热门试卷

解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率为，

∴，

∴

∴，

∵AB⊥AF，

∴∴AB的方程为：

令y=0，∴，∴

∴A，B，F三点确定的圆的圆心坐标为，半径为r=a

∴圆心到直线的距离为，

∵A，B，F三点确定的圆C恰好与直线相切．

∴∴a=2，∴

∴椭圆的方程为；

（Ⅱ）假设存在，设直线l的方程为：y=k（x+1）代入椭圆的方程，

消去y可得（3+4k2）x2+8k2x+（4k2﹣12）=0

设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x0，y0），

则，

∵P为线段MN的中点，

∴

∴

∵，

∴

∴

∵射线OP交椭圆于点Q

∴

∴

∴64k4+48k2=4（16k4+24k2+9）

∴48k2=96k2+36

∴﹣48k2=36

此方程无解，∴k不存在．

解：（1）∵过点M向x轴作垂线经过左焦点，A（a，0），B（0，b），

∴，

∵AB∥OM，

所以kAB=kOM，即，

从而得到，

∴离心率．

（2）设|PF1|=m，|PF2|=n

∴，

又因为，

所以0≤cos∠F1QF2≤1，

所以．

（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2）

∵，

所以，

所以直线F2Q的方程：y=（x﹣c）

直线与椭圆联立，

消元可得5x2﹣8cx+2c2=0

∴△=24c2＞0，

，

由弦长公式可得

，

又因为F1到直线的距离，

因为，

所以c2=25，b2=25，a2=50，

所以椭圆的方程为．

解：（1）如图1，设M（x，y），A（x0，y0）

∵丨DM丨=m丨DA丨，

∴x=x0，|y|=m|y0|

∴x0=x，|y0|= |y|①

∵点A在圆上运动，

∴ ②

①代入②即得所求曲线C的方程为 

∵m∈（0，1）∪（1，+∞），

∴0＜m＜1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，

两焦点坐标分别为（ ）， 

m＞1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，

两焦点坐标分别为（ ），  。

（2）如图2、3，∵x1∈（0，1），设P（x1，y1），H（x2，y2），

则Q（x2，y2），N（0，y1），

∵P，H两点在椭圆C上，

∴

①-②可得③

∵Q，N，H三点共线，

∴kQN=kQH，

∴

∴kPQkPH=

∵PQ⊥PH，

∴kPQ·kPH=-1

∴

∵m＞0，

∴

故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意k＞0，都有PQ⊥PH。

解：（Ⅰ）设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，

则，解得，

∴椭圆C的标准方程为。

（Ⅱ）由方程组消去y，得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0，

由题意Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)＞0，

整理得：3+4k2-m2＞0， ①

设M(x1，y1)、N(x2，y2)，

则，

由已知，AM⊥AN，且椭圆的右顶点为A(2，0)，

∴(x1-2)(x2-2)+y1y2=0，

即(1+k2)x1x2+(km-2)(x1+x2)+m2+4=0，

也即，

整理得7m2+16mk+4k2=0，解得m=-2k或，均满足①．

当m=-2k时，直线l的方程为y=kx-2k，过定点(2，0)，不符合题意，舍去；

当时，直线l的方程为，过定点，

故直线l过定点，且定点的坐标为。

解：（1）设B，过圆心G作GD⊥AB于D，BC交长轴于H，

由得，即， ①

而点B在椭圆上，，②

由①、②式得，解得或（舍去）；

（2）设过点M（0，1）与圆相切的直线方程为：y-1=kx， ③

则，即， ④

解得，

将③代入得，

则异于零的解为，

设，

则，

则直线FE的斜率为：，

于是直线FE的方程为：，即，

则圆心（2，0）到直线FE的距离，故结论成立。

解：（1）设椭圆方程为

则，解得

∴椭圆方程

（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m又

∴l的方程为：

由，

∴x2+2mx+2m2﹣4=0

∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，

∴△=（2m）2﹣4（2m2﹣4）＞0，

∴m的取值范围是{m|﹣2＜m＜2且m≠0}

（3）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0

即可设

由x2+2mx+2m2﹣4=0可得x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣4

而k1+k2==

=

=

=

=

∴k1+k2=0

故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

解：∵，即MN⊥PQ，

当MN或PQ中有一条直线垂直于x轴时，另一条直线必垂直于y轴，

不妨设MN⊥y轴，则PQ⊥x轴，

∵F(0，1)，

∴MN的方程为：y=1，PQ的方程为：x=0，

分别代入椭圆中得：|MN|=，|PQ|=2，

S四边形PMQN=，

当MN，PQ都不与坐标轴垂直时，

设MN的方程为y=kx+1 (k≠0)，代入椭圆中得：(k2+2)x2+2kx-1=0，

∴x1+x2=，x1·x2=，

∴，

同理可得：，

S四边形PMQN=|MN|·|PQ|=，

(当且仅当即k=±1时，取等号)，

又S四边形PMQN=，

∴此时S四边形PMQN＜2；

综上可知：(S四边形PMQN)max=2，(S四边形PMQN)min=。

解：（1）

所求椭圆方程为。

（2）由（1）知F2（1，0），

设的方程为：

将直线方程与椭圆方程联立，得   

①代入②，得

设交点为  

因为  则

若存在点，使得以为邻边的平行四边形是菱形，

由于菱形对角线垂直，则

又，

∵的方向向量是，

故

由已知条件知且，

故存在满足题意的点且的取值范围是。

解：（1）设椭圆的方程为，F2（c，0）

∵△AB1B2是直角三角形，|AB1|=|AB2|，

∴∠B1AB2为直角，

从而|OA|=|OB2|，

即

∵c2=a2-b2，

∴a2=5b2，c2=4b2，

∴

在△AB1B2中，OA⊥B1B2，

∴S=|B1B2||OA|=

∵S=4，

∴b2=4，

∴a2=5b2=20

∴椭圆标准方程为；

（2）由（1）知B1（-2，0），B2（2，0），

由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为x=my-2代入椭圆方程，

消元可得（m2+5）y2-4my-16-0①

设P（x1，y1），Q（x2，y2），

∴，

∵，

∴=

∵PB2⊥QB2，

∴

∴，

∴m=±2当m=±2时，①可化为y2±8y-16-0，

∴|y1-y2|==

∴△PB2Q的面积S=|B1B2||y1-y2|=×4×=。

解：（1）将（2﹣k）x﹣（1+2k）y+（1+2k）=0

整理得（﹣x﹣2y+2）k+2x﹣y+1=0

解方程组

得直线所经过的定点（0，1），

所以b=1．

由离心率得a=2．

所以椭圆的标准方程为．

（2）设P（x0，y0），则．

∵HP=PQ，

∴Q（x0，2y0）．

∴

∴Q点在以O为圆心，2为半径的圆上．

即Q点在以AB为直径的圆O上．

又A（﹣2，0），

∴直线AQ的方程为．

令x=2，得．

又B（2，0），N为MB的中点，

∴．

∴，．∴

=x0（x0﹣2）+x0（2﹣x0）=0．

∴．

∴直线QN与圆O相切．

解：（I）由题意知c=，4a=8，∴a=2，b=1

∴椭圆的方程为=1

（II）当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，

则l的方程为y=k（x﹣1），

消去y得（4k2+1）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0．

设P（x1，y1），Q（x2，y2）

则由韦达定理得，

则，

∴

=m2﹣m（x1+x2）+x1x2+y1y2=m2﹣m（x1+x2）+x1x2+k2（x1﹣1）（x2﹣1）=

=

要使上式为定值须，

解得

∴为定值

当直线l的斜率不存在时由

可得

∴=

综上所述当时，为定值．

解：（1）∵椭圆C1：的离心率为，

一个焦点坐标为，

∴，∴a=2，c=，b=，

∴椭圆C1的方程为：．

（2）∵N是椭圆C1：的左顶点，点P是椭圆C1上不同于点N的任意一点，

∴N（﹣2，0），椭圆右准线：x=，

设P（x，y），则=，

∵﹣2≤x≤2，∴=∈[，+∞）．

故的取值范围是[，+∞）．

（3）设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为y=k1x﹣1．

由，解得，或．

则点A的坐标为（k1，k12﹣1）．

又直线MB的斜率为﹣，同理可得点B的坐标为（﹣）．

于是S1=|MA||MB|=|k1||﹣|=．

由，得（1+4k12）x2﹣8k1x=0．

解得，或，

则点D的坐标为（，）．

又直线ME的斜率为﹣．

同理可得点E的坐标为（，）．

于是S2=|MD||ME|=．

故=，

解得k12=2，或k12=．

又由点A，B的坐标得，k==k1﹣．

所以k=±．

故满足条件的直线存在，且有两条，

其方程为y=x和y=﹣．

解：（1）∵椭圆离心率e=，短轴长为2，

∴，

解得a=2，b=1

∴所求椭圆方程为；

（2）设AB方程为y=kx+，与椭圆方程联立，

消元可得（k2+4）x2+2kx﹣1=0

∴，

由已知=（，），=（，），且=0，

∴+=0

∴（k）=0

∴k=±

（3）当A为顶点时，B必为顶点，则△AOB的面积是1；

当A，B不为顶点时，

设AB方程为y=kx+m与椭圆方程联立，

消元可得（k2+4）x2+2kmx+m2﹣4=0

∴，

∵=0，

∴（kx2+m）=0

∴2m2﹣k2=4

∴△AOB的面积是|m||x1﹣x2|==．

∴三角形的面积为定值1．