热门试卷

（Ⅰ）由题意∠AF1F2=90°，cos∠F1AF2=，

又||=2，

所以||=，||=，2a=||+||=4，

所以a=2，c=1，b2=a2-c2=3，即所求椭圆方程为+=1．

（Ⅱ）存在这样的点M符合题意．

设线段PQ的中点为N，P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），直线PQ的斜率为k（k≠0），

又F2（1，0），则直线PQ的方程为y=k（x-1），

由消y得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，

由韦达定理得x1+x2=，故x0==，

又点N在直线PQ上，所以N(，)．

由•=•，可得•(+)=2•=0，即PQ⊥MN，

所以kMN==-，整理得m==∈(0，)，

所以在线段OF2上存在点M（m，0）符合题意，其中m∈(0，)．

（Ⅰ）因为+=1（a＞b＞0）满足a2=b2+c2①，

由=②，2b=③．联立①②③，

解得a2=5，b2=，

所以椭圆方程为+=1．

（Ⅱ）（1）将y=k（x+1）代入+=1中，得（1+3k2）x2+6k2x+3k2-5=0，

△=36k4-4（3k2+1）（3k2-5）=48k2+20＞0，x1+x2=-，

因为AB中点的横坐标为-，所以-=-，解得k=±，

（2）由（1）知x1+x2=-，x1x2=，

所以•=（x1+，y1）（x2+，y2）=（x1+）（x2+）+y1y2

=（x1+）（x2+）+k2（x1+1）（x2+1）

=（1+k2）x1x2+（+k2）（x1+x2）++k2

=（1+k2）+（+k2）（-）++k2=；

（1）依题意，设直线l：x+y=与椭圆Γ：+=1交于A（x1，y1），B（x2，y2），

由∠AOB=，知x1x2+y1y2=0，而x1=（1-y1），x2=（1-y2），代入上式得到：4y1y2-3（y1+y2）+3=0①

由|AB|=2知：|y1-y2|=2，即|y1-y2|=1，

不妨设y1＞y2，则y2=y1+1，②

将②式代入①式求得：或，

∴A（，），B（-，）或A（，0），B（0，1），

又A（，），B（-，）不合题意，舍去．

∴A（，0），B（0，1），

故所求椭圆Γ的方程为+y2=1．

（2）由题意知M、N是椭圆+y2=1上的两点，且OM⊥ON，

故设M（r1cosθ，r1sinθ），N（-r2sinθ，r2cosθ），

于是r12（+sin2θ）=1，r22（+cos2θ）=1，

又（r12+r22）（+）=2++≥4，

从而|MN|2•≥4，即|MN|≥，

故所求|MN|的最小值为．

（1）短轴长2b=2，b=1，e==

又a2=b2+c2，所以a=，c=1，所以椭圆的方程为+y2=1

（2）设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），

消去y得，（1+2k2）x2+4mkx+2m2-2=0，•=x1x 2+y1y 2=

即=即9m2=10k2+8S△AOB=|m||x1-x2|===

即9m2（1+2k2-m2）=（1+2k2）2

，

解得k2=1，m2=2，所以y=±x±

（Ⅰ）由已知可得|PF1|+|PF2| =|F1F2| =6＞|F1F2|=4，

故曲线C是以F1，F2为焦点，长轴长为6的椭圆，其方程为+=1．

（Ⅱ）方法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），由条件可知A为MB的中点，

则有

将（3）、（4）代入（2）得+=1，整理为+-y1+=0．

将（1）代入上式得y1=2，再代入椭圆方程解得x1=±，

故所求的直线方程为y=±x+3．

方法二：依题意，直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+3．

由得（5+9k2）x2+54kx+36=0．令△＞0，解得k2＞．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，①x1x2=．②

因为=，所以A为MB的中点，从而x2=2x1．

将x2=2x1代入①、②，得x1=，x12=，

消去x1得()2=，

解得k2=，k=±．

所以直线l的方程为y=±x+3．

（I）∵圆x2+y2+2x=0的圆心为（-1，0），依据题意c=1，a-c=-1，∴a=．

∴椭圆的标准方程是：+y2=1；

（II）①当直线L与x轴垂直时，L的方程是：x=-1，

 得A（-1，），B（-1，-），

•=（，）•（，-）=-．

②当直线L与x轴不垂直时，设直线L的方程为 y=k（x+1）

⇒（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0，

 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2=，x1+x2=-，

•=（x1+，y1）•（x2+，y2）=x1x2+（x1+x2）++k2（x1x2+x1+x2+1）

=（1+k2）x1x2+（k2+）（x1+x2）+k2+=（1+k2）（）+（k2+）（-）+k2+

=+=-2+=-

综上•为定值-．

（1）因为点Q(，)为椭圆上一点，

所以+=1，解得a2=4，

所以椭圆方程为+=1；

（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），

又kOM•kON=•=-，化简得x1x2+2y1y2=0，

又M、N是椭圆C上的点，所以+=1，+=1，即x12+2y12=4，x22+2y22=4，

由=+2，⇒，

所以x02+2y02=(x1+2x2)2+2(y1+2y2)2

=(x12+2y12)+4(x22+2y22)+4x1x2+8y1y2

=4+4×4+4（x1x2+2y1y2）

=20（定值）；                                     

（3）由（2）知，动点P（x0，y0）满足x02+2y02=20，即+=1，

所以点P的轨迹是以(±，0)为焦点的椭圆．

故存在点A（，0）、B（-，0），使得|PA|+|PB|=4（定值）．

（Ⅰ）由题设可知，椭圆的焦点在x轴上，且2a=4，即a=2．            （1分）

又点A（1，）在椭圆上，∴+=1，解得b2=3．（2分）

∴椭圆C的标准方程是+=1．                                          （3分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，c2=a2-b2=1，即c=1，

∴F1、F2两点的坐标分别为（-1，0）、（1，0）．                                    （4分）

∵直线l：y=x+m经过点F1（-1，0），

∴0=×（-1）+m，∴m=．                                               （5分）

设A、B两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），由题意，有

，消去x，整理得16y2-12y-9=0，

∴y1+y2=，y1y2=-．                                                （6分）

设△ABF2的面积为SABF2，则

SABF2=|F1F2||y2-y1|=×2==

（Ⅲ）设A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则由题意，有

，消去y，整理得x2+mx+m2-3=0  ①

x1+x2=-m，x1x2=m2-3．

∴y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+（x1+x2）m+m2=（m2-3）+（-m）m+m2=m2-．                                      （10分）

∴•=x1x2+y1y2=m2-3+m2-=m2-，（11分）

又由①得，△=m2-4（m2-3）=-3m2+12，

∵A、B为不同的点，∴△＞0，∴0≤m2＜4．     

∴-≤•＜．

∴•的取值范围是[-，）．                                          （14分）

（Ⅰ）设P（m，n），则

∵两定点E（-，0），F（，0），动点P满足•=0，

∴（--m，-n）•（-m，-n）=0，

∴m2+n2=2

设M（x，y），则

∵由点P向x轴作垂线PQ，垂足为Q，点M满足=，

∴P（x，y）

∴x2+2y2=2

∴曲线C的方程为+y2=1；

（Ⅱ）①若直线l垂直于x轴，此时|AB|=． …（5分）

②若直线l不垂直于x轴，设直线l的方程为y=kx+m，

则原点O到直线l的距离为=，整理可得2m2=1+k2．…（6分）

由消去y可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可得△＞0，

则x1+x2=-，x1x2=．

∴|AB|=•=2•…（8分）

∵2m2=1+k2，

∴2 （1+k2）（1+2k2-m2）=（1+k2）（2+4k2-2m2）=（1+k2）（1+3k2）≤（1+2k2）2，

等号当且仅当1+k2=1+3k2，即k=0时成立．

即2•≤2．

所以k=0时，|AB|取得最大值2．…（12分）

（Ⅰ）由题意，设椭圆的方程为+=1(a＞b＞0)，

依题意得解之可得a2=4，b2=1．

所以椭圆C的方程为+y2=1．…（4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知点A的坐标为（2，0）．

（1）当直线l的斜率不存在时，不妨设点E在x轴上方，

易得E(1，)，F(1，-)，M(3，-)，N(3，)，所以•=1．…（6分）

（2）当直线l的斜率存在时，由题意可设直线l的方程为y=k（x-1），显然k=0时，不符合题意．

由消y并整理得（4k2+1）x2-8k2x+4k2-4=0．

设E（x1，y1），F（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=．

直线AE，AF的方程分别为：y=(x-2)，y=(x-2)，

令x=3，则M(3，)，N(3，)．

所以=(3-x1，)，=(3-x2，)．…（10分）

所以•=(3-x1)(3-x2)+•

=(3-x1)(3-x2)(1+)=(3-x1)(3-x2)(1+k2•)

=[x1x2-3(x1+x2)+9]×[1+k2•]

=(-3•+9)•(1+k2•)

=()•(1+)==1+．…（12分）

因为k2＞0，所以16k2+4＞4，所以1＜＜，即•∈(1，)．

综上所述，•的取值范围是[1，)．…（14分）

（Ⅰ）∵离心率为，∴a=2c，b=c．  

∵△ABF的面积为，

∴(2c+c)×c=，∴c=1

∴a=2，∴b=

∴椭圆E的方程为+=1；

（Ⅱ）斜率为k的直线过点F，设方程为y=k（x-1）与+=1联立，消元可得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0

设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=

∴y1y2=k2（x1-1）（x2-1）=

∴•=(x1+2，y1)•( x2+2，y2)=x1x2+2（x1+x2）+4+y1y2=

∵≤•≤，∴≤≤

∴≤k2≤1

∴≤k≤1或-1≤k≤-

∴k的取值范围是[，1]∪[-1，-]．

（1）设P的坐标为P（x，y），则Q（8，y）

∵(+)•(-)=0，得：42=2

∴4[（x-2）2+y2]=[（x-8）2+（y-y）2]，化简得3x2+4y2=48，

∴点P的轨迹方程为+=1，此曲线是以（±2，0）为焦点的椭圆；

（2）∵EF为圆N的直径，∴|NE|=|NF|=1，且=-

∴•=（+）•（+）=（+）•（-）=

PN

2-1

∵点P为椭圆+=1上的点，满足x2=16-

∵N（1，0），∴

PN

2=x2+（y-1）2=-（y+3）2+20

∵椭圆+=1上点P纵坐标满足 y∈[-2，2]

∴当y=-3时，

PN

2的最大值为20，故•=

PN

2-1的最大值等于19．

解（I）已知双曲线实半轴a1=4，虚半轴b1=2，半焦距c1==6，

∴椭圆的长半轴a2=c1=6，椭圆的半焦距c2=a1=4，椭圆的短半轴b2==，

∴所求的椭圆方程为+=1

（II）由已知A（-6，0），F（4，0），

设点P的坐标为（x，y），则=(x+6，y)，=(x-4，y)，由已知得

则2x2+9x-18=0，解之得x=或x=-6，

由于y＞0，所以只能取x=，于是y=，所以点P的坐标为(，)（9分）

（Ⅲ）直线AP：x-y+6=0，设点M是（m，0），则点M到直线AP的距离是，于是=|m-6|，

又∵点M在椭圆的长轴上，即-6≤m≤6∴m=2

∴当m=2时，椭圆上的点到M（2，0）的距离d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-=(x-)2+15

又-6≤x≤6∴当x=时，d取最小值