圆锥曲线与方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆E上一点到两个焦点距离之和为4；l1，l2是过点P（0，2）且互相垂直的两条直线，l1交E于A，B两点，l2交E于C，D两点，AB，CD的中点分别为M，N。

（1）求椭圆E的方程；

（2）求l1的斜率k的取值范围；

（3）求证：直线OM与直线ON的斜率乘积为定值（O为坐标原点）。

正确答案

解：（1）设椭圆方程为

由得

∴椭圆方程为。

（2）由题意知，直线l1的斜率存在且不为零

设l1：y=kx+2，则l2：

由消去y并化简整理，得（3+4k2）x2+16kx+4=0，

根据题意，Δ=（16k）2-16（3+4k2）>0，

解得

同理得

∴。

（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），那么

∴，

∴

同理可得

即

∴

即直线OM与直线ON的斜率乘积为定值。

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆（a>b>0）的焦距为，离心率为。

（1）求椭圆的方程；

（2）设过椭圆顶点B（0，b），斜率为k的直线交椭圆于另一点D，交x轴于点E，且|BD|，|BE|，|DE|成等比数列，求k2的值。

正确答案

解：（1）由已知

解得a=2，

所以b2=a2-c2=1

椭圆的方程为。

（2）由（1）得过B点的直线为y=kx+1，

由得（4k2+1）x2+8kx=0

所以，

依题意k≠0，

因为|BD|，|BE|，|DE|成等比数列

所以|BE|2=|BD||DE|

所以b2=（1- yD）|yD|，即（1-yD）|yD|=1，

当yD>0时，，无解，

当yD＜0时，，解得

所以，解得

所以，当|BD|，|BE|，|DE|成等比数列时，。

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是F（-m，0）（m是大于0的常数）。

（1）求椭圆的方程；

（2）设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若，求直线l的斜率。

正确答案

解：（1）；

（2）或0。

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=，右准线方程为x=2，

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过点F1的直线l与该椭圆相交于M、N两点，且，求直线l的方程。

正确答案

解：（Ⅰ）由条件有，解得a=，c=1，

∴，

所以，所求椭圆的方程为；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=-1，

将x=-1代入椭圆方程得，

不妨设M，

∴，

∴，与题设矛盾。

∴直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+1），

设，

联立，消y得，

由根与系数的关系知，从而，

又∵，

∴，

∴

，

∴，

化简得，解得（舍），

∴k=±1，

∴所求直线l的方程为y=x+1或y=-x-1。

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题型：简答题

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简答题

点P（x0，y0）在椭圆1(a＞b＞0)上，x0=acosβ，y0=bsinβ，0＜β＜，直线l2与直线l1：垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为α，直线l2的倾斜角为γ，

（Ⅰ）证明：点P是椭圆与直线l1的唯一交点；

（Ⅱ）证明：tanα，tanβ，tanγ构成等比数列。

正确答案

证明：（Ⅰ）由得，

代入椭圆，得，

将代入上式，得，

从而x=acosβ，

因此，方程组有唯一解，即直线l1与椭圆有唯一交点P。

（Ⅱ），

l1的斜率为，l2的斜率为，

由此得，

构成等比数列。

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2，l)，平行于OM的直线l交椭圆于A，B两点．

(Ⅰ)求椭圆的方程：

(Ⅱ)已知e=(t，0)，是否对任意的正实数t，λ，都有e·p=0成立？请证明你的结论。

正确答案

解：(Ⅰ)设椭圆方程为，

则，解得：，

∴椭圆的方程为。

(Ⅱ)若成立，

则向量与x轴垂直，

由菱形的几何性质知，∠AMB的平分线应与x轴垂直，为此只需考查直线MA，MB倾斜角是否互补即可。

由已知，设直线l的方程为：y=x+m，

由，∴，

设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可，

设，

则，

由可得，，

而

，

∴k1+k2=0，直线MA，MB的倾斜角互补。

故对任意的正实数t，λ，都有成立。

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题型：简答题

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简答题

在平面直角坐标系xOy中，点P到两点（0，-）、（0，）的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，

(Ⅰ)写出C的方程；

(Ⅱ)设直线y=kx+1与C交于A、B两点，k为何值时，？此时||的值是多少？

正确答案

解：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，

点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆，它的短半轴，

故曲线C的方程为；

（Ⅱ）设，

其坐标满足，消去y并整理得，

故，

，

而，

于是，

所以时，；

当时，，

，

而，

所以。

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为。

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值。

正确答案

解：（1）设椭圆的半焦距为c，依题意

∴

∴所求椭圆方程为。

（2）设，

（i）当轴时，；

（ii）当AB与x轴不垂直时

设直线AB的方程为

由已知得

把代入椭圆方程，整理得

∴，

∴

当且仅当，即时等号成立

当k=0时，

综上所述，

∴当最大时，△AOB面积取最大值。

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：（m＞0），经过其右焦点F且以=（1，1）为方向向量的直线l交椭圆C于A、B两点，M为线段AB的中点，设O为椭圆的中心，射线OM交椭圆C于N点。

（1）证明：；

（2）求的值。

正确答案

解：（1）∵，

∴

∵直线l过焦点且与向量平行

∴直线l的方程为：

将其代入椭圆C的方程，并整理可得： ①

设，，，

∵M是线段AB的中点，在方程①中由韦达定理，可得：

，

∴

设为OM延长线上的点，且M为O的中点，则，

且四边形OAB为平行四边形

将的坐标代入椭圆C方程的左端并化简得

∴点在椭圆C上，与N点重合

∴四边形OANB为平行四边形

于是。

（2）

在方程①中由韦达定理，得

∴

∴。

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简答题

设x，y∈R，，j为直角坐标平面内x，y轴正方向上的单位向量，若向量=x+(y+2)j，b=x+(y-2)j，且||+|b|=8．

(Ⅰ)求点M(x，y)的轨迹C的方程；

(Ⅱ)过点(0，3)作直线l与曲线C交于A，B两点，设，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB为菱形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由

正确答案

解：(Ⅰ)∵，且，

∴点M（x，y）到两个定点的距离之和为8，

∴点M的轨迹是以为焦点的椭圆，其方程为。

(Ⅱ)∵l过y轴上的点（0，3），若直线l是y轴，则A，B两点是椭圆的顶点，

这时，

∴P与O重合，与四边形OAPB是菱形矛盾，

∴假设直线l的斜率存在，其方程为y=kx+3，

，

由，消y，得，

此时，恒成立，

且，

∵，

∴四边形OAPB是平行四边形，

若存在直线l使得四边形OAPB是菱形，则，

∵，

∴，

∴，∴k=0，

∴存在直线l，使得四边形OAPB是菱形，其方程为y=3。

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题型：简答题

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简答题

已知圆锥曲线C上任意一点到两定点F1（-1，0）、F2（1，0）的距离之和为常数，曲线C的离心率e=．（1）求圆锥曲线C的方程；

（2）设经过点F2的任意一条直线与圆锥曲线C相交于A、B，试证明在x轴上存在一个定点P，使的值是常数．

正确答案

解：（1）依题意，设曲线C的方程为（），c=1，，a=2，

，所求方程为。

（2）当直线AB不与x轴垂直时，设其方程为y=k（x-1），

由，得，

从而，，，

设P（t，0），

则

，

当，时，对，；

当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x=1，，

对，，

即存在x轴上的点，使的值为常数。

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题型：简答题

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简答题

设椭圆C1：的左、右焦点分别是F1、F2，下顶点为A，线段OA的中点为B（O为坐标原点），如图，若抛物线C2：y=x2-1与y轴的交点为B，且经过F1，F2点．

（Ⅰ）求椭圆C1的方程；

（Ⅱ）设M（0，），N为抛物线C2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P、Q两点，求△MPQ面积的最大值．

正确答案

解：（Ⅰ）由题意可知B（0，-1），则A（0，-2），故b=2，

令y=0，得即x=±1，

则F1(-1，0)，F2(1，0)，故c=1，

所以，，

于是椭圆C1的方程为：．

（Ⅱ）设N（），由知，

直线PQ的方程为：，即，

代入椭圆方程整理，得，

=，

∴，，

故

，

设点M到直线PQ的距离为d，则，

所以，△MPQ的面积

S

，

当t=±3时取到“=”，经检验此时△＞0，满足题意；

综上可知，△MPQ的面积的最大值为．

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简答题

已知椭圆P的中心O在坐标原点，焦点在x坐标轴上，且经过点A（0，2），离心率为。

（1）求椭圆P的方程；

（2）是否存在过点E（0，-4）的直线l交椭圆P于点R，T，且满足，若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由。

正确答案

解：（1）设椭圆P的方程为，

由题意，得b=，，

∴，即，

∴椭圆P的方程为。

（2）假设存在满足题意的直线L，易知当直线的斜率不存在时，不满足题意；

故设直线L的斜率为，

，

∴，

由得，

由△＞0，得，解得：， ①

∴，

故，

解得：k2=1， ②

由①、②解得k=±1，

∴直线l的方程为y=±x-4，

故存在直线l：x+y+4=0或x-y-4=0满足题意。

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简答题

已知椭圆（a＞b＞0）的离心率e=，且过点A（2，0），

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线过点A且与椭圆的另一交点为B，若|AB|=，求直线的倾斜角。

正确答案

解：（1）由椭圆过点（2，0）且a＞b＞0，所以a=2，

由e=，c=，

所以，，

所以，椭圆的方程为。

（2）由（1）设点B的坐标为，直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+2），

于是A、B两点的坐标满足方程组，

消去y并整理，得，

由，得，从而，

所以，，

由，得，

整理，得，

即，解得：k=±1，

所以直线l的倾斜角为或。

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简答题

已知O为坐标原点，点A、B分别在x轴、y轴上运动，且|AB|=8，动点P满足，设点P的轨迹为曲线C，定点M（4，0），直线PM交曲线C于另外一点Q。

（1）求曲线C的方程；

（2）求△OPQ面积的最大值。

正确答案

解：（1）设，则，

∵，

∴，，

又，

∴，

∴曲线C的方程为。

（2）由（1）知，M（4，0）为的右焦点，

设直线PM的方程为x=my+4，

由，消去x，得，

设P、Q的纵坐标分别为、，

则，

∴，

∴

，

当，即取最大值，

此时，直线的方程为。

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