热门试卷

解：（1）依题意可得A(-1，0)，B(1，0)

双曲线的焦距为，∴c=，

∴b2=c2-a2=5-1=4

∴双曲线C的方程为（2）证明：设点P（x1，y1）、T（x2，y2）（xi＞0，i=1,2），直线AP的斜率为k（k＞0），则直线AP的方程为y=k（x+1）

联立方程组 整理，得

解得x=-1或∴

同理方程组可得：

∴x1·x2=1为一定值

（3）设点P（x1，y1）、T（x2，y2）（xi＞0，i=1,2），

则，．

∵≤15，∴，即

∵点P在双曲线上，则，所以，即

又∵点P是双曲线在第一象限内的一点，所以

∵，

∴

由（2）知，，即，设，则，

∴，

∵在上单调递减，在上单调递增、

∴当t=4，即时，

当t=2，即时，

∴的取值范围为

解：(Ⅰ)由题意，抛物线C2的方程为：y2=4x。

(Ⅱ)设直线AB的方程为：y=k（x-4）(k存在且k≠0)，

联立，消去x，得ky2-4y-16k=0，

显然△=16+64k2＞0，

设A（x1，y1），B(x2，y2)，则，  ①

y1·y2=-16，    ②

又，所以，，③

由①②③消去y1，y2，得k2=2，

故直线l的方程为y=x-4或y=-x+4。

(Ⅲ)设P(m，n)，则OP中点为，

因为O，P两点关于直线y=k(x-4)对称，

所以，，

即，解得：，

将其代入抛物线方程，得：，

所以，k2=1，

联立，消去y，得

(b2+a2k2)x2-8k2a2x+16a2k2-a2b2=0，

由△=(-8k2a2)2-4(b2+a2k2)(16a2k2-a2b2)≥0，

得16a2k4-(b2+a2k2)(16k2-b2)≥0，

即a2k2+b2≥16k2，

将k2=1，b2=a2-1代人上式并化简，得 2a2≥17，所以，

即2a≥，

因此，椭圆C1长轴长的最小值为。

解：（Ⅰ）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m=0，

直线AB的方程为：x=1，

从而点A的坐标为（1，）或（1，），

因为点A在抛物线上，

所以，

此时C2的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上。

（Ⅱ）假设存在m、p的值使C2的焦点恰在直线AB上，

由（Ⅰ）知直线AB 的斜率存在，故可设直线AB的方程为y=k（x-1），

由消去y得，……………①

设A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），

则x1，x2是方程①的两根，x1+x2=，

由消去y得，………………②

因为C2的焦点在直线y=k（x-1）上，

所以，

代入②有，即，……………③

由于x1，x2也是方程③的两根，

所以x1+x2=，

从而，……………………④

又AB过C1、C2的焦点，

所以，

则，………………………⑤

由④、⑤式得，

解得，

因为C2的焦点在直线上，

所以，

∴；

由上知，满足条件的m、p存在，且，。

解；（1）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m=0，

直线AB的方程为x=1，从而点A的坐标为（1，）或（1，-）

因为点A在抛物线上，

所以，即

此时C2的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上。

（2）当C2的焦点在AB时，由（1）知直线AB的斜率存在，

设直线AB的方程为

由消去y得 ①

设A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），

则x1，x2是方程①的两根，x1+x2=

因为AB既是过C1的右焦点的弦，又是过C2的焦点的弦，

所以，且

从而

所以，即

解得，即

因为C2的焦点在直线上，

所以

即或

当时，直线AB的方程为

当时，直线AB的方程为。

解：（Ⅰ）设点A的坐标为，点B的坐标为，

由，解得，

所以，

当且仅当时，S取到最大值1．

（Ⅱ）由得，

，

， ②

设O到AB的距离为d，则，

又因为，

所以，代入②式并整理，得，

解得，

代入①式检验，△＞0，

故直线AB的方程是或。

解：（1）由题意曲线c2的参数方程为：（θ为参数），

∴曲线c2的普通方程为，

表示以原点为中心，焦点在x轴上，长轴长为4，短轴长为2的椭圆。

（2）∵直线l的极坐标方程为，即：，

令，

∴直线l的直角坐标方程为x+y=4，

∴直线l1的直角坐标方程为x-y=1，

设，

由得，

∴，

∴。

解：（1）；

（2）。