热门试卷

∵c1：y2=4mx的右焦点F2（m，0）

∴椭圆的半焦距c=m，又e=，

∴椭圆的长半轴的长a=2m，短半轴的长b=m．

椭圆方程为+=1．

（1）当m=1时，故椭圆方程为+=1，（3分）

（2）依题意设直线l的方程为：x=ky+1，k∈R

联立得点P的坐标为P(，)．

将x=ky+1代入y2=4x得y2-4ky-4=0．

设A1（x1，y1）、A2（x2，y2），由韦达定理得y1+y2=4k，y1y2=-4．

又=(x1-，y1-)，=(x2-，y2-)．

•=x1x2-(x1+x2)++y1y2-(y1+y2)+

=-

=-．

∵k∈R，于是•的值可能小于零，等于零，大于零．

即点P可在圆内，圆上或圆外．（8分）

（3）假设存在满足条件的实数m，

由解得：P(m，m)．

∴|PF2|=m+m=m，|PF1|=4m-|PF2|=m，又|F1F2|=2m=m．

即△PF1F2的边长分别是m、m、m．

∴m=3时，能使△PF1F2的边长是连续的自然数．（14分）

（1）∵以椭圆短轴的一个顶点B与两个焦点F1，F2为顶点的三角形周长是4+2，且∠BF1F2=．

∴2a+2c=4+2，a=c，

∴a=2，c=

∴b==1

∴椭圆方程为+y2=1．

（2）当直线l的斜率不存在时，过点Q（1，）引曲线C的弦AB不被点Q平分；

当直线l的斜率为k时，l：y-=k（x-1）与椭圆方程联立，消元可得（1+4k2）x2-4k（2k-1）x+（1-2k）2-4=0

∵过点Q（1，）引曲线C的弦AB恰好被点Q平分，

∴=2，

∴解得k=-．

∵+＜1

∴点Q在椭圆内

∴直线l：y-=-（x-1），即l：y=-x+1．

（Ⅰ）依题意知，半焦距c=2，由点M（2，1）在椭圆C上，得|MF2|=1，|MF1|=7；∴2a=|MF1|+|MF2|=8；∴a=4，∴b2=a2-c2=4；所以，椭圆C的方程为：+=1．

（Ⅱ）设PQ的中点为R，直线l的方程为y=-x+m；

由，得5x2-8mx+4m2-16=0（*）；

要使l与椭圆C相交于不同的P、Q两点，则有△＞0；

∴△=（-8m）2-4×5（4m2-16）=16（-m2+20）＞0，

化简，得|m|＜2．  ①

由（*）知：xR==m，yR=-xR+m=m．

且|BP|=|BQ|，所以BR⊥PQ，即kRQ•（-1）=-1；

所以==1，解得m=-．

因为＜2，所以m=-适合①． 

所以存在满足条件的直线l；y=-x-．

（1）由 2a=12，a=6

由 e== 知 c=4

又b2=a2-c2=36-16=20

故 +=1或+=1为所求

（2）由 2a=12，a=6

由e== 知c=9

又b2=c2-a2=81-36=45

故 -=1或-=1为所求．

（Ⅰ）由题设可知：，∴a=2，c=…2分

∴b2=a2-c2=2…3分

∴椭圆的标准方程为：+=1…4分

（Ⅱ）设P（xP，yP），M（x1，y1），N（x2，y2），由=+2可得：①…5分

由直线OM与ON的斜率之积为-可得：=-，即x1x2+2y1y2=0②…6分

由①②可得：xP2+2yP2=（x12+2y12）+（x22+2y22）

∵M、N是椭圆上的点，∴x12+2y12=4，x22+2y22=4

∴xP2+2yP2=8，即+=1…..8分

由椭圆定义可知存在两个定点F1（-2，0），F2（2，0），使得动点P到两定点距离和为定值4；….9分；

（Ⅲ）证明：设M（x1，y1），B（x2，y2），则x1＞0，y1＞0，x2＞0，y2＞0，x1≠x2，A（x1，0），N（-x1，-y1）…..10分

由题设可知lAB斜率存在且满足kNA=kNB，∴=…．③

kMN•kMB+1=•+1④…12分

将③代入④可得：kMN•kMB+1=•+1=⑤….13分

∵点M，B在椭圆+=1上，∴kMN•kMB+1==0

∴kMN•kMB+1=0

∴kMN•kMB=-1

∴MN⊥MB…14分．

（Ⅰ）设椭圆方程为+=1（b＞a＞0）（1分） 

由焦距为4，可得2c=4，∴c=2，

又=，故a=3（2分）

∴b2=a2-c2=5，

∴所求椭圆方程为+=1（3分）

（Ⅱ）M坐标为（0，2），设A点在B点的左方，且A（x1，y1），B（x2，y2），

由=2，故有2=（5分）即y1+2y2=6，

又M相应的准线方程是y==，A到准线距离d1=-y1，B到准线距离d2=-y2（6分），

∵=e=，=（7分）

∴|AM|=(-y1)， |BM|=(-y2)，

∴==2得4y2-2y1=9②

②与①联立解得y1=，代入椭圆方程得x1=，

∴直线AB的斜率k==（9分），

∴AB的方程为y=x+2（10分），

如果点在B的右方时根据对称性，则所求直线AB的方程为y=-x+2．（12分）

（1）设椭圆的方程为+=1（a＞b）

依题意可知a=2，e==

∴c=∴b==1

∴椭圆C的方程为+y2=1

（2）联立方程，(1+4k2)x2+8kx+4=0

由△＞0得k2＞，x1+x2=-，x1x2=，

由•＞2得x1x2+y1y2＞2，得(1+k2)x1x1+k(x1+x2)+2＞2

解得k2＜，所以＜k2＜

所以k∈(-，-)∪(，)

（1）设椭圆的标准方程为+=1（b＞0）

∵椭圆过点P（3，2），∴+=1

∴b2=5

∴椭圆的方程为+=1；  …（8分）

（2）设双曲线的方程为-=λ，即-=1

∵双曲线的焦距为8

∴5λ+3λ=±16

∴λ=±2

∴双曲线的方程为-=±1．    …（16分）

设椭圆方程为+=1(a＞b＞0)．                          

（Ⅰ）由已知可得⇒．                     

∴所求椭圆方程为+y2=1．                           

（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x+)+，A（x1，y1），B（x2，y2），

则+=1，+=1，两式相减得：=-•．

∵P是AB的中点，∴=-，=，

代入上式可得直线AB的斜率为k==，

∴直线l的方程为2x-4y+3=0．

当直线l的斜率不存在时，将x=-代入椭圆方程并解得A(-，)，B(-，-)，

这时AB的中点为(-，0)，∴x=-不符合题设要求．

综上，直线l的方程为2x-4y+3=0．

（I）设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），则

∵椭圆的长轴长为6，一个焦点为（2，0），

∴2a=6，c=2，可得a=3，b2==5

因此，椭圆的方程为+=1；

（II）∵双曲线渐近线方程为x±2y=0，

∴设双曲线方程为x2-4y2=λ（λ≠0）

∵点P(，)在双曲线上，∴(

5

)2-4×(

1

2

)2=λ，可得λ=4

因此，双曲线方程为x2-4y2=4，化成标准方程为-y2=1．

即所求双曲线方程为-y2=1．

（1）∵椭圆的离心率e=，S△ABC=

∴

∴a=，b=1，c=

∴所求椭圆的方程为+y2=1；

（2）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=，代入椭圆方程，可得y=±，∴|PQ|=

而线段PQ的中点到原点的距离等于，不合题意；

当直线l的斜率存在时，l的方程为y=k（x-），则OP⊥OQ

直线方程与椭圆方程联立，可得（1+3k2）x2-6k2x+6k2-3=0．

设P（x1，y1）、Q（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=

∴x1x2+y1y2==0

∴k=±

∴直线l的方程为y=（x-）或y=-（x-）．

（1）∵线段MN为椭圆的长轴，且|MN|=8，∴a=4

∵|PM|=2|MF|，

∴-a=2（a-c）

∴a2-ac=2ac-2c2，

∴2e2-3e+1=0，

解得e=或e=1（舍去）

∴c=2，b2=a2-c2=12，

∴椭圆的标准方程为+=1．

（2）当AB的斜率为0时，显然∠AFM=∠BFM=0，满足题意．

当AB方程为x=my-8，代入椭圆方程整理得

（3m2+4）y2-48my+144=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则y1+y2=，y1y2=，

∴KAF+KBF=+=+

=

==0

∴KAF+KBF=0，从而∠AFM=∠BFN  综上可知，恒有∠AFM=∠BFN．

（3）（理）∵P（-8，0），F（-2，0），∴|PF|=6，

∴|y2-y1|=

=

=，

∴S△ABF=S△PBF-S△PAF=|PF|•|y2|-|PF|•|y1|

=|PF|•|y2-y1|

==

=

≤=3

当且仅当3=

即m2=（此时适合△＞0的条件）时取等号

∴三角形ABF面积的最大值是3．