热门试卷

（1）圆C方程化为：（x-2）2+（y+）2=6，圆心C（2，-），半径r=

设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），则⇒

所以所求的椭圆的方程是：+=1．

（2）由（1）得到椭圆的左右焦点分别是F1（-2，0），F2（2，0），

|F2C|==＜

∴F2在C内，故过F2没有圆C的切线，设l的方程为y=k（x+2），即kx-y+2k=0

点C（2，-）到直线l的距离为d=，由d=得=

解得：k=或k=-，故l的方程为x-5y+2=0或x+y+2=0

由e==，得=，从而a2=2b2，c=b

设椭圆方程为x2+2y2=2b2，A（x1，y1），B（x2，y2）在椭圆上

则x12+2y12=2b2，x22+2y22=2b2，两式相减得，（x12-x22）+2（y12-y22）=0，=-

设AB中点为（x0，y0），则kAB=-，又（x0，y0）在直线y=x上，y0=x0，于是-=-1，kAB=-1，则l的方程为y=-x+1．

右焦点（b，0）关于l的对称点设为（x′，y′），则解得

由点（1，1-b）在椭圆上，得1+2（1-b）2=2b2，b2=，a2=

∴所求椭圆C的方程为+=1，

l的方程为y=-x+1．

（1）由题意得解得a2=4，b2=1，

∴椭圆E方程为：+y2=1．

直线l的方程为y=kx+2，其一个法向量=(k，-1)，设点B的坐标为B（x0，y0），由=(x0，y0-2)及|•|=||得|kx0-y0+2|=，

∴B（x0，y0）到直线y=kx+2的距离为d==1．

（2）由（1）知，点B是椭圆E上到直线l的距离为1的点，即与直线l的距离为1的二条平行线与椭圆E恰好有三个交点．

设与直线l平行的直线方程为y=kx+t

由得x2+4（kx+t）2=4，即（1+4k2）x2+8ktx+4t2-4=0△=64k2t2-4（1+4k2）（4t2-4）=16（1+4k2-t2）①

当△=0时，k2=②

又由两平行线间的距离为1，可得=1③

把②代入③得(t-2)2=1+，即3t2-16t+13=0，（3t-13）（t-1）=0

解得t=1，或t=

当t=1时，代入②得k=0，与已知k＞0不符，不合题意；

当t=时，代入②得k=，代回③得t=或t=

当k=，t=时，由①知△＞0

此时两平行线y=x+和y=x+，与椭圆E有三个交点，

∴k=．

（1）α=0时，表示两条平行的直线，方程为y=±1； 2分

（2）α∈(0，)时，0＜sinα＜cosα，表示焦点在x轴上的椭圆；2分

（3）α=时，sinα=cosα=，表示圆；2分

（4）α∈(，)时，sinα＞cosα＞0，表示焦点在y轴上的椭圆；2分

（5）α=时，表示两条平行的直线，方程为x=±1；2分

（6）α∈(，π)时，sinα＞0，cosα＜0，表示焦点在x轴上的双曲线；2分

（7）α=π时，sinα=0，cosα=-1，不表示任何曲线．2分．

（1）由题意可知解得

所以椭圆C1的方程是+=1．

（2）∵|MP|=|MF2|，∴动点M到定直线l1：x=-1的距离等于它到定点F2（1，0）的距离，

∴动点M的轨迹C2是以l1为准线，F2为焦点的抛物线，

所以点M的轨迹C2的方程y2=4x．

（3）∵以OS为直径的圆C2相交于点R，∴以∠ORS=90°，即•=0．

设S （x1，y1），R（x2，y2），=(x2-x1，y2-y1)，=(x2，y2)．

∴•=x2（x2-x1）+y2（y2-y1）=+y2(y2-y1)=0，

∵y1≠y2，y2≠0，化简得y1=-(y2+)，

∴=++32≥2+32=64，

当且仅当=，即=16，y2=±4时等号成立．

圆的直径|OS|====，

∵≥64，∴当=64，y1=±8，|OS|min=8，

所以所求圆的面积的最小时，点S的坐标为（16，±8）．

（1）根据椭圆的定义，知 a=2，c=，则b==1． …（2分）

所以动点M的轨迹方程为+y2=1． …（4分）

（2）当直线l 的斜率不存在时，不满足题意．

当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx-2，设C（x1，y1），D（x2，y2），∵•=0，∴x1x2+y1y2=0，∵y1=kx1-2，y2=kx2-2，∴y1y2=k2x1x2-2k（x1+x2）+4，

∴（1+k2）x1x2-2k（x1+x2）+4=0．①

由方程组

得（1+4k2）x2-16kx+12=0．

则x1+x2=，x1x2=，

代入①，得(1+k2)•-2k•+4=0，

即k2=4，解得k=2或k=-2，

∴直线l的方程是y=2x-2或y=-2x-2．

由长轴长为12，得a=6，由离心率为，得=，解得c=3，所以b2=a2-c2=36-27=9，

所以椭圆方程为：+=1，

设A（x1，y1），B（x1，y1），由，消掉y得（1+4k2）x2-32kx+28=0，则x1+x2=，x1x2=，

△=（32k）2-4×28（1+4k2）=16（36k2-7），

|AB|=|x1-x2|=•=•==．

解得k=±，经验证△＞0成立，

故直线斜率为：k=±．

（I）由题意2a=4，a=2

∵点(1，)在该椭圆上，∴+=1  解可得，b2=1

∴所求的椭圆的方程为+y2=1

（II）由（I）知c2=a2-b2=3∴c=，椭圆的右焦点为（，0）

因为AB为直径的圆过原点，所以•=0

若直线的斜率不存在，则直线AB的方程为x=交椭圆于(，)，(，-)两点

•=≠0不合题意

若直线的斜率存在，设斜率为k，则直线AB的方程为y=k(x-)

由可得(1+4k2)x2-8k2x+12k2-4=0

由直线AB过椭圆的右焦点可知△＞0

设A（x1，y1）B（x2，y2）

则x1+x2=   x1 x2=

又y1y2=k2(x1-)(x2-)=k2[x1x2-(x1+x2)+3]=

由•=x1x2+y1y2=+==0可得k=±

所以直线l的方程为y=±(x-)

（1）∵椭圆经过点（2，-3），∴+=1，

又 e==，解得：a2=16，b2 =12，所以，椭圆方程为+=1．

（2）显然M在椭圆内，设A（x1，y1），B（x2，y2）是以M为中点的弦的两个端点，

则 +=1，+=1，相减得：+=0，

整理得：k=-=，∴弦所在直线的方程  y-2=（x+1），即：3x-8y+19=0．

（1）由题意知，2c=8，c=4，

∴b=3，

从而a2=b2+c2=25，

∴方程是+=1…（4分）

（2）由直线l的方程与椭圆的方程可以知道，直线l与椭圆不相交

设直线m平行于直线l，则直线m的方程可以写成4x-5y+k=0（1）

由方程组

消去y，得25x2+8kx+k2-225=0（2）

令方程（2）的根的判别式△=0，得64k2-4×25（k2-225）=0（3）

解方程（3）得k1=25或k2=-25，

∴当k1=25时，直线m与椭圆交点到直线l的距离最近，此时直线m的方程为4x-5y+25=0

直线m与直线l间的距离d==

所以，最小距离是．…（8分）

（1）由题意，设椭圆C：+=1（a＞b＞0），则2a=4，a=2．

∵点（2，1）在椭圆+=1上，

∴+=1，解得b=，

∴所求椭圆的方程为+=1．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）（y1＜0，y2＞0），点F的坐标为F（3，0），

由=3，得3-x1=3（x2-3），-y1=3y2，即x1=-3x2+12，y1=-3y2①．

又A、B在椭圆C上，

∴+=1，+=1，

解得x2=，y2=，

∴B（，），代入①得A（2，-）．

设过O、A、B三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，

则将O、A、B三点的坐标代入得

F=0，6+2D-E+F=0，+D+E+F=0，

解得D=-，E=-，F=0，

故过O、A、B三点的圆的方程为x2+y2-x-y=0．

（Ⅰ）由题意得 ，又a＞b＞0，解得  a2=5，b2=4．

因此所求椭圆的标准方程为    +=1．

（Ⅱ）（1）假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y=kx（k≠0），A（xA，yA）．

解方程组得=，=，

所以|OA|2=+=+=．

设M（x，y），由题意知|MO|=λ|OA|（λ≠0），

所以|MO|2=λ2|OA|2，即x2+y2=λ2，

因为l是AB的垂直平分线，所以直线l的方程为y=-x，即k=-，

因此x2+y2=λ2=λ2，

又x2+y2≠0，所以5x2+4y2=20λ2，故+=λ2．

又当k=0或不存在时，上式仍然成立．

综上所述，M的轨迹方程为+=λ2(λ≠0)．

（2）当k存在且k≠0时，由（1）得=，=，

由

解得=，=，

所以|OA|2=+=，|AB|2=4|OA|2=，|OM|2=．

由于=|AB|2•|OM|2=××=≥==()2，

当且仅当4+5k2=5+4k2时等号成立，即k=±1时等号成立，

此时△AMB面积的最小值是S△AMB=．

当k=0，S△AMB=×2×2=2＞．

当k不存在时，S△AMB=××4=2＞．

综上所述，△AMB的面积的最小值为．

（Ⅰ）∵A1、A2是双曲线的左、右顶点，∴A1（-2，0）A2（2，0）

∵MN是双曲线-=1的弦，且MN与x轴垂直，∴设M（x0，y0），则N（x0，-y0）

则直线MA1和NA2的方程分别为y=（x+2），y=（x-2）

联立两方程，解x0，y0，得 ，∵M（x0，y0）在双曲线上，代入双曲线方程，得

+=1，即直线MA1和NA2的交点的轨迹C的方程为+=1

（Ⅱ）联立得7x2-8x-8=0

由韦达定理得x1+x2=，x1x2=

A，B，P三点在+=1上，

知3x12+4y12=12，3x22+4y22=12，

∵=λ+μ，∴P点坐标为（λ2x12+2λμx1x2+μ2x22，λ2y12+2λμy1y2+μ2y22）

∴3（λ2x12+2λμx1x2+μ2x22）+4（λ2y12+2λμy1y2+μ2y22）=12

又3x1x2+4y1y2=7x1x2-4(x1+x2)+4=-

∴λ2+μ2-λμ=1

∴λ2+μ2-λμ为定值，且定制为1．

（Ⅰ）由题意知：e==，a-c=1，a2=b2+c2，解得a=2，b2=3．

故椭圆的方程为+=1．

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），

（1）若l⊥x轴，可设H（x0，0），因OA⊥OB，则A（x0，±x0）．由+=1，得=，即H(±，0)．

若l⊥y轴，可设H（0，y0），同理可得H(0，±)．

（2）当直线l的斜率存在且不为0时，设l：y=kx+m，

由，消去y得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0．

则x1+x2=-，x1x2=．y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=．由OA⊥OB，知x1x2+y1y2=0．故 +=0，即7m2=12（k2+1）（记为①）．

由OH⊥AB，可知直线OH的方程为y=-x．联立方程组，得 （记为②）．将②代入①，化简得x2+y2=．综合（1）、（2），可知点H的轨迹方程为x2+y2=．