热门试卷

（Ⅰ）由题意有 +=1，e==，a2-b2=c2，

解得a=，b=c=，

所以椭圆方程为+=1…（6分）

（Ⅱ）由直线MN过点B且与椭圆有两交点，可设直线MN方程为y=k（x-3），

代入椭圆方程整理得（2k2+1）x2-12k2x+18k2-6=0…（8分）

△=24-24k2＞0，得k2＜1

设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=

∴|MN|====

解得k=±，所求直线方程为y=±(x-3)…（14分）

（Ⅰ）设椭圆C的半焦距是c．依题意，得 c=1．

因为椭圆C的离心率e==，

所以a=2，c=2，b2=a2-c2=3．

故椭圆C的方程为 +=1．

（Ⅱ）当MN⊥x轴时，显然y0=0．

当MN与x轴不垂直时，可设直线MN的方程为y=k（x-1）（k≠0）．

由 消去y整理得 （3+4k2）x2-8k2x+4（k2-3）=0．

设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点为Q（x3，y3），

则 x1+x2=．

所以 x3==，y3=k(x3-1)=．

线段MN的垂直平分线方程为y+=-(x-)．

在上述方程中令x=0，得y0==．

当k＜0时，+4k≤-4；当k＞0时，+4k≥4．

所以-≤y0＜0，或0＜y0≤．

综上：y0的取值范围是[-，]．

（1）设椭圆C的方程为：+=1(a＞b＞0)，

由题意知，2a=6，c=2，∴a=3，b2=a2-c2=9-8=1，

椭圆C的标准方程为：+y2=1；

（2）由，得10x2+36x+27=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-=-，

∴线段AB中点横坐标为-，代入方程y=x+2得y=-+2=，

故线段AB中点的坐标为（-，）．

（1）由题设知F1（-，0），F2（，0），其中a＞

由于•=0，则有⊥，所以点A的坐标为（，±）

故AF1所在直线方程为y=±（+），所以坐标原点O到直线AF1的距离为，

又|OF1|=，所以=|=，解得：a=2．

∴所求椭圆的方程为+=1．

（2）由题意可知直线l的斜率存在，设直线斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+1），故M（0，k）．

设Q（x1，y1），由于Q，F，三点共线，且|MQ|=|2QF|．

根据题意得（x1，y1-k）=±2（x1+1，y1），解得或

又Q在椭圆C上，故+=1或+=1，

解得k=0，k=±4，综上，直线的斜率为0或±4

（Ⅰ）∵=，∴=，-----------------------------------------------------（2分）

依题意设椭圆方程为：+=1

把点（4，1）代入，得b2=5

∴椭圆方程为+=1---------------------------------------------------（4分）

（Ⅱ）把y=x+m代入椭圆方程得：5x2+8mx+4m2-20=0，

由△＞0可得64m2-20（4m2-20）＞0

∴-5＜m＜5---------------------------------------------------（6分）

（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=，-----------------------（8分）

∴kMA+kMB=+==0，

∴kMA+kMB为定值0．------------------（12分）

（Ⅰ）抛物线y2=4x的焦点右焦点F2（1，0），左焦点F1（-1，0）∴c=1∵P（1，）2a=PF1+PF2=+=+=4∴a=2∴b2=3

所求椭圆方程为+=1

（Ⅱ）a=1，c=2则b2=3所求双曲线的方程为x2-=1

（Ⅰ）设A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），

则由得：（a2+b2）x2-2a2x+a2-a2b2=0，

由根与系数的关系，得x1+x2=，y1+y2=-(x1+x2)+2=，

且判别式△=4a2b2（a2+b2-1）＞0，即a2+b2-1＞0（*）；

∴线段AB的中点坐标为（，）．

由已知得-=0，

∴a2=2b2=2（a2-c2），∴a2=2c2；故椭圆的离心率为e=．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知b=c，从而椭圆的右焦点坐标为F（b，0），

设F（b，0）关于直线l：x-2y=0的对称点为（x0，y0），

则•=-1且-2×=0，

解得x0=b且y0=b．

由已知得 x02+y02=4，∴(b)2+(b)2=4，

∴b2=4，代入（Ⅰ）中（*）满足条件

故所求的椭圆方程为+=1．

（1）设椭圆长半轴长及半焦距分别为a、c，

由已知得，解得a=4，c=3，

所以椭圆C的方程为+=1．

（2）设M（x，y），其中x∈[-4，4]．

由已知=λ2及点P在椭圆C上，可得=λ2，

整理得（16λ2-9）x2+16λ2y2=112，其中x∈[-4，4]．

①λ=时，化简得9y2=112．

所以点M的轨迹方程为y=±（-4≤x≤4），轨迹是两条平行于x轴的线段．

②λ≠时，方程变形为+=1，

其中x∈[-4，4]；

当0＜λ＜时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足-4≤x≤4的部分；

当＜λ＜1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足-4≤x≤4的部分；

当λ≥1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆．

根据题意：双曲线x2-=1的焦点坐标为（-2，0），（2，0），顶点坐标为（-1，0），（1，0）

∵椭圆C以双曲线x2-=1的焦点为顶点，以双曲线的顶点为焦点．

∴椭圆的顶点为（-2，0），（2，0），焦点坐标为2，（-1，0），（1，0）

∴a=2，b=3

∴椭圆的方程是：+=1

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2） 联立y=kx+m，+=1

整理得：（3+4k2）x2+8mkx+4m2-12=0

△=64m2k2-4（4k2+3）（4m2-12）＞0

解得：m2＜4k2+3 ①

由韦达定理：x1+x2=-8mk/（3+4k2）．x1x2=（4m2-12）/（3+4k2）

所以y1y2=k2x1x2+mk（x1+x2）+m2=（3m2-12k2）/（3+4k2）

因为以MV为直径的圆过椭圆C的右顶点A（2，0）

所以•=0

∴7m2+16mk+4k2=0

解得：m1=-2k/7，m2=-2k

经检验，当m=-2k/7或m=-2k时，①式均成立

而当m=-2k时，直线l：y=k（x-2），过右顶点，不合题意所以m=-2k/7，

∴直线l：y=k（x-2/7）．过定点（2/7，0）

（1）直线AB方程为bx-ay-ab=0，

依题意可得：，

解得：a2=3，b=1，

∴椭圆的方程为+y2=1．

（2）假设存在这样的值．

，

得（1+3k2）x2+12kx+9=0，

∴△=（12k）2-36（1+3k2）＞0…①，

设C（x1，y1），D（x2，y2），

则…②

而y1•y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4，

要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），

当且仅当CE⊥DE时，

则y1x1+y2x2+1=-1，

即y1y2+（x1+1）（x2+1）=0，

∴（k2+1）x1x2+（2k+1）（x1+x1）+5=0…③

将②代入③整理得k=，

经验证k=使得①成立综上可知，存在k=使得以CD为直径的圆过点E．

（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，

△AF1F2为正三角形且周长为6，

∴，解得c=1，a=2，b2=4-1=3，

∴椭圆C的标准方程为+=1．

（2）设直线AB的方程为y=-x+p，设A（x1，y1）B（x2，y2）

由 ，得7x2-8px+4p2-12=0

∵△=64p2-28（4p2-12）＞0，

∴-＜n＜

∵x1+x2=，x1x2=，

设A．B的中点C（x0，y0），

则 x0=，y0=p，

点C在l：y=-x+p上

∴p=3m，即-＜3m＜，得-＜m＜．

∴实数m的取值范围是（-，）．

（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），

联立，得：（3+4k2）x2+8kmx+4（m2-3）=0，

∵△＞0，∴3+4k2-m2＞0，

x1+x2=-，x1x2=，

∴y1y2=，

∵以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，∴kAD•kBD=-1，

∴y1y2+x1x2-2（x1+x2）+4=0，∴7m2+16mk+4k2=0，

∴m1=-2k，m2=-k，且均满足3+4k2-m2＞0，

当m1=-2k时，l的方程为y=k（x-2），则直线过定点（2，0）与已知矛盾

当m1=-时，l的方程为y=k（x-），则直线过定点（ ，0）

∴直线l过定点，定点坐标为（，0）．

（1）设椭圆C的方程为+=1 (a＞b＞0)，

则由已知得：c=， =

∴b2=1，a2=b2+c2=4

∴+y2=1为所求．

（2）由椭圆方程知：e=，设A（x1，y1），B（x2，y2）

则|AF2|=a-ex1=2-x1，

|BF2|=a-ex2=2-x2，

由3|AF2|=|BF2|

得3(2-x1)=2-x2，

∴3x1-x2=    ①

又F2分所成的比λ=3

∴=，即3x1+x2=4   ②

由①，②得：x1=，x2=，

∴B(，-)

∴ℓ：y=(x-)

即x-y-=0．

（Ⅰ）依题意得解之得从而b=．

∴椭圆方程为+=1．                                          …（4分）

（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x-m），

联立方程得消去y得（3+4k2）x2-8mk2x+4k2m2-12=0，…（6分）

∵△=64m2k4-16（k2m2-3）（3+4k2）=48k2（4-m2）+144＞0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），N（n，0），

则x1+x2=，x1x2=，（*）

因为直线NA与NB的倾斜角互补等价于kNA+kNB=0，…（8分）

所以+=0，即+=0，…（9分）

即2x1x2-（m+n）（x1+x2）+2mn=0，

将（*）式代入上式得-+2mn=0，

整理得mn=4，∵m≠0，∴n=，所以，N点存在，且坐标为(，0)，

因此，存在点N(，0)使得直线NA与NB的倾斜角互补．      …（12分）

（1）由已知得椭圆的半长轴a=2，

半焦距c=，

则半短轴b=1．…（3分）

又椭圆的焦点在x轴上，

∴椭圆的标准方程为+y2=1，…（5分）

（2）设线段PQ的中点为M（x，y），

点P的坐标是（x0，y0），

那么：，即…（9分）

由点P在椭圆上，得+(2y)2=1，…（10分）

∴线段PQ中点M的轨迹方程是+4y2=1．…（12分）