热门试卷

设椭圆方程为+=1(a＞b＞c)

（Ⅰ）由已知得⇒

∴所求椭圆方程为+y2=1．

（Ⅱ）由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2）

由，消去y得关于x的方程：

（1+2k2）x2+8kx+6=0

由直线l与椭圆相交于A、B两点，

∴△＞0⇒64k2-24（1+2k2）＞0

解得k2＞

又由韦达定理得

∴|AB|=|x1-x2|==

原点O到直线l的距离d=

∵S△AOB=|AB|•d==．

对S=两边平方整理得：4S2k4+4（S2-4）k2+S2+24=0（*）

∵S≠0，

整理得：S2≤

又S＞0，∴0＜S≤

从而S△AOB的最大值为S=，

此时代入方程（*）得4k4-28k2+49=0∴k=±

所以，所求直线方程为：±x-2y+4=0．

(Ⅰ)证明：由题设及，

不妨设点A（c，y），其中y＞0，

由于点A在椭圆上，有，即，

解得从而得到，

直线的方程为，整理得，

由题设，原点O到直线的距离为，即，

将代入上式并化简得，即a=b。

 （Ⅱ）解：设点D的坐标为，

当时，由知，直线的斜率为，

所以直线的方程为，或y=kx+m，其中，

点的坐标满足方程组，

将①式代入②式，得，

整理得，，

于是，　　③

由①式得

，　　　④

由知，

将③式和④式代入得，，

将代入上式，整理得，

当时，直线的方程为，

点的坐标满足方程组，

所以，

由知，即，

解得，

这时，点D的坐标仍满足；

综上，点D的轨迹方程为。

解：(Ⅰ)设F(c，0)，当l的斜率为1时，其方程为x-y-c=0，

O到l的距离为，故，

由，得。

(Ⅱ)C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立，

由(Ⅰ)知C的方程为2x2+3y2=6，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

(ⅰ)当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=k(x-1)，

C上的点P使成立的充要条件是P点的坐标为（x1+x2，y1+y2），

且2(x1+x2)2+3(y1+y2)2=6，

整理得，

又A、B在C上，即，

故，

将y=k（x-1）代入，

并化简得，

于是，，

代入①解得，k2=2，此时，

于是，即，

因此，当，l的方程为；

当时，，l的方程为；

(ⅱ)当l垂直于x轴时，由=（2，0）知，C上不存在点P使成立；

综上，C上存在点使成立，此时l的方程为。

解：（1）当m=3时，直线l与椭圆相离；

（2）可知直线l的斜率为，

设直线a与直线l平行，且直线a与椭圆相切，

设直线a的方程为，

联立，

∴，

∴直线a的方程为，

所求P到直线l的最小距离等于直线l到直线的距离；

（3）由，

∴，

设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可，

设，

而

，

∴，

故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形。

解：（1）∵

∴P为线段AB的中点

∵A，B分别在直线y=x和y=-x上

∴

又

∴

∴点P在以原点为圆心，为半径的圆上

∴点P的轨迹C的方程为；

（2）证明：当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m

∵l与C相切

∴

∴

联立

∴

设M（x1，y1），N（x2，y2），则，

又

∴·=0

当直线l的斜率不存在时，l的方程为

带入椭圆方程得或

此时，

综上所述为定值0。

解：（1）∵

∴，F（-1，0），l：x=-2

∵圆过点O、F

∴圆心M在直线上

设，则圆半径

由，得

解得

∴所求圆的方程为。

（2）设直线AB的方程为

代入整理得

∵直线AB过椭圆的左焦点F

∴方程有两个不等实根

记，中点

则

∵线段AB的中点N在直线上

∴

∴或

当直线AB与x轴垂直时，线段AB的中点F不在直线上

∴直线AB的方程是或。

解：（Ⅰ）设椭圆E的方程为，

则，①

∵抛物线的焦点为F1，

∴，  ②

又a2=b2+c2， ③

由①、②、③得a2=12，b2=6，

所以椭圆E的方程为。

（Ⅱ）依题意，直线OC斜率为1，由此设直线l的方程为y=-x+m，

代入椭圆E方程，得3x2-4mx+2m2-12=0，

由△=16m2-12（2m2-12）=8（18-m2），得m2＜18，

记A（x1，y1）、B（x2，y2），

则x1+x2=，x1x2=，

圆P的圆心为，

半径，

当圆P与y轴相切时，，

即，m2=9＜18，m=±3，

当m=3时，直线l方程为y=-x+3，

此时，x1+x2=4，圆心为（2，1），半径为2，

圆P的方程为（x-2）2+（y-1）2=4；

同理，当m=-3时，直线l方程为y=-x-3，

圆P的方程为（x+2）2+（y+1）2=4。

解：（1），

∴，

∴……①

曲线过……②

由①②解得，

则椭圆方程为；

（2）联立方程，消去y整理得：，

则，

解得，……③

，

即AB的中点为，

又∵AB的中点不在内，

∴，

解得，……④

由③④得：。

解：(1)假设椭圆上的任一点，则，

由椭圆方程易得，

显然当x0=a时，|PF2|取最小值a-c；

(2)依题意知，

当且仅当|PF2|取得最小值时，|PT|取最小值，

∴，

又因为b-c＞0．得；

(3)依题意Q点的坐标为(1，0)，则直线l的方程为y=k(x-1)，

代入椭圆方程得，

设，

则，

又OA⊥OB，∴，即，

∴，即k=a，直线l的方程为ax-y-a=0，

圆心F2(c，0)到直线l的距离，

由图象可知，

由得，

∴。

解：（Ⅰ）当直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，则，

由在椭圆上，则，

而，则，

于是，；

当直线l的斜率存在，设直线l为y=kx+m，

代入可得，

即，△＞0，

即，

，

，

，

，

则，满足△＞0，

，

；

综上可知，。

（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，由（Ⅰ）知；

当直线l的斜率存在时，由（Ⅰ）知，

，

，

，

，

当且仅当，即时等号成立；

综上可知的最大值为。

（Ⅲ）假设椭圆上存在三点D，E，G，使得，

由（Ⅰ）知，

，

解得，，

因此只能从中选取，只能从±1中选取，

因此D，E，G只能从中选取三个不同点，

而这三点的两两连线必有一个过原点，这与相矛盾，

故椭圆上不存在三点D，E，G，使得。

解：如图，（1）设椭圆Q：（a＞b＞0）上的点A（x1，y1）、B（x2，y2），又设P点坐标为P（x，y），

则

1°当AB不垂直x轴时，x1≠x2，

由（1）-（2）得b2（x1-x2）2x+a2（y1-y2）2y=0

∴

∴b2x2+a2y2-b2cx=0（3）；

2°当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程（3）

故所求点P的轨迹方程为：b2x2+a2y2-b2cx=0。

（2）因为，椭圆Q右准线l方程是x=，原点距l的距离为

由于c2=a2-b2，a2=1+cosθ+sinθ，b2=sinθ（0＜θ≤）

则==2sin（+）

当θ=时，上式达到最大值。

此时a2=2，b2=1，c=1，D（2，0），|DF|=1

设椭圆Q：上的点 A（x1，y1）、B（x2，y2），

三角形ABD的面积S=|y1|+|y2|=|y1-y2|

设直线m的方程为x=ky+1，代入中，得

（2+k2）y2+2ky-1=0

由韦达定理得y1+y2=，y1y2=

令t=k2+1≥1，得

当t=1，k=0时取等号

因此，当直线m绕点F转到垂直x轴位置时，三角形ABD的面积最大。

解：（1）设P（x0，y0），Q（x，y），依题意，则点D的坐标为D（x0，0）

∴

又

∴

∵P在⊙O上，故x02+y02=9

∴

∴点Q的轨迹方程为

（2）假设椭圆上存在两个不重合的两点M（x1，y1），N（x2，y2）满足，则

E（1，1）是线段MN的中点，且有

又M（x1，y1），N（x2，y2）在椭圆上

∴

两式相减，得

∴

∴直线MN的方程为4x+9y﹣13=0

将直线MN的方程代入椭圆方程检验得：

52x2﹣104x﹣155=0则△＞0有实根

∴椭圆上存在点M、N满足，

此时直线MN的方程为4x+9y﹣13=0。

解：（1）由题意可知：

∴

由

得（1+2k2）x2+4kbx+2b2-2=0

∴

得k=1或k=-1（舍）

所以直线l的方程为。

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）

∴

根据韦达定理得：

代入上式得：。

解：（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），

则，

由题设当x＞2时，

由①得，

化简得；

当x≤2时，由①得，

化简得；

故点P的轨迹C是椭圆在直线x=2的右侧部分

与抛物线在直线x=2的左侧部分

（包括它与直线x=2的交点）所组成的曲线，参见图1；

（Ⅱ）如图2所示，易知直线x=2与的

交点都是，

直线AF，BF的斜率分别为，

当点P在C1上时，由②知，④

当点P在C2上时，由③知|PF|=3+x，⑤

若直线l的斜率k存在，则直线l的方程为y=k（x-3），

（1）当k≤时，

直线l与轨迹C的两个交点都在C1上，

此时由④知，

从而∣MN∣=∣MF∣+∣NF∣

=，

由得，

则是这个方程的两根，

所以*

∣MN∣=，

因为当，

，

当且仅当时，等号成立。

（2）当时，

直线l与轨迹C的两个交点分别在上，

不妨设点M在C1上，点C2上，

则④⑤知，，

设直线AF与椭圆C1的另一交点为E，

，

所以，

而点A，E都在C1上，且，

有（1）知，

若直线l的斜率不存在，则=3，

此时，；

综上所述，线段MN长度的最大值为。