热门试卷

解：（1）∵椭圆的焦点在x轴上，故设椭圆的方程为：…（1分）

又椭圆的一个顶点为A（0，-1），离心率为

∴即…（2分）

又a2=b2+c2∴…（3分）

∴a2=3…（4分）

∴椭圆的方程为：…（5分）

（2）设P（xP，yP）、M（xM，yM）、N（xN，yN），P为弦MN的中点，

直线y=kx+m与椭圆方程联立，消去y可得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2-1）=0，

∵直线与椭圆相交，∴△=（6mk）2-12（3k2+1）（m2-1）＞0，∴m2＜3k2+1，①

由韦达定理，可得P（）

∵|AM|=||AN|，∴AP⊥MN，

∴

∴2m=3k2+1②

把②代入①得2m＞m2解得0＜m＜2

∵2m=3k2+1＞1，∴m＞

∴＜m＜2．

解：（I）∵|PF1|+|PF2|=4，

∴2a=4，a=2．

∴椭圆E：，

将P代入可得b2=3，

∴椭圆E的方程为．

（II）①当AC的斜率为零或斜率不存在时，=；

②当AC的斜率k存在且k≠0时，AC的方程为y=k（x+1），

代入椭圆方程，并化简得（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0．

设A（x1，y1），C（x2，y2），

则，

，

∵直线BD的斜率为，

∴|BD|==，

∴=，

综上：，

∴，

∴存在常数使得成等差数列．

解：（Ⅰ）由题意可知，

e2==（）2，则b2=1；

则椭圆E的方程为；

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，F2（1，0），

联立动直线和椭圆方程可得，

，

则（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0；

由△=0可得，

2k2=m2-1，且P（-，），Q（2，2k+m）；

∴•=（--1，）•（1，2k+m）

=--1+（2k+m）=0，

∴⊥，

∴以线段PQ为直径的圆恒过定点F2．

解：（Ⅰ）∵离心率为，∴==，

∴2a2=3b2，∴a2=3c2，b2=2c2，

设直线FM的斜率为k（k＞0），则直线FM的方程为y=k（x+c），

∵直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，

∴圆心（0，0）到直线FM的距离d=，

∴d2+=，即（）2+=，

解得k=，即直线FM的斜率为；

（Ⅱ）由（I）得椭圆方程为：+=1，直线FM的方程为y=（x+c），

联立两个方程，消去y，整理得3x2+2cx-5c2=0，解得x=-c，或x=c，

∵点M在第一象限，∴M（c，c），

∵|FM|=，∴=，

解得c=1，∴a2=3c2=3，b2=2c2=2，

即椭圆的方程为+=1；

（Ⅲ）设动点P的坐标为（x，y），直线FP的斜率为t，

∵F（-1，0），∴t=，即y=t（x+1）（x≠-1），

联立方程组，消去y并整理，得2x2+3t2（x+1）2=6，

又∵直线FP的斜率大于，

∴＞，6-2x2＞6（x+1）2，

整理得：x（2x+3）＜0且x≠-1，

解得-＜x＜-1，或-1＜x＜0，

设直线OP的斜率为m，得m=，即y=mx（x≠0），

联立方程组，消去y并整理，得m2=-．

①当x∈（-，-1）时，有y=t（x+1）＜0，因此m＞0，

∴m=，∴m∈（，）；

②当x∈（-1，0）时，有y=t（x+1）＞0，因此m＜0，

∴m=-，∴m∈（-∞，-）；

综上所述，直线OP的斜率的取值范围是：（-∞，-）∪（，）．

解：（1）设椭圆的焦距为2c，根据题意得b=c；

连接一个短轴端点与一个焦点的直线方程可以是+=1，

即x+y-b=0；

由直线与圆相切得=，

∴b=2，c=2；

∴a2=b2+c2=8，

∴椭圆C的方程为+=1；（6分）

（2）∵抛物线E的焦点在x轴的正半轴上，

∴F（2，0），p=4，

∴抛物线E的方程为y2=8x；

由，得x2+（2m-8）x+m2=0，

由直线l与抛物线E有两个不同交点，

得△=（2m-8）2-4m2=64-32m＞0在0≤m≤1时恒成立；

设点A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1+x2=8-2m，x1x2=m2；

则|AB|=

=

=8；

又∵点F（2，0）到直线l：y=x+m的距离为d=，

∴△FAB的面积为

S=d•|AB|=2；

令f（m）=-m3-2m2+4m+8，

则f‘（m）=-3m2-4m+4；

令f'（m）=0，得m=-2或，

∴f（m）在[0，]上单调递增，在[，1]上单调递减，

∴当m=时，f（m）取最大值，

即△FAB的面积的最大值为．（12分）

解：（Ⅰ）由已知，b=2，又，即，解得，

所以椭圆方程为．…（4分）

（Ⅱ）假设存在点N（x0，0）满足题设条件．

当PQ⊥x轴时，由椭圆的对称性可知恒有∠PNM=∠QNM，即x0∈R； …（6分）

当PQ与x轴不垂直时，设PQ的方程为：y=k（x-1），代入椭圆方程化简得：

（k2+2）x2-2k2x+k2-8=0

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则

则

==…（10分）

若∠PNM=∠QNM，则kPN+kQN=0

即=0，整理得4k（x0-4）=0

因为k∈R，所以x0=4

综上在x轴上存在定点N（4，0），使得∠PNM=∠QNM…（12分）

解：（Ⅰ）由|PF1|-|PF2|=2＜|F1F2|知，点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支，由c=2，2a=2，∴b2=3，故轨迹E的方程为．…（3分）

（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设直线l方程为y=k（x-2），与双曲线方程联立消y得（k2-3）x2-4k2x+4k2+3=0，设P（x1，y1）、Q（x2，y2），

∴，解得k2＞3

（i）∵=（x1-m）（x2-m）+k2（x1-2）（x2-2）

=（k2+1）x1x2-（2k2+m）（x1+x2）+m2+4k2

==…（7分）

假设存在实数m，使得，

故得3（1-m2）+k2（m2-4m-5）=0对任意的k2＞3恒成立，

∴，解得m=-1．∴当m=-1时，．

当直线l的斜率不存在时，由P（2，3），Q（2，-3）及M（-1，0）知结论也成立，

综上，存在m=-1，使得．

（ii）∵a=1，c=2，∴直线是双曲线的右准线，

由双曲线定义得：，，

∴==．

∵k2＞3，∴，∴

注意到直线的斜率不存在时，，综上，．

解：（Ⅰ）由题设，点A（-a，0），B（0，b），F1（-c，0），F2（c，0），其中．（1分）

因为，则．

设点P（x0，y0）

，则，所以，．（3分）

因为点P在双曲线上，所以，即（c-a）2=4a2．（4分）

因为c＞a，所以c-a=2a，即c=3a，故离心率．（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知c=3a，则b2=c2-a2=8a2．（7分）

若MN⊥x轴，则Q在x轴上，不合题意．

设直线MN的方程为y=kx+m，代入，得8x2-（kx+m）2=8a2，即（8-k2）x2-2kmx-m2-8a2=0．（*）（9分）

若k2=8，则MN与双曲线C的渐近线平行，不合题意．

设点M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x0，y0），则，，．（10分）

若点Q在直线y=2x上，则．

因为点M、N在双曲线的右支上，所以m≠0，从而k=4．（11分）

此时，方程（*）可化为8x2+8mx+m2+8a2=0．

由△=82m2-4×8（m2+8a2）＞0，得m2＞8a2．（12分）

又M、N在双曲线C的右支上，则x1+x2=-m＞0，所以．

故直线MN在y轴上的截距的取值范围是．（13分）