热门试卷

解：（1）抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线方程为x=-1，

∴，①

又椭圆截抛物线的准线x=-1所得弦长为，

∴得上交点为，

∴，②

由①代入②得（舍去），

从而，

∴该椭圆的方程为该椭圆的方程为；

（2）∵倾斜角为45°的直线l过点F，

∴直线l的方程为，

由（1）知椭圆的另一个焦点为，

设与F1关于直线l对称，

则得，

又M（1，-2）满足y2=4x，

故点M在抛物线上。

所以抛物线y2=4x上存在一点M（1，-2），使得M与F1关于直线l对称。

解：(1)由题意得，得，所以a2=12，

结合a2=b2+c2，解得b2=3，

所以，椭圆的方程为。

(2)由得(b2+a2k2)x2-a2b2=0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1+x2=0，，

依题意知，OM⊥ON，

易知，四边形OMF2N为矩形，所以AF2⊥BF2，

因为，

所以(x1-3)(x2-3)+y1y2=(1+k2)x1x2+9=0，

即，

将其整理为，

因为，

所以，

所以，即。

解：（1）由题意可知B（0，-1），则A（0，-2），故b=2

令y=0得即，则F1（-1，0），F2（1，0），故c=1

所以

于是椭圆C1的方程为：；

（2）设N（t，t2-1），由于知直线PQ的方程为

即

代入椭圆方程整理得：

=

，

故

设点M到直线PQ的距离为d，则

所以的面积S=

当时，取到“=”，经检验此时，满足题意

综上可知，的面积的最大值为。

解：（1）由题意，可设所求椭圆的方程为，易得，

则有：     解之，得，

从而有．

所求椭圆的方程为．          

（2）直线与圆相切．                  

证明如下：易得椭圆的右焦点为，右准线为．  

设点，则有，

又，

直线的方程为，

令，得，

即，

，

又，

于是有，

故，

直线与圆相切．

解：（1）设椭圆C的方程为（其中a>b>0），

由题意知，且

解得a2=4，b2=2，c2=2，

所以椭圆C的方程为。

（2）由于|F1A|，|AB|，|BF1|依次成等差数列，

则|F1A|+|BF1|=2|AB|，

而|F1A|+|AB|+|BF1|=4a=8，

所以|AB|=

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=

代入椭圆C的方程

化简，得

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则

又

解得k=±1；

当直线l的斜率不存在时，，代入椭圆方程，得y=±1，

∴|AB|=2，不合题意，

所以，直线l的方程为。

解：（1）圆C：x2+y2﹣3x+4y=0的圆心C（1，﹣2），

设椭圆方程为，

依题意有，解得，

椭圆方程为．

（2）由，得（k2+2）x2+2kx﹣5=0，

△=4k2+20（k2+2）=24k2+40＞0，

故直线与椭圆必有两个不同的交点，

设两交点坐标A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（），

，，

，

|PA|=|PB|，PMAB，

①当k=0时，直线l：y=1，此时A，B关于y轴对称，满足PMAB；

②当k0时，==﹣1（k0），解得k=1或k=﹣1，

直线l：y=x+1或y=﹣x+1．

综上所述，直线l的方程为y=1或y=x+1或y=﹣x+1．

解：（1）在直线x-y+1=0中，

令x=0得y=1；令y=0得x=-1，

∴c=b=1，

∴，

则椭圆方程为；

 （2）①，

M、N的中点坐标为，

所以；

②将直线PA方程y=kx代入，

解得，

记，

则，

于是C（m，0），

故直线AB方程为，

代入椭圆方程得，

由，

∴，

∴，

∴PA⊥PB。

解：（1）设P（x，y）代入

得点P的轨迹方程为。

（2）设过点C的直线斜率存在时的方程为y= k（x+1），

且 A（x1，y1） ，B（x2，y2）在上

则由

∴，

∴

∴

∵k2≥0

∴

∴

当过点C的直线斜率不存在时，其方程为x=-1

解得

此时

所以的取值范围为。

（1）证明：将x=y-1代入，

消去x，整理得，

由直线l与椭圆相交于两个不同的点，

得，

所以；

 （2）解：设，

则， ①

且， ②

因为，

所以，

将代入①，与②联立，消去y2，整理得， ③

因为F是椭圆的一个焦点，则有，

将其代入③式，解得，

所以椭圆的方程为。

解：（Ⅰ）将（0，4）代入C的方程得

∴b=4

又

得，即

∴a=5

∴C的方程为；

（Ⅱ）过点且斜率为的直线方程为

设直线与C的交点为A，B

将直线方程代入C的方程，得

即，解得，

∴AB的中点坐标，

即中点为。

解：（1）由题意，MQ是线段AP的垂直平分线，

故|QC|+|QA|=|QC|+|QP|=|CP|

>|CA|=2

于是点Q的轨迹是以点C，A为焦点，半焦距c=1，长半轴的椭圆，短半轴

∴点O的轨迹方程是：。

（2）因直线l过点（0，2）且斜率为2，则直线l的方程为：y=2x+2，即2x-y+2=0，

故点O（0，0）到直线l的距离d=

把y=2x+2代入（1）中的方程化简，

得9x2+16x+6=0

∴Δ=162-4×9×6=40>0

设B（x1，y1），D（x2，y2），

则

∴

∴△BDO的面积为

。

（Ⅰ）由题意，c=1，

可设椭圆方程为+=1，

解得b2=3，b2=-（舍去）

所以椭圆方程为+=1．

（Ⅱ）设直线AE方程为：y=k(x-1)+，

代入+=1得(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4(-k)2-12=0

设E（xE，yE），F（xF，yF），

因为点A(1，)在椭圆上，

所以xE=，yE=kxE+-k．

又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，

在上式中以-K代K，可得xF=，yF=-kxF++k

所以直线EF的斜率KEF===

即直线EF的斜率为定值，其值为．

解：（1），

∴，

依题意设椭圆方程为：，

把点（4，1）代入得，

∴椭圆方程为。

（2）把y=x+m代入椭圆方程得：，

由△＞0，可得。

（Ⅰ）解：∵椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心M（0，r），

∴椭圆方程为

焦点坐标为，

离心率

（Ⅱ）证明：将直线CD的方程y=k1x代入椭圆方程，

得

整理得

根据韦达定理，得，，

所以  ①

将直线GH的方程y=k2x代入椭圆方程，

同理可得②

由 ①、②得   =

所以结论成立

（Ⅲ）证明：设点P（p，0），点Q（q，0）

由C、P、H共线，得  

解得  

由D、Q、G共线，同理可得  

∴

由=变形得=

所以|p|=|q|

即|OP|=|OQ|