热门试卷

解：（I）设P（x，y），∴，．

又=（0，a）+λ（1，0）=（λ，a），=（1，0）+2λ（0，a）=（1，2λa），

∵（+），（+2），

∴xa-λ（y+a）=0，2λax-（y-a）=0，

消去参数λ得y2-2a2x2=a2．

化为．

（II）当a=时，点P的轨迹方程为.=1．

∴E（0，1）为双曲线的一焦点．

①当直线l的斜率不存在时，其方程为x=0，l与双曲线分别相较于点M，N．此时==．

②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+1，代入双曲线得2（k2-1）x2+4kx+1=0，

∵l与双曲线交于两点，∴△=16k2-8（k2-1）＞0，且k2-1≠0．

设两交点为M（x1，y1），N（x2，y2）．

则，．

∴=（x1，y1-1）•（x2，y2-1）===．

当-1＜k＜1时，k2-1＜0，则，

当k＜-1或k＞1时，k2-1＞0，故．

综上所述：的取值范围是．

解：（1）由题意得，∵双曲线的一个顶点A‘与点A关于直线y=x对称

∴顶点A'（0，）

设双曲线的一条渐近线方程为y=kx

∵双曲线的渐近线经过坐标原点，且与以A（，0）为圆心，1为半径的圆相切

∴k=1

∴双曲线的方程为

（2）设过A点的一条直线方程为，

代入双曲线方程并化简得

由题意，，即m=±

经验证，满足题意

∴直线方程为y=±（x-）

解：（1）设曲线方程为，

由题意可知，．

∴．

∴曲线方程为．

（2）设变轨点为C（x，y），根据题意可知

得4y2-7y-36=0，y=4或（不合题意，舍去）．

∴y=4．

得x=6或x=-6（不合题意，舍去）．

∴C点的坐标为（6，4），．

答：当观测点A、B测得AC、BC距离分别为时，应向航天器发出变轨指令．

解：（I）|PF|=a+ex≥a-c=2，=，

联立，解得a=2，b=c=．

∴该椭圆的方程为；

（II）设M（2，m），则直线AM的方程为：．

代入椭圆的方程可得（m2+8）x2+4m2x+4m2-32=0，

∴，化为．

∴==．

由直线BP：，

直线OM的方程为：．

联立，化为y2=-x（x-2）（x≠0）．

即（x-1）2+y2=1（x≠0），圆心C（1，0），半径r=1．

∴|QN|min=|CN|+1=．

解：∵y2=4x的焦点坐标为F（1，0）

∴当直线PQ的斜率k存在时，可设其方程的y=k（x-1），且k≠0

又设P（x1，y1），Q（x2，y2），中点M的坐标为（x0，y0），则有：

而由题意，得

∴…（4分）

∵点M（x0，y0）在直线PQ上

即得线段PQ中点的轨迹方程为y2=2（x-1）…（5分）

而当直线PQ的斜率不存在时，有PQ⊥x轴，此时PQ的中点M，即为焦点F（1，0），满足y2=2（x-1）

综上，线段PQ中点的轨迹方程为y2=2（x-1）…（6分）

解：（Ⅰ）依题意，点P坐标为（a，0）．　（1分）

∵，点Q坐标为（3，3），

∴3a+3×0=6，解得a=2．（3分）

∴椭圆C的方程为．（4分）

（Ⅱ）方法一：过点Q（3，3）且斜率为的直线AB方程为y-3=，

即3x-2y-3=0．（5分）

设点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），

由，消去x并整理得，8y2+12y-27=0．（6分）

∴，，（7分）

∴==，

∴．（9分）

∵直线AB与x轴的交点为M（1，0），

∴△AOB的面积S△AOB=S△OMA+S△OMB

=|OM|•（|y1|+|y2|）

=

=．（12分）

方法二：过点Q（3，3）且斜率为的直线AB方程为y-3=，

即3x-2y-3=0．（5分）

设点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），

由，消去y，并整理得2x2-2x-3=0，（6分）

∴，，（7分）

∴|AB|=

==，（9分）

∵点O到直线AB的距离d==，（10分）

∴△AOB的面积S△AOB===．（12分）

解：（1）∵椭圆C的顶点为A（2，0），

∴a=2，

又∵e==，

∴c=，

∵b=，

∴椭圆C的方程为：．

（2）当过点M的直线斜率不存在时，显然不成立，

设直线的斜率为k，则其方程为：

y-1=k（x-1），

联立方程组，

消去y并整理，得

（1+2k2）x2-4（k2-k）x+2k2-4k-2=0，

∴△=16（k2-k）2-4（1+2k2）（2k2-4k-2）＞0，

整理，得

3k2+2k+1＞0，

∴k∈R，

∵x1+x2=，

且点M（1，1）是线段AB的中点，

∴=2，

∴k=-，

故存在这样的直线，此时，直线方程为：

y-1=-（x-1），

即x+2y-3=0，

∴存在符合条件的直线，它的方程x+2y-3=0．

解：（Ⅰ）由题意不妨设B1（0，-b），B2（0，b），则，．

∵=-a，∴1-b2=-a，又∵a2-b2=1，解得a=2，．

∴椭圆C的方程为；

（Ⅱ）由题意得直线l的方程为y=k（x-1）．

联立得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0．

设M（x1，y1），N（x2，y2），则，．

∴弦MN的中点P．

∴|MN|===．

直线PD的方程为．

∴|DP|=．

∴===．

又∵k2+1＞1，∴，

∴．

∴的取值范围是．

解：设抛物线的方程为x2=-2py，则由，∴2x2-3px-pm=0

∴△=9p2+8pm=0，∴m=-

∵点M到直线l：3x+4y-14=0的距离的最小值为1，

∴

∴p=8或p=（舍去），

∴抛物线方程为：x2=-16y