热门试卷

（1）由题知|EA|=|EB|

∴|EA|+|EC|=|EB|+|EC|=4

又∵|AC|=2＜4∴点E的轨迹是以A，C为焦点，长轴长为4的椭圆，

∴E的轨迹方程为+y2=1

（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为（x0，y0）

将直线y=kx+m与+y2=1

联立得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0△=16（4k2+1-m2）＞0，即4k2+1＞m2①

又x0==，y0==

依题意有=-，

整理得3km=4k2+1②

由①②可得k2＞，∵m＞0，∴k＞0，∴k＞

设O到直线l的距离为d，则S△OPQ=d•|PQ|=••

==

当=时，△OPQ的面积取最大值1，

此时k=，m=，∴直线方程为y=x+

（1）椭圆C的焦点在x轴上，

由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2，

又点A(1，)在椭圆上，∴+=1，∴b2=3，∴c2=1，

所以椭圆C的方程为+=1，F1(-1，0)，F2(1，0)．…（6分）

（2）直线MN不与x轴垂直，设直线MN方程为y=kx+，

代入椭圆C的方程得（3+4k2）x2+12kx-3=0，

设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=-，且△＞0成立．

又=x1x2+y1y2=x1x2+（ kx1+）（kx2+）=--+=0，

∴16k2=5，k=±，

∴MN方程为y=±x+…（14分）

（I）由题意设椭圆的标准方程为+=1(a＞b＞0)，焦距为2c．

则，解得，∴椭圆的方程为+y2=1．

（II）由题意设直线AB的方程为x=my+n，代入椭圆方程x2+2y2=2，化为（m2+2）y2+2mny+n2-2=0，

则△=4m2n2-4（m2+2）（n2-2）=4（2m2+4-2n2）＞0，（*）

y1+y2=，y1y2=，

∴|AB|=

==．

原点O到直线AB的距离d=，

好∵|AB|d=好，

∴××=，化为=．（**）

另一方面，yE==，

∴xE=myE+n=+n=，即E(，)．

∵=t，∴P(，)．

代入椭圆方程得+()2=1，

化为n2t2=m2+2，代入（**）得=，化为3t4-16t2+16=0，解得t2=4或．

∵t＞0，∴t=2或．经验证满足（*）．

∴t=2或．

（1）由题设条件，设c=k，a=2k，则b=k，

∴椭圆方程为+=1，

把点（，）代入，得k2=1，

∴椭圆方程为+y2=1．

（2）①由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2-1）=0，

∴x1+x2 =-，x1x2=．

∵直线OP，OQ的斜率依次为k1，k2，

∴4k=k1+k2=+=+，

∴2kx1x2=m（x1+x2），由此解得m2=，验证△＞0成立．

②S△OPQ=|x1-x2| • |m|=，令=t＞1，

得S△OPQ==＜1，

∴S△OPQ∈（0，1）．

（I）∵b•2c=，a=2c，a2=b2+c2．

解得c2=1，b2=3，a2=4，

∴椭圆C的方程为：+=1

（Ⅱ）∵F1F2是圆的一条直径，∴圆的方程为x2+y2=1，

又P（x0，y0）是该圆在第一象限部分上的切线的切点，

∴kl•=-1，解得kl=-．

∴切线方程为y-y0=-(x-x0)，又+=1，

化为l：x0x+y0y-1=0．

∴切线方程为l：x0x+y0y-1=0．

（III）设A（x1，y1），B（x2，y2），则G(，)，H(，)．

若原点O在以线段GH为直径的圆内，则•＜0，即+＜0，即x1x2+y1y2＜0，

下面给出证明：联立，

消去x整理为(4+3)y2-6y0y+3-12=0，

∴y1+y2=，y1y2=，

∴x1x2=•==，

∴x1x2+y1y2==-＜0．

∴原点O在以线段GH为直径的圆内．

椭圆的两个焦点是F1（-1，0），F2（1，0），

∵P为椭圆上一点，F1F2是PF1与PF2的等差中项，

∴2a=PF1+PF2=2F1F2=4，a=2，c=1．

∴b2=a2-c2=3，故所求椭圆的方程为+=1．

答案：+=1

（Ⅰ）∵F（-c，0）在直线l：x-y+1=0上，

∴-c+1=0，即c=1，

又e==，∴a=2c=2，

∴b===．

从而椭圆E的方程为+=1．

（Ⅱ）由e==，得c=a，

∴b===，

椭圆E的方程为+=1，其左焦点为F(-a，0)，右顶点为A（a，0），

假设椭圆E上存在点P（x0，y0）（-a≤x0≤a），使得•=1，

∵点P（x0，y0）在椭圆上，∴y02=-x02+a2，

由•=(-a-x0，-y0)•(a-x0，-y0)

=(-a-x0)(a-x0)+y02

=-a2-ax0+x02-x02+a2

=(x0-a)2=1．

解得：x0=a±2，

∵0＜a＜1，∴

x0=a±2∉[-a，a]，

故不存在点P，使得•=1．

（ I）∵e==，

∴c=a，b=a，

又P（2，1）在椭圆上，代入椭圆方程，

得：+=1，

∴a2=8，b2=2，

椭圆方程为：+=1…（6分）

（ II）设直线AB的方程为：y=x+m，

与椭圆联列方程组得，，

代入得：2x2+4mx+4m2-8=0，…（8分）

∵△=16m2-8（4m2-8）＞0，

解得，-2＜m＜2

由韦达定理得：x1+x2=-2m，

x1x2=2m2-4|AB|=•=•=•

P到直线AB的距离：d=，…（12分）

S△PAB=•••=≤2

当4-m2=m2，

即m=±时，

S△PAB有最大值2     …（15分）

（1）对x2+y2-6y-4=0，令y=0，则x=±2．

所以，A（-2，0），a=2（2分）

又因为，e==，

所以，c=，（3分）

b2=a2-c2=1（4分）

所以，椭圆C的方程为：+y2=1．（5分）

（2）由图知△AFQ为等腰三角形a+c=AF=QF＞-c（7分）

所以，2c2+ac-a2＞0，2e2+e-1＞0，（2e-1）（e+1）＞0

又0＜e＜1，

所以＜e＜1，即椭圆离心率取值范围为(，1)．（10分）

（3）连PD交MN于H，连DM，则由圆的几何性质知：H为MN的中点，DM⊥PM，MN⊥PD．

所以，MN=2MH==

=2MD•

⊙D：x2+（y-3）2=13，MD=

所以，MN=2•（13分）

设P（x0，y0），则+y02=1且-1≤y0＜0

所以，PD2=x02+（y0-3）2=-3y02-6y02+13=-3（y0+1）2+16（-1≤y0＜0）

所以，13＜PD2≤16（15分）

所以，O＜MN≤．（16分）

（1）设所求椭圆方程为：+=1（a＞b＞0），

∵点P(3，)在椭圆上，且F（2，0）是椭圆的一个焦点，

∴，解得，

∴此椭圆的标准方程为：+=1；

（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），AB的中点为M（x，y），

则可得，两式相减，整理得：(x12-x22)=-(y12-y22)．

①当x1≠x2时，可得=-=-⋅=-⋅；

又∵kAB=kMF=，

∴-⋅=，整理得2x2+3y2-4x=0；

②当x1=x2时，AB中点为M（2，0），也满足上述方程．

综上所述，动点M的轨迹方程为：2x2+3y2-4x=0．

（1）椭圆方程为+=1（a＞b＞0），则b=2

将点M（2，），代入椭圆方程可得+=1，∴a2=8

∴椭圆方程为+=1；

（2）当直线L斜率存在时，设方程为y=kx+m，代入椭圆方程，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0

则△=8（8k2-m2+4）＞0，即8k2-m2+4＞0（*），

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=

∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=

要使⊥，需使x1x2+y1y2=0，即+=0，所以m2=①

将它代入（*）式可得k2∈[0，+∞）    

∵O到L的距离为d=

∴S=|AB|d=|x1-x2|•=|m||x1-x2|=

①当k=0时，S=；

②当AB的斜率不存在时，S=；

③当k≠0时，S=

∵k2∈（0，+∞），∴4k2+∈[4，+∞），∴S∈(，2]

综上，S∈[，2]．

（1）∵椭圆+=1中，a2=9，b2=6

∴c2=a2-b2=3，得焦点坐标为（0，±）

故设所求的椭圆方程为：+=1，（m＞3）

∴+=1，解之得m=6（m=2不合题意，舍去）

所以椭圆的标准方程为：+=1；

（2）设椭圆的方程为：+=1，p、q均为正数且不相等

∵椭圆经过点P(，-2），Q(-2，1）

∴，解之得p=15，q=5

所以椭圆的标准方程为：+=1．

（1）∵椭圆的离心率e=，焦距为2，

∴=，2c=2

∴c=1，a=

∴b2=a2-c2=1

∴椭圆的标准方程为：+y2=1；

（2）由（1）知，F1（-1，0），F2（1，0），

若l斜率不存在，方程为x=-1，代入椭圆方程可得M（-1，），N（-1，-）

此时，|+|=4与已知矛盾，

l的斜率存在，设方程为y=k（x+1），M（x1，y1），N（x2，y2）

代入椭圆方程，可得（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0

∴x1+x2=，y1+y2=

∴MN中点E为（，）

由题意，F2（1，0），MN中点E，∴EF2是△MNF2的中线

∴=+=+(-)=(+)

∴=|+|=

∴=

∴40k4-23k2-17=0

∴k2=1或k2=-（舍去）

∴k=±1

∴所求直线方程为y=x+1或y=-x-1．

（I）∵椭圆C：+=1(a＞b＞0)的离心率，

椭圆C上任一点到两个焦点的距离和为4，

∴，

解得a=2，c=，b=1，

∴椭圆C的方程为：+y2=1．

（II）∵直线l过点P（1，0），

①当直线l的斜率k不存在时，直线l的方程是x=1，

此时=，λ=1；

②当直线l的斜率k存在时，设l的方程是y=k（x-1），

由，得（4k2+1）x2-8k2x+4k2-4=0，

△=64k4-4（4k2+1）（4k2-4）=48k2+16＞0，直线与圆恒有公共点，下对参数的取值范围进行讨论

当k=0时，A（2，0），B（-2，0），P（1，0），或B（2，0），A（-2，0），P（1，0），

当A（2，0），B（-2，0），P（1，0）时，

=(-1，0)，=(-3，0)

λmin==；

当B（2，0），A（-2，0），P（1，0）时，

=(3，0)，=(1，0)

λmax==3．

∴实数λ的取值范围是[，3]．

故实数λ的取值范围是[，3]．