圆锥曲线与方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题

如图，已知双曲线的左、右顶点分别为A1、A2，动直线l：y＝kx＋m与圆相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为．

(1)求k的取值范围，并求的最小值；

(2)记直线的斜率为，直线的斜率为，那么是定值吗？证明你的结论．

正确答案

(1) (－1，1) ；2．

(2) 定值－(3＋2)

(1)∵l与圆相切，∴1＝

∴m2＝1＋k2，①

由得，

∴

∴，∴，故k的取值范围为(－1，1)．

由于，

∴，

∵∴当时，取最小值为2．

(2)由已知可得，的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，

∴，，

∴＝=

＝

＝＝，

由①，得，

∴＝＝－(3＋2)为定值．

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题型：填空题

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填空题

以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆方程是 .

正确答案

略

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题型：填空题

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填空题

过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于P、Q两点，则|FP||FQ|的值为__________.

正确答案

代入得：

设

又

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题型：填空题

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填空题

以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设为两个定点，为非零常数，，则动点的轨迹为双曲线；②过定圆上一定点作圆的动点弦，为坐标原点，若则动点的轨迹为圆；③设是的一内角，且，则表示焦点在轴上的双曲线；④已知两定点和一动点，若，则点的轨迹关于原点对称.

其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）.

正确答案

②④

试题分析：对于①，由双曲线的定义可知，动点的轨迹为双曲线的一支，所以①不正确；对于②，由，可知点为弦的中点，连结，则有即，而均为定点，所以点的轨迹是以为直径的圆，所以②正确；对于③，由两边平方可得，所以，因为是的一个内角，可判断为钝角，所以且，联立，从而方程为，表示焦点在轴上的椭圆，所以③错误；对于④，设动点，则由可得，将代入等式左边可得，所以动点的轨迹关于原点对称，即④正确；综上可知，真命题的序号是②④.

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线C：的离心率为，左顶点为（-1，0）。

（1）求双曲线方程；

（2）已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB的中点在圆上，求m的值和线段AB的长。

正确答案

（1）（2）

试题分析：（1）因为双曲线的离心率为，所以，又左顶点为，所以，因此可解得，，从而求得双曲线的标准方程：

（2）设，中点的坐标为，则

联立方程组：消去得关于的一元二次方程，在判别式大于零的条件下，由韦达定理可用含参数的表达式表示和，进而表示和，由于点到原点的距离为，可据此列方程解得的值；最后根据弦长公式求弦的长.

试题解析：

（1）依题意所以 ..2分

所以双曲线方程为 ..4分

（2）由得， .6分

∴，

又∵中点在直线上，所以可得中点坐标为（m,2m）,

代入得 .8分

|AB|=。 12分

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线＝1的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点F2的直线l交双曲线于A、B两点，F1为左焦点．

(1)求双曲线的方程；

(2)若△F1AB的面积等于6，求直线l的方程．

正确答案

（1）x2－＝1（2）y＝±(x－2)

学生错解：解：(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(2，0)，直线l：y＝k(x－2)，

由消元得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0，x1＋x2＝，x1x2＝，y1－y2＝k(x1－x2)，

△F1AB的面积S＝c|y1－y2|＝2|k|·|x1－x2|＝2|k|＝2|k|·＝6，k4＋8k2－9＝0，k2＝1，k＝±1，所以直线l的方程为y＝±(x－2)．

审题引导：(1)直线与双曲线相交问题时的处理方法；(2)△F1AB面积的表示．

规范解答：解：(1)依题意，b＝，＝2a＝1，c＝2，(4分)

∴双曲线的方程为x2－＝1.(6分)

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，F2(2，0)，直线l：y＝k(x－2)，

由消元得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0，(8分)

k≠±时，x1＋x2＝，x1x2＝，y1－y2＝k(x1－x2)，(10分)

△F1AB的面积S＝c|y1－y2|＝2|k|·|x1－x2|＝2|k|·＝2|k|·＝6，k4＋8k2－9＝0，k2＝1，k＝±1，(14分)

所以直线l的方程为y＝±(x－2)．(16分)

错因分析：解本题时容易忽略二次项系数不为零，即k≠±这一条件

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线＝1的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点F2的直线l交双曲线于A、B两点，F1为左焦点．

(1)求双曲线的方程；

(2)若△F1AB的面积等于6，求直线l的方程．

正确答案

（1）x2－＝1（2）y＝±(x－2)

学生错解：解：(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(2，0)，直线l：y＝k(x－2)，

由消元得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0，x1＋x2＝，x1x2＝，y1－y2＝k(x1－x2)，

△F1AB的面积S＝c|y1－y2|＝2|k|·|x1－x2|＝2|k|＝2|k|·＝6，k4＋8k2－9＝0，k2＝1，k＝±1，所以直线l的方程为y＝±(x－2)．

审题引导：(1)直线与双曲线相交问题时的处理方法；(2)△F1AB面积的表示．

规范解答：解：(1)依题意，b＝，＝2a＝1，c＝2，(4分)

∴双曲线的方程为x2－＝1.(6分)

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，F2(2，0)，直线l：y＝k(x－2)，

由消元得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0，(8分)

k≠±时，x1＋x2＝，x1x2＝，y1－y2＝k(x1－x2)，(10分)

△F1AB的面积S＝c|y1－y2|＝2|k|·|x1－x2|＝2|k|·＝2|k|·＝6，k4＋8k2－9＝0，k2＝1，k＝±1，(14分)

所以直线l的方程为y＝±(x－2)．(16分)

错因分析：解本题时容易忽略二次项系数不为零，即k≠±这一条件

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题型：简答题

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简答题

已知中心在原点的双曲线的右焦点为，实轴长.

（1）求双曲线的方程

（2）若直线与双曲线恒有两个不同的交点，且为锐角(其中为原点)，求的取值范围.

正确答案

（1）；（2）.

试题分析：（1）依题意先设双曲线的方程为，依据题中条件得到、的值，进而由得到的值，进而写出双曲线的方程即可；（2）设，联立直线与双曲线的方程，消去得到，依题意得到，且，要使为锐角，只须即可，从而只须将进行坐标化并将代入，得到，结合、及即可得出的取值范围.

试题解析：（1）依题意可设双曲线的方程为

则有且，所以，

所以该双曲线的方程为

（2）

设

，即

综上：.

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是。

正确答案

解法1：因为在中，由正弦定理得，

则由已知，得，即，且知点P在双曲线的右支上，

设点由焦点半径公式，得，则，

解得，由双曲线的几何性质知，整理得

解得，故椭圆的离心率。

解法2 由解析1知由双曲线的定义知

，由椭圆的几何性质知所以以下同解析1。

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题型：简答题

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简答题

（理）已知平面内动点P（x，y）到定点F(，0)与定直线l：x=的距离之比是常数．

（ I）求动点P的轨迹C及其方程；

（ II）求过点Q（2，1）且与曲线C有且仅有一个公共点的直线方程．

正确答案

（ I）∵＞1，

∴轨迹C为以F为右焦点，l为右准线的双曲线．

设双曲线C方程为-=1(a＞0，b＞0)，则，

∴a2=4．

∴b2=c2-a2=5-4=1．

∴双曲线方程为-y2=1．

（Ⅱ）（1）若所求直线斜率不存在时，直线x=2满足题意．

（2）若所求直线斜率存在时，设所求直线方程为y-1=k（x-2），

代入曲线方程-y2=1，得：-(kx-2k+1)2=1，

化简得：（1-4k2）x2+8k（2k-1）x-4（2k-1）2-4=0，

①当（1-4k2）=0时，即k=±时，

∵（2，1）在渐近线y=x上，∴k=时不适合，舍去.k=-时，直线平行于渐近线y=-x，满足题意，

故所求直线方程为y=-(x-2)+1，即y=-x+2．

②当（1-4k2）≠0时，由△=64k2（2k-1）2-16（4k2-1）（4k2-4k+2）=0，

得k=（舍去），综上所述，所求直线方程为x=2，y=-x+2．

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题型：填空题

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填空题

已知分别是双曲线的左、右焦点,以为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P,则当的面积等于时，双曲线的离心率为 .

正确答案

略

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题型：简答题

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简答题

（12分）双曲线 (a>1,b>0)的焦距为2c,直线过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线的距离与点(-1,0)到直线的距离之和s≥c.求双曲线的离心率e的取值范围.

正确答案

即4e-25e+25≤0. ……10分

解不等式,得≤e≤5.

由于e>1>0

,所以e的取值范围是. ……12分

略

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线的左右两个焦点分别为,点P在双曲线右支上.

（Ⅰ）若当点P的坐标为时,,求双曲线的方程；

（Ⅱ）若,求双曲线离心率的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程.

正确答案

（Ⅰ）所求双曲线的方程为:

（Ⅱ）双曲线的渐进线方程为

（Ⅰ）(法一)由题意知,, ,

, （1分）

解得 . 由双曲线定义得:

,

所求双曲线的方程为:

(法二) 因,由斜率之积为,可得解.

（Ⅱ）设,

(法一)设P的坐标为, 由焦半径公式得,,，

的最大值为2,无最小值. 此时,

此时双曲线的渐进线方程为

(法二)设,.

(1)当时, ,

此时 .

(2)当,由余弦定理得:

,

,,综上,的最大值为2,但无最小值. (以下法一)

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题型：简答题

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简答题

若动点P到两个定点F1（-1，0）、F2（1，0）的距离之差的绝对值为定值a（0≤a≤2），试求动点P的轨迹．

正确答案

①当a=0时，||PF1|-|PF2||=0，从而|PF1|=|PF2|，所以点P的轨迹为直线：线段F1F2的垂直平分线．

②当a=2时，||PF1|-|PF2||=2=|F1F2|，所以点P的轨迹为两条射线．

③当0＜a＜2时，||PF1|-|PF2||=a＜|F1F2|，所以点P的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线．

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题型：简答题

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简答题

设点P到点（-1，0）、（1，0）距离之差为2m，到x、y轴的距离之比为2，求m的取值范围．

正确答案

设点P的坐标为（x，y），依题设得=2，即y=±2x，x≠0

因此，点P（x，y）、M（-1，0）、N（1，0）三点不共线，得||PM|-|PN||＜|MN|=2

∵||PM|-|PN||=2|m|＞0

∴0＜|m|＜1

因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上，故-=1．

将y=±2x代入-=1，并解得x2=≥0，

因为1-m2＞0，所以1-5m2＞0，

解得0＜|m|＜，

即m的取值范围为(-，0)∪(0，)．

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