2）+9（y1+y2）（y1-y2）=0，

所以==，即，

所以弦所在直线方程为：y-2=-（x-3），即2x+3y-12=0．

故答案为：-；2x+3y-12=0．

1

题型：简答题

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简答题

过椭圆+y2=1的一个焦点F作直线l交椭圆于点A、B两点，椭圆的中心为O，当△AOB面积最大时，求直线l的方程．

正确答案

解：∵椭圆+y2=1，∴一个焦点F（1，0），

（1）设直线l的斜率为k，A（x1，y1），B（x2，y2）

y=k（x-1），且椭圆+y2=1，

可得：（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0，

x1+x2=，x1．x2=

|AB|=，O到直线的距离为h=，

△AOB面积为：×=

（2）当k不存时，A（1，），B（1，），或A（-1，），B（-1，），

△AOB面积都为

当△AOB面积最大时，k不存在，

所以当△AOB面积最大时，直线l的方程：x=1，x=-1

解析

解：∵椭圆+y2=1，∴一个焦点F（1，0），

（1）设直线l的斜率为k，A（x1，y1），B（x2，y2）

y=k（x-1），且椭圆+y2=1，

可得：（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0，

x1+x2=，x1．x2=

|AB|=，O到直线的距离为h=，

△AOB面积为：×=

（2）当k不存时，A（1，），B（1，），或A（-1，），B（-1，），

△AOB面积都为

当△AOB面积最大时，k不存在，

所以当△AOB面积最大时，直线l的方程：x=1，x=-1

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