热门试卷

（1）由已知得F（0，1），设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），则b=1

∵椭圆的离心率为e=，∴=，

∵a2=b2+c2，∴a2=2，c=1

∴椭圆方程为+y2=1；

（2）由题意知l的斜率存在且不为零，设l方程为y=mx-2（m≠0）①，代入+y2=1，

整理得（2m2+1）x2-8mx+6=0，由△＞0得m2＞．

设E（x1，y1），F（x2，y2），则x1+x2=，x1x2= ②

∵△OBE与△OBF面积之比为λ

∴=λ，∴=λ

∴x2=λx1．

代入②得，消去x1得=×，

∵m2＞．

∴0＜＜

∴4＜＜

∴＜λ＜3且λ≠1

（Ⅰ）由题意，，所以a=3，b=，所以椭圆Γ的方程为+=1；

（Ⅱ）∵K=1，F（-2，0），∴设直线方程为y=x+2，A（x1，y1），B（x2，y2）

联立方程组，整理得14x2+36x-9=0，x1+x2=-，x1x2=-，

∴|AB|=|x1-x2|=•=，

设O点到直线AB的距离为d，则d==．

∴S△AOB=d•|AB|=××=．

（I）由得x2+（2b-4）x+b2=0

直线y=x+b是抛物线C2：y2=4x的一条切线．

所以△=0⇒b=1e==⇒a=

所以椭圆C1：+y2=1（5分）

（Ⅱ）当直线l与x轴平行时，以AB为直径的圆方程为x2+(y+)2=()2

当直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆方程为x2+y2=1

所以两圆的切点为点（0，1）（8分）

所求的点T为点（0，1），证明如下．

当直线l与x轴垂直时，以AB为直径的圆过点（0，1）

当直线l与x轴不垂直时，可设直线l为：y=kx-

由  得（18k2+9）x2-12kx-16=0

设A（x1，y1），B（x2，y2）则•=x1x2-(x1+x2)+=(1+k2)-×+=0

所以⊥，即以AB为直径的圆过点（0，1）

所以存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T（13分）

由已知，a2=12，b2=8，∴c2=4．                              （2分）

设所求方程为+=1，因为过P（1，）

所以9n2+40m2=9m2n2．                                         （4分）

即9（m2-4）+40m2=9m2（m2-4），解得m2=9或m2=（舍），

∴+=1为所求方程．                                            （6分）

（1）设所求椭圆方程为+=1，

由已知条件得b=4             …（4分）

（2）∵b=4，=，a2=b2+c2

∴a2=25

∴所求椭圆方程为+=1…（10分）

椭圆9x2+4y2=36化为标准方程+=1，则焦点在y轴上，且c2=9-4=5，

又因为2b=4，则b2=20，a2=b2+c2=25，

故所求椭圆的标准方程为+=1．

故答案为+=1．

（1）根据题意知a=4，b=1，

焦点在x轴上，

∴a2=16  b2=1

∴+y 2=1

故椭圆的标准方程为：+y 2=1．

（2）已知双曲线中心在原点，顶点在x轴上，两顶点间的距离是8，

则焦点在x轴上，且a=4，

e=，即c：a=5：4，

解得c=5，b=3，

则双曲线的标准方程是 -=1．

离心率为，设椭圆的标准方程是+=1，它的参数方程为，（θ是参数）

∴2x+y=4ccosθ+3csinθ=5csin（θ+φ）的最大值是5c，

依题意，5c=10，c=2，

∴椭圆的标准方程是+=1．

（Ⅰ）由直线PQ斜率为1，可设直线l的方程为y=x+c，其中c=．…（2分）

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则两点坐标满足方程组

消去y，整理得（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2-b2）=0，

可得：

∵|PQ|=a，∴|x1-x2|=a

由此可得|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=(a)2

即（）2-4（）2=．…（6分）

整理，得a2=2b2，a=b

∴椭圆的离心率e===．…（8分）

（Ⅱ）设PQ 中点为N（x0，y0），由（1）知

x0===-，y0=x0+c=c．

由|MP|=|MQ|，得MN与直线y=x+c垂直，所以MN的斜率k=-1．…（10分）

∴=-1，即=-1，解得c=3，从而a=3，b=3．

因此，椭圆的方程为+=1…（12分）

∵B（-3，0）、C（3，0），△ABC的三边AC、BC、AB的长成等差数列，

∴|AC|+|AB|=2|BC|=12＞|BC|，

根据椭圆的定义，可得顶点A的轨迹是以B、C为焦点，长轴长等于12的椭圆（长轴端点除外）．

∵2a=12，2c=12，

∴a=6，c=3，可得b2=a2-c2=27．

因此，顶点A的轨迹方程为+=1（x≠±6）．

（I）由题意得c=，a+c=+

∴a=，∴b2=a2-c2=1

∴椭圆的方程为+y2=1；

（II）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=±，代入椭圆方程，可得y=±，此时|AB|=，△AOB的面积为S=|AB|×=，不符合题意；

当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），

∵直线l与圆x2+y2=相切，∴=，即m2=(k2+1)

直线与椭圆方程联立，消去y可得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0

∴x1+x2=，x1x2=

∴|AB|=×=×

∴×××=，∴k=±

即直线l的斜率为±．

（1）依题意，得  c=1．于是，a=，b=1．     …（2分）

所以所求椭圆的方程为+y2=1． …（4分）

（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），

则+=1①，+=1②．

又设M（x，y），因=cosθ+sinθ，故…（7分）

因M在椭圆上，故+(y1cosθ+y2sinθ)2=1．

整理得(+)cos2θ+(+)sin2θ+2(+y1y2)cosθsinθ=1．

将①②代入上式，并注意cosθsinθ≠0，得  +y1y2=0．

所以，kOAkOB==-为定值． …（10分）

（ii）(y1y2)2=(-)2=•=(1-)(1-)=1-(+)+，故y12+y22=1．

又(+)+(+)=2，故x12+x22=2．

所以，OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=3．  …（16分）

（Ⅰ）设椭圆C的方程为mx2+ny2=1（m＞0．n＞0）

由椭圆C过点过（0，1），（1，）得：，解得

∴椭圆C的方程为+y2=1

（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），由消去y整理得27x2-12x-16=0，

由韦达定理得

由|+|=|-|两边平方整理可得•=0，故只需证明•=0

•=x1x2+（y1-1）（y2-1）=x1x2+y1y2+（y1+y2）+1

而y1y2=(x1-)(x2-)=x1x2-(x1+x2)+y1+y2=x1-+x2-=x1+x2-

∴•=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1=2x1x2-(x1+x2)+=--+=0

故|+|=|-|恒成立