热门试卷

证明：依设，得椭圆的半焦距c=1，右焦点为F(1，0)，右准线方程为x=2，点E的坐标为(2，0)，

EF的中点为N(，0)，

若AB垂直于x轴，则A（1，y1），B（1，-y1），C（2，-y1），

∴AC中点为N(，0)，即AC过EF中点N；

若AB不垂直于x轴，由直线AB过点F，且由BC∥x轴知点B不在x轴上，

故直线AB的方程为y=k（x-1），k≠0，

记A（x1，y1）和B（x2，y2），则C（2，y2）且x1，x2满足二次方程，

即（1+2k2）x2-4k2x+2（k2-1）=0，

∴，

又x12=2-2y12＜2，得x1-≠0，

故直线AN，CN的斜率分别为，

∴k1-k2=2k·，

∵（x1-1）-（x2-1）（2x1-3）=3（x1+x2）-2x1x2-4=，

∴k1-k2=0，即k1=k2，

故A、C、N三点共线；

所以，直线AC经过线段EF的中点N。

解：（Ⅰ）由条件有，解得a=，c=1，

∴，

所以，所求椭圆的方程为；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=-1，

将x=-1代入椭圆方程得，

不妨设M、N，

∴，

∴，与题设矛盾；

∴直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+1），

设，

联立，消y得，

由根与系数的关系知，

从而，

又∵，

∴，

∴，

∴，

化简得，

解得（舍），∴k=±1，

∴所求直线l的方程为y=x+1或y=-x-1。

解：(1)如图，分别过A、B作椭圆C右准线的垂线，垂足为A1、B1，

因为直线AB的倾斜角为，

所以

，

因为，

所以3|AF|=5|BF|，即，得；

(2)由，消去y，得，

解得，设，

不妨令，

所以，

由，

得c≤1，

又因为，

所以。

解：（1）由x2+y2-6x-2y+7=0得

∴圆M的圆心为（3，1），半径

由题意知A（0，1），F（c，0）（）

得直线AF的方程为，即x+cy-c=0

由直线AF与圆M相切得

∴，

故椭圆C的方程为；

（2）由

知AP⊥AQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，

故可设直线AP的方程为y=kx+1，直线AQ的方程为

将y=kx+1代入

整理得

解得x=0或

因此点P的坐标为

同理，点Q的坐标为

∴直线l的斜率为

直线l的方程为

故直线l过定点。

解：（1）直线l过点M（0，1），

设其斜率为k，则l的方程为y=kx+1，

记、

由题设可得点A、B的坐标、是方程组的解，

将①代入②并化简得，，

所以，

于是，

设点P的坐标为（x，y），则，

消去参数k得， ③

当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，

所以点P的轨迹方程为。

（2）由点P的轨迹方程化简，得，

知，即，

所以，

故当时，取得最小值，最小值为；

当时，取得最大值，最大值为。

解：(Ⅰ)点A代入圆C方程，得（2-m）2+2=3，

∵m＜3，

∴m=1，圆C：，

设直线PF1的斜率为k，则PF1：，

即，

∵直线PF1圆C相切，

∴，解得或，

当时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去；

当时，直线PF1与x轴的交点横坐标为-2，

∴c=2，，

，

∴椭圆E的方程为。

(Ⅱ)记A(s，t)，令直线AM的斜率为k，

那么直线AM的方程为y-t=k(x-s)，

记M，N两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

由得，

，①

s，x1是方程①的两根，所以有，

∴，

同理可得：，

∴，

∴。

(Ⅲ)不妨设直线MN的方程为，

由得，②

x1，x2是方程②的两根，所以有，

∴△AMN面积，

∴

，

所以，当m2=4即m=2或m=-2时，S△AMN取得最大值2。

解：（1）由题意可设椭圆方程为(a＞b＞0)，

则，故

所以，椭圆方程为．

（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，

故可设直线l的方程为 y=kx+m (m≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

由消去y得，

，

则，

且，，

故，

因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，

所以，==k2，

即+m2=0，

又m≠0，所以，k2=，即k=，

由于直线OP，OQ的斜率存在，且△＞0，

得0＜m2＜2且m2≠1，

设d为点O到直线l的距离，

则S△OPQ=d|PQ|=|x1-x2||m|=，

所以，S△OPQ的取值范围为 (0，1)．

解：（1）设椭圆的半焦距为c，依题意

∴

∴所求椭圆方程为。

（2）设，

（i）当轴时，；

（ii）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为

由已知，得

把代入椭圆方程，整理得

∴

∴

当且仅当，即时等号成立

当时，，

综上所述，

∴当最大时，面积取最大值。

解：（1）由知  ①

由知a=2c  ②

又b2=a2-c2， ③

由①②③解得a2=4，b2=3

故椭圆C的方程为；

（2）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）

假设使成立的直线l存在

（i）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，由l与n垂直相交于P点且得

，即

∵

∴

即x1x2+y1y2=0

将y=kx+m代人椭圆方程，得（3+4k2）x2+8kmx+（4m2-12）=0

由求根公式可得  ④

  ⑤

将④⑤代人上式并化简得（1+k2）（4m2-12）-8k2m2+m2（3+4k2）=0，⑥

将m2=1+k2代入⑥并化简得-5（k2+1）=0，矛盾

即此时直线l不存在。

（ii）当l垂直于x轴时，满足的直线l的方程为x=1或x=-1

当x=1时，A，B，P的坐标分别为

∴

∴

当x=-1时，同理可得，矛盾

即此时直线l也不存在

综上可知，使成立的直线l不存在。

解：（1）由已知得椭圆C的左顶点为A（-4，0），上顶点为D（0，2），

∴a=4，b=2，

故椭圆C的方程为：；

（2）直线AP的斜率k显然存在，且k＞0，故可设直线AP的方程为y=k（x+4），从而

设

则

∴直线的方程为：

得

∴

当且仅当即时等号成立

∴时，线段MN的长度取最小值3；

（3）由（2）知，当线段MN的长度取最小值时

此时直线BP的方程为

，

设与BP平行的直线

联立得

由得

当时，BP与l′的距离为，此时S△BPQ=

当时，BP与l′的距离为，此时S△BPQ=

∴当时，这样的Q点有4个

当时，这样的Q点有3个

当时，这样的Q点有2个

当时，这样的Q点有1个

当时，这样的Q点不存在。

解：（1）依题意，设曲线C的方程为（），c=1，，a=2，

，所求方程为。

（2）当直线AB不与x轴垂直时，设其方程为y=k（x-1），

由，得，

从而，，，

设P（t，0），

则

，

当，时，对，；

当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x=1，，

对，，

即存在x轴上的点，使的值为常数。

解：（1）∵，

∴P为AM的中点，

又，

∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|，

又，

∴，

∴动点N的轨迹是以点C（-1，0），A（1，0）为焦点的椭圆，且椭圆长轴长为，焦距2c=2，∴，

∴曲线E的方程为。

（2）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为y=kx+2，

代入椭圆方程得，

由△＞0，得，

设，则，

又，，

∴，∴，

∴，

即，整理，得，

，

∴，∴，解得：，

，∴，

又当直线GH斜率不存在，方程为，

∴，

即所求λ的取值范围是。

解：由已知可得椭圆的方程为，且有：，，，，

（1）假设存在点C，使得，

则：，

令（），

而，

故有：，解得或，

所以，点C的坐标为C（0，1）或。

（2）若设过的直线交椭圆于，

则由焦半径公式可得：，

当轴时，，此时；

当PQ与x轴不垂直时，不妨设直线PQ的方程为，(k＞0)，

则由：，得，

故，

于是可得，

又由点到直线的距离公式可得点到PQ的距离，

故，

因为，

所以，

综上可知，当直线PQ⊥x轴时，的面积取到最大值。

解：（Ⅰ）易知a=2，b=1，c=，所以，设P（x，y），

则=

因为x∈[-2，2]，故当x=0，即点P为为椭圆短轴端点时，有最小值-2，

当x=±2时，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值1；

（Ⅱ）显然直线x=0不满足题设条件，可设直线l：y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2）

联立，消去y，整理得：，

∴

由得：

或①

又

∴

又==

∵即

∴-2

故由①、②得或。