热门试卷

（Ⅰ）由题意，2c=2得c=1，…（1分），F1（-1，0），F2（1，0）

∵椭圆+=1（a＞b＞0）经过点M（，），

∴|MF1|+|MF2|=2a，∴a=3…（3分），

∴b2=a2-c2=8

∴所求椭圆标准方程为+=1…（5分）  

（Ⅱ）A1（-3，0），A2（3，0），设P1（x1，y1），P2（x2，-y2），（x1≠0，|x1|＜3）

A1P1的方程：=…①，A2P2的方程：=…②…（7分）

①×②得=…③，

因为点P1（x1，y1）在椭圆+=1上，

所以+=1即=代入③得-=1，

又P1（x1，y1），P2（x2，-y2）是椭圆上非顶点，知x≠±3，所以点E（x，y）的轨迹方程-=1（x≠±3）

（1）设动圆圆心为M（x，y），半径为r，则  ⇒ |MC1|+|MC2| =4．…（3分）

故动点M的轨迹是椭圆，a=2 ， c=1 ， b=，其方程为+=1．…（5分）

（2）显然点P在以线段C1C2为直径的圆上，x02+y02=1．…（7分）

设，则|PE| ===，

故所求最大值为=+1．（也可数形结合，求得|PE|max = |EO|+1=+1．）…（10分）

（3）当AC⊥x轴或BD⊥x轴时，S=|BD|•|AC| =•4•3=6．…（11分）

当AC、BD均不垂直于x轴时，联立⇒( 3+4k2) x2+8k2x+4k2-12=0，…（12分）|BD| =•|x1-x2| =•=，同理可得|AC| =．…（14分）S=|BD|•|AC| =≥=，当且仅当k2=1时，Smin=．（15分）

又6＞，∴四边形ABCD面积的最小值为．…（16分）

（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的两准线间距离为6，离心率e=，

∴，∴a=，c=1，∴b==

∴所求椭圆方程为+=1…（6分）

（2）设Q的坐标为（x，y），H（3，y0），∴y=y0．

∵=λ(λ＞0)，∴3-x0=λ（x-3），∴x0=3λ+3-λx…（9分）

又∵+=1，∴+=1，即+=1…（12分）

∴当且仅当=2，即λ=时，点Q在定圆(x-3-)2+y2=2上．…（15分）

（1）由已知得双曲线焦点坐标为F1（-2，0），F2（2，0），

由椭圆的定义得|AF1|+|AF2|=2a，∴+=2a，∴a=3

而c2=4，∴b2=a2-c2=18-4=14

∴所求椭圆方程为+=1

（2）设M（x，y），P（x0，y0），由=得（x，y-2）=（x0-x，y0-y）

∴而P（x0，y0）在椭圆+=1上

即+=1

即+=1为所求M的轨迹方程．

（1）由题意，可得a=2，e==，可得c=，-----------------（2分）

∴b2=a2-c2=1，

因此，椭圆的方程为+y2=1．-----------------（4分）

（2）设C（x，y），P（x0，y0），由题意得，即，-----------------（6分）

又+y02=1，代入得+(y)2=1，即x2+y2=4．

即动点C的轨迹E的方程为x2+y2=4．-----------------（8分）

（3）设C（m，n），点R的坐标为（2，t），

∵A、C、R三点共线，∴∥，

而=（m+2，n），=（4，t），则4n=t（m+2），

∴t=，可得点R的坐标为（2，），点D的坐标为（2，），-----------------（10分）

∴直线CD的斜率为k==，

而m2+n2=4，∴-n2=m2-4，代入上式可得k==-，-----------------（12分）

∴直线CD的方程为y-n=-（x-m），化简得mx+ny-4=0，

∴圆心O到直线CD的距离d===2=r，

因此，直线CD与圆O相切，即CD与曲线E相切．-----------------（14分）

（1）∵F1（-1，0），F2（1，0），

∴|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4．

因此，曲线E表示以F1、F2为焦点，长轴2a=4的椭圆，c=1，b2=a2-c2=3

∴曲线E的方程为+=1

（2）∵△F2F1P中，∠F2F1P=120°，F1F2=2

∴根据余弦定理，得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1||F1F2|cos120°，

化简得|PF1|2-|PF2|2+2|PF1|+4=0…①

又∵|PF1|+|PF2|=4，得∴②代入①，得|PF1|=

根据正弦定理，可得△F2F1P的面积S=|PF1||F1F2|sin120°=．

（1）由题意设椭圆方程为+=1（m＞n＞0，m-n=9），A（x1，y1），B（x2，y2），则

+=1①，+=1②

①-②，可得=-

因为线段AB中点M(1，)，所以x1+x2=2，y1+y2=2

所以=KAB=

所以m=4n，

因为m-n=9，所以m=12，n=3

所以椭圆的方程为+=1（ 6分）

（2）由+=1，x+2y=2，消元可得y2-y-1=0，则：A(1-，)

因为•=0，所以动点N的轨迹是以M为圆心，|AB|为直径的圆

所以r2=|AM|2=()2+(-)2=，M(1，)

所以N的轨迹方程为(x-1)2+(x-)2=（6分）

（1）依题意知，c=1，a：b=t，即a=bt

∵a2-b2=1

∴b2=，a2=

故椭圆方程为+=1

（2）设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q（x1，y1），P（x，y），

则，解得

∵OP||OQ|=|x||x1|=tt2-1

∴或

而t＞1，于是点P的轨迹方程为：

x2=y(x＞)，x2=-y(x＜-)，

点P的轨迹为抛物线x2=y在直线x=右侧的部分和抛物线x2=-y在直线x=-左侧的部分．

（1）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0）．

由题设有c=1，=4，

∴a2=4

∴b2=a2-c2=3．

所求椭圆方程为+=1．

（2）由题设知，点P在以A1、A2为焦点，实轴长为2的双曲线的右支上．

由（1）知A1（-2，0），A2（2，0），

设双曲线方程为-=1（m＞0，n＞0）．

则2m=2，m2+n2=4，

解得m=1，n=．

∴双曲线方程为x2-=1．

由+=1，x2-=1，

解得P点的坐标为（，）或（，-）．

当P点坐标为（，）时，tan∠A1PA2==-4．

同理当P点坐标为（，-）时，

tan∠A1PA2=-4．

故tan∠A1PA2=-4．

（3）由题设知，抛物线方程为y2=8x．

设M（x1，y1）、N（x2，y2），MN的中点Q（x，y），

当x1≠x2时，有

y12=8x1，①

y22=8x2，②

x=，③

y=，④=．⑤

①-②，得（y1+y2）=8，

将④⑤代入上式，有•2y=8，

即y2=4（x-1）（x≠1）．

当x1=x2时，MN的中点为（1，0），仍满足上式．

故所求点Q的轨迹方程为y2=4（x-1）．

（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，-)，(0，)为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴b==1，

故曲线C的方程为x2+=1．（3分）

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足

消去y并整理得（k2+4）x2+2kx-3=0，

故x1+x2=-，x1x2=-．（5分）

若⊥，即x1x2+y1y2=0．

而y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+1，

于是x1x2+y1y2=---+1=0，

化简得-4k2+1=0，所以k=±．（8分）

（Ⅲ）因为A（x1，y1）在椭圆上，所以满足y2=4（1-x2），y12=4（1-x12），

|OA|

2-

|OB|

2=+-(+)=（x12-x22）+4（1-x12-1+x22）=-3（x1-x2）（x1+x2）=．

因为A在第一象限，故x1＞0．由x1x2=-知x2＜0，从而x1-x2＞0．又k＞0，

故

|OA|

2-

|OB|

2＞0，

即在题设条件下，恒有＞．（12分）

（I）由已知可设椭圆的方程为：+=1（a＞b＞0），…（2分）

由条件知c=1，e==，

解得a=2，…（4分）

所以b2=a2-c2=3．…（5分）

所以椭圆的标准方程方程为+=1…（6分）

（Ⅱ）因为点P在椭圆+=1上，

 所以|PF1|+|PF2|=2a=4；…（8分）

又因为|PF1|-|PF2|=1，解得|PF1|=，|PF2|=，…（10分）

在△ABC中，cos∠F1PF2===，

所以∠F1PF2的余弦值为．    …（12分）

（1）当m＞n时，由椭圆定义得 2m=4，∴m=2（2分）

又点A（1，）在椭圆上  所以+=1， ∴ n2=3

∴+=1 （3分）

同理，当m＜n时，椭圆方程+=1 （4分）

（2）当m＞n时，由椭圆定义得 PF1+PF2=2m，PF12+PF22=4

解得  PF1PF2=6             （8分）

所以△PF1F2的面积为3

同理，当m＜n时，△PF1F2的面积也为3   （10分）

（3）设M，N是双曲线-=1（a＞0，b＞0）上关于原点对称的两点，点Q是椭圆上任意一点，且直线QM与直线QN的斜率都存在，分别记为KQM，KQN，那么KQM，KQN之积是与点Q位置无关的定值．

设点M（x1，y1），N（-x1，-y1）．Q（x0，y0）

则-=1，-=1

作差得=（12分）

所以KQMKQN=（14分）

设M，N是二次曲线mx2+ny2=1上关于原点对称的两点，点Q是二次曲线上任意一点，且直线QM与直线QN的斜率都存在，分别记为KQM，KQN，

那么KQMKQN=-     （15分）

证明  设点点M（x1，y1），N（-x1，-y1）．Q（x0，y0）

则mx12+ny12=1，mx02+ny02=1

作差得=-∴KQMKQN=-  （18分）