圆锥曲线与方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题

设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点．

（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求PF1●PF2的最大值和最小值；

（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）由题意易知

所以，

设P（x，y），则=

因为x∈[﹣2，2]，故当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值﹣2

当x=±2，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值1

（Ⅱ）显然直线x=0不满足题设条件，可设直线l：y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2），

联立，消去y，整理得：

∴

由得：或又

∴

又y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4==

∵，即k2＜4

∴﹣2＜k＜2

故由①、②得：或．

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题型：简答题

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简答题

设A，B分别为椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点在该椭圆上，

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设P为直线x=4上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP与椭圆相交于异于A的点M，证明：△MBP为钝角三角形。

正确答案

（Ⅰ）解：由题意：，

所求椭圆方程为，

又点在椭圆上，可得，

所求椭圆方程为；

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知：，

设，

则直线PA的方程为：，

由，

因为直线PA与椭圆相交于异于A的点M，

所以，

由，

所以，

从而，

所以，

又M，B，P三点不共线，

所以∠MBP为钝角，

所以△MBP为钝角三角形。

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F2（3，0），离心率为e，

（Ⅰ）若，求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点。若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且，求k的取值范围。

正确答案

解：（Ⅰ）由题意得，

结合，

所以，椭圆的方程为；

（Ⅱ）由，

设，

所以，

依题意，OM⊥ON，

易知，四边形为平行四边形，所以，

因为，

所以，

即，

将其整理为，

因为，

所以，

即。

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题型：简答题

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简答题

已知点P（x0，y0）是椭圆E：上任意一点，x0y0≠1，直线l的方程为。

（1）判断直线l与椭圆E交点的个数；

（2）直线l0过P点且与直线l垂直，点M（-1，0）关于直线l0的对称点为N，直线PN恒过一定点G，求点G的坐标。

正确答案

解：（1）由

消去y，并整理，得

∵

∴

故直线l与椭圆E只有一个交点。

（2）直线l0的方程为x0（y-y0）=2y0（x-x0），

即2y0x-x0y-x0y0=0

设M（-1，0）关于直线l0的对称点N的坐标为N（m，n）

则

解得

∴直线PN的斜率为

从而直线PN的方程为

即

从而直线PN恒过定点G（1，0）。

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：，过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形。

（1）求椭圆的方程；

（2）过点Q（-1，0）的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x=-4于点E，，，求证λ+μ为定值。

正确答案

解：（1）由条件，得，

所以，方程为。

（2）易知直线l斜率存在，令，

由，

，

由，

得，

由，

得，

∴，

将代入，有

。

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题型：简答题

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简答题

设椭圆的左焦点为F1（-2，0），左准线与x轴交于点N（-3，0），过点N倾斜角为30°的直线m交椭圆于A，B两点，

（1）求直线m和椭圆的方程；

（2）求证：点F1（-2，0）在以线段AB为直径的圆上。

正确答案

（1）解：由题意，直线m的方程为，

∵椭圆的焦点在x轴上，且，，

∴椭圆的方程为。

（2）证明：设，，

∵直线m的方程为，

将直线代入椭圆有，

∵，，

∴，

又∵，，

∴

，

∴，

∴点F1（-2，0）在以线段AB为直径的圆上。

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题型：简答题

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简答题

如图，已知椭圆的右焦点为F，过F的直线（非x轴）交椭圆于M、N两点，右准线交x轴于点K，左顶点为A。

（Ⅰ）求证：KF平分∠MKN；

（Ⅱ）直线AM、AN分别交准线于点P、Q，设直线 MN的倾斜角为，试用表示线段PQ的长度|PQ|，并求|PQ|的最小值。

正确答案

（Ⅰ）证明：作MM1⊥于M1，NN1⊥于N1，

则，

又由椭圆的第二定义，有，

∴，

∴∠KMM1=∠KNN1，即∠MKF=∠NKF，

∴KF平分∠MKN。

（Ⅱ）解：由A，M，P三点共线可求出P点的坐标为，

由A，N，Q三点共线可求出Q点坐标为，

设直线MN的方程为，

由，

∴，

则

，

又直线MN的倾斜角为，则，

∴，

即当时，。

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题型：简答题

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简答题

设平面内两定点，直线PF1和PF2相交于点P，且它们的斜率之积为定值；

（Ⅰ）求动点P的轨迹C1的方程；

（Ⅱ）设M（0，），N为抛物线C2：y=x2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交曲线C1于P、Q两点，求△MPQ面积的最大值。

正确答案

解：（1）设点P（x，y），依题意则有，

整理得：。

（2）设，

则PQ的方程为：，

联立方程组，

消去y 整理得，有，

而

由代入化简得，

当且仅当时，取到最大值。

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题型：简答题

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简答题

如图，椭圆长轴端点为A，B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且，；

（1）求椭圆的标准方程；

（2）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.

正确答案

解：（1）如图建系，设椭圆方程为，则c=1，

又∵，即，

∴a2=2，

故椭圆方程为。

（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为△PQM的垂心，则设，

∵M（0，1），F（1，0），故，

于是，设直线l为 y=x+m，

由，得，

∵，

又，

得，

即，

由韦达定理，得，

解得：或m=1（舍），

经检验符合条件。

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：的焦距为4，且与椭圆有相同的离心率，斜率为k的直线经过点M（0，1），与椭圆C交于不同两点A，B。

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围。

正确答案

解：（Ⅰ）焦距为4，故c=2；

又的离心率为，则，

则椭圆C的标准方程为：。

（Ⅱ）设直线l的方程为，

由，消y得，

有，（由于点M在椭圆内，不需要判别式）

由（Ⅰ）知右焦点F坐标为（2，0），则，

即，

整理得，，

代入有，解得：，

故直线l的斜率的取值范围。

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B，设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），求实数t的取值范围．

正确答案

解：（1）椭圆C的方程为：

（2）由题意知直线AB的斜率存在。设AB：y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），

由此可得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0

△=64k4-4（2k2+1）（8k2-2）>0，，

∵

∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y），，

∵点P在椭圆上，

∴， 16k2=t2（1+2k2）

∴，

∴t2∈（0，4）

∴t∈（-2，0） ∪（0，2）

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆的两个焦点分别是，离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不同的两点M，N，且线段MN中点的横坐标为，求直线l的倾斜角的范围．

正确答案

解：（1）依题意可知

求得a=3，b=1

∴椭圆的方程为：=1

（2）直线l不与坐标轴平行，

设为y=kx+b（k≠0），M（，），N（x2，y2）

联立方程：

则（9+k2）x2+2kbx+b2﹣9=0

△=（2kb）2﹣4（9+k2）（b2﹣9）＞0，k2﹣b2+9＞0

+x2=﹣，x2=

MN的中点的横坐标=（+x2）=﹣

所以+x2=﹣1

所以9+k2=2kb＞b2（k﹣b）2=b2﹣9≥0，b2≥9

b≥3或b≤﹣3

b（b﹣2k）＜0

所以b≥3＞0时，b﹣2k＜0，k＞≥

b≤﹣3＜0时，b﹣2k＞0，k＜≤﹣

所以k的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）

直线l的倾斜角的取值范围为：（arctan，）∪（，﹣arctan）

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题型：简答题

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简答题

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，右焦点为F．若C的右准线l的方程为x=4，离心率e=．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设点P为直线l上一动点，且在x轴上方．圆M经过O、F、P三点，求当圆心M到x轴的距离最小时圆M的方程．

正确答案

解：（1）由题意，设椭圆C的标准方程是，

则，

解得，

∴所求椭圆C的方程为．

（2）由（1）知，F（2，0），

由题意设P（4，t），t＞0，线段OF的垂直平分线方程为x=1，①

因为线段FP的中心为（3，），斜率为．

所以线段FP的垂直平分线方程为，即，②

联立①②，解得，

即：圆心M（1，），

∵t＞0，∴=2，

当且仅当，即t=2时，圆心M到x轴的距离最小，

此时圆心为M（1，2），半径为OM=3，

故所求圆M的方程为．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆的短轴长等于焦距，椭圆C上的点到右焦点的最短距离为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点且斜率为的直线与交于、两点，是点关于轴的对称点，证明：三点共线．

正确答案

解：(I)由题可知：

解得，

∴椭圆C的方程为

（II）设直线：，，，，，

由得

所以，.

而，

∵

∴N、F、P三点共线

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题型：简答题

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简答题

如图，椭圆C ：的左右顶点为A1，A2，左右焦点为F1，F2，其中F1，F2是A1A2的三等分点，A是椭圆上任意一点,且|AF1|+|AF2|=6

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线AF1与椭圆交于另一点B，与y轴交于一点C，记，若点A在第一象限，求m+n的取值范围；

正确答案

解：(1)∵F1，F2是A1A2的三等分点

∴a=3c

又∵|AF1|+|AF2|=6

∴a=3

∴b2=8

∴椭圆C的方程为：

（2）F1(-1,0),当直线与x轴重合时，显然不合题意，

当直线不与x轴重合时，设直线AF1：x=my-1

代入到椭圆方程并消元整理得：（8m2+9)y2-16my-64=0 …………①

△=162×9(m2+1)>0恒成立；

设A（x1,y1),B(x2,y2),则y1,y2是方程①的两个解，

由韦达定理得：

在x=my-1中令x=0得C点坐标为

(∵A在第一象限∴x1=my1-1>0,y1>0)

同理：

∵A在第一象限

∴C点在椭圆内部

∴m+n的取值范围是（2，+∞）

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