热门试卷

（1）故。（2）θ。

（1）∵，∴。

∵是共线向量，∴，∴b=c,故。

（2）设

当且仅当时，cosθ=0，∴θ。

（1）a＝5，b＝3（2）

（1）设c为椭圆的焦半径，则

。

于是有a＝5，b＝3。

（2） 解法一：设B点坐标为，P点坐标为。于是有

因为，所以有

。           (A1 )

又因为ABP为等腰直角三角形，所以有 AB=AP，即 

。              (A2 )  

由（A1）推出，代入（A2），得

从而有 ，即（不合题意，舍去）或。

代入椭圆方程，即得动点P的轨迹方程

解法二： 设,，则以A为圆心，r为半径的圆的参数方程为

。

设AB与x轴正方向夹角为，B点的参数表示为

，

P点的参数表示为

.

从上面两式，得到

。

又由于B点在椭圆上，可得

。

此即为P点的轨迹方程。

（1）（2）（3）见解析

(1)解：由题设知，a＝2，b＝，故M(－2，0)，N(0，－)，所以线段MN中点的坐标为.由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点．又直线PA过坐标原点，所以k＝＝.

(2)解：将直线PA的方程y＝2x代入椭圆方程＝1，解得x＝±，因此P，A.于是C，直线AC的斜率为＝1，故直线AB的方程为x－y－＝0.因此，d＝

(3)证明：设P(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1>0，x2>0，x1≠x2，A(－x1，－y1)，C(x1，0)，设直线PA、PB、AB的斜率分别为k、k1、k2.因为C在直线AB上，所以k2＝.从而k1k＋1＝2k1k2＋1＝2·＋1＝＝0.因此k1k＝－1，所以PA⊥PB

（1）()；（2）；（3）点在曲线上.

试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、点斜式求直线方程、中点坐标公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，设出P点坐标，利用斜率公式，求出直线AP、BP的斜率，计算得到曲线C的方程；第二问，设出Q点坐标，利用点斜式写出直线AQ的方程，它与x=4交于M，则联立得到M点坐标，同理得到N点坐标，利用中点坐标公式得到后，将Q点横坐标的范围代入直接得到所求范围；第三问，结合第二问得到直线AN和直线BM的方程，令2个方程联立，得到T点坐标，通过计算知T点坐标符合曲线C的方程，所以点T在曲线C上.

(1)设动点，则(且)

所以曲线的方程为().                 4分

（2）法一：设，则直线的方程为，令，则得，直线的方程为，

令，则得，          6分

∵ =

∴，∴                 8分

故

∵ ，∴，

∴，

∴，

∴直线与直线的斜率之积的取值范围为           10分

法二：设直线的斜率为，则由题可得直线的斜率为，

所以直线的方程为，令，则得，

直线的方程为，令，则得，

∴，

∴                      8分

故

∴直线与直线的斜率之积的取值范围为           10分

（3）法一：由（2）得，，

则直线的方程为，直线的方程为， 12分

由，解得即      12分

∴

∴ 点在曲线上.                            14分

法二：由（2）得，

∴  ，        12分

∴ 

∴ 点在曲线上.                       14分

法三：由（2）得，，，

∴  ，           12分

∴ 　∴ 点在曲线上.         14分

（1）＋y2＝1（2）y＝±2x－2.

(1)设点M(x，y)是曲线C上任意一点，

∵PM⊥x轴，且＝2，

所以点P的坐标为(x,3y)，

又点P在椭圆＋＝1上，所以＋＝1，

因此曲线C的方程是＋y2＝1.

(2)当直线l的斜率不存在时，显然不满足条件，所以设直线l的方程为y＝kx－2，直线l与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．

由得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0，

依题意Δ＝(16k)2－48(1＋4k2)>0，得k2>(*)，

此时x1＋x2＝，x1x2＝.

因为＝＋，所以四边形OANB为平行四边形．

又四边形OANB是矩形，所以·＝0，

即x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2x1x2－2k(x1＋x2)＋4＝(1＋k2)x1x2－2k(x1＋x2)＋4＝0，

∴(1＋k2)·－2k·＋4＝0，

解之得k2＝4，∴k＝±2.满足(*)式．

设N(x0，y0)，由＝＋，得

y0＝y1＋y2＝k(x1＋x2)－4＝－4＝－，

从而点N在直线y＝－上，满足题设，

故直线l的方程为y＝±2x－2.

（1）＝1（2）y＝x或y＝－x

(1)由已知可设椭圆C2的方程为＝1(a>2)，

其离心率为，故＝，解得a＝4.故椭圆C2的方程为＝1.

(2)A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，

由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.

将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以.

将y＝kx代入＝1中，得(4＋k2)x2＝16，所以.

又由＝2，得，

∴，解得k＝±1.

故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.

（Ⅰ）；（Ⅱ），

试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的定义、几何性质可求；（Ⅱ）直线与椭圆相交，联立消元，设点代入化简，利用基本不等式求最值.

试题解析：（Ⅰ）设，则

化简　　轨迹的方程为

（Ⅱ）设，的距离，

，将代入轨迹方程并整理得：

设，则，

设，则上递增，

，

(Ⅰ)   (Ⅱ)见解析   （Ⅲ）

（Ⅰ）由题意得：，∴，∴椭圆C的方程为。

（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）知，是椭圆C的左焦点，离心率，设是椭圆的左准线，则：作于，于，

于轴交于点H（如图），

∵点A在椭圆上，∴

==

∴，同理

∴。

方法二：当时，记。则AB：

将其代入方程得

设，则是此二次方程的两个根。∴，

 ①∵，代入①式得。②

当时，仍满足②式。∴。

（Ⅲ）设直线AB倾斜角为，由于DE⊥AB，由（Ⅱ）可得

，，

当或时，取得最小值。

（1）   （2）

（1）动点M通过点P与已知圆相联系，所以把点P的坐标用点M的坐标表示，然后代入已知圆的方程即可；（2）直线方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数关系；结合两点的距离公式计算．

（1）设点M的坐标是，P的坐标是，

因为点Ｄ是Ｐ在轴上投影，

Ｍ为PD上一点，且，所以，且，

∵P在圆上，∴，整理得，

即C的方程是．

（2）过点（3，0）且斜率为的直线方程是，

设此直线与C的交点为，，

将直线方程代入C的方程得：

，化简得，∴，，

所以线段AB的长度是

，即所截线段的长度是．

(1)   (2)

试题分析：

(1) 通过配方把圆和圆的普通方程化为标准方程,得到圆心的坐标,根据椭圆的定义可以判断C点轨迹为椭圆,其中两个圆的圆心为焦点可得且椭圆的焦点在y轴上,根据题意,李永刚之间的关系即可求出的值,进而得到C的方程.

(2)联立直线与椭圆的方程消元得到二次方程,二次方程的根AB两点的横坐标,利用二次方程根与系数的关系得到AB两点横坐标之间的关系,利用得到AB横纵坐标之间的关系即可求出k的值,再利用椭圆的弦长公式即可求出的长度.

试题解析：

（1）由已知得两圆的圆心坐标分别为.      （1分）

设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴长为2的椭圆．                                                      （2分）

它的短半轴长，                              （3分）

故曲线C的方程为．                                   （4分）

（2）设，其坐标满足 

消去y并整理得，                         （5分）

∵， ，∴，

故．                          （6分）

又              （7分）

于是．       （8分）

令，得.                                   （9分）

因为，

所以当时，有，即.                （10分）

当时，，．                   （11分）

，           （12分）

而，        （13分）

所以．                                          （14分）

（1）x2＋＝1（2）y＝x－1.

(1)设A(x0，y0)，由已知B(0，2)，M(，0)，所以＝，＝(x0－，y0)．

由于＝－2，所以(－，2)＝－2(x0－，y0)，所以即A(，－1)，将A、B点的坐标代入曲线E的方程，得解得

所以曲线E的方程为x2＋＝1.

(2)当a＝b＝1时，曲线E为圆x2＋y2＝1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．又＝－2，

所以＝－2(x1－，y1)，

即有＋＝1①，＋＝1②，由①×4－②，得(2x1＋x2)(2x1－x2)＝3，所以2x1－x2＝，解得x1＝，x2＝0.由x1＝，得y1＝±.当A时，B(0，－1)，此时kAB＝－，直线AB的方程为y＝－x＋1；

当A时，B(0，1)，此时kAB＝，直线AB的方程为y＝x－1.

（1）椭圆方程为；（2）存在定点，使以AB为直径的圆恒过点 

试题分析：（1）由椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,等腰直角三角形斜边长为2，即，故，由此可得椭圆方程 （2）首先考虑与坐标轴平行的特殊情况，当与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程为；当与y轴平行时,以AB为直径的圆的方程为，解方程组求出这两个圆的交点：

若存在定点Q,则Q的坐标只可能为 

接下来就一般情况证明为所求 设直线，则，将与椭圆方程联立，利用韦达定理得：，代入上式证明其等于0即可

试题解析：（1）由椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,

又斜边长为2,即故,

椭圆方程为                                  （4分）

（2）当与x轴平行时,以AB为直径的圆的方程为;

当与y轴平行时,以AB为直径的圆的方程为

,故若存在定点Q,则Q的坐标只可能为    （6分）

下证明为所求:

若直线斜率不存在,上述已经证明 设直线,

,

,                           （8分）

       （10分）

,即以AB为直径的圆恒过点                  （13分）

注: 此题直接设,得到关于的恒成立问题也可求解