- 圆锥曲线与方程
- 共14739题
如图,F1、F2分别是双曲线C:=1(a,b>0)的左、右焦点,B是虚轴的端点,直线F1B与C的两条渐近线分别交于P、Q两点,线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若MF2=F1F2,则C的离心率是________.
正确答案
设双曲线的焦点坐标为F1(-c,0),F2(c,0).
∵B(0,b),∴F1B所在的直线为-=1.①
双曲线渐近线为y=±x,由
得Q
.
由得P
,∴PQ的中点坐标为
.
由a2+b2=c2得,PQ的中点坐标可化为.
直线F1B的斜率为k=,∴PQ的垂直平分线为y-
=-
.
令y=0,得x=+c,∴M
,∴F2M=
.
由MF2=F1F2得=
=2c,即3a2=2c2,∴e2=
,∴e=
过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线,交双曲线于A,B两点,设双曲线的左顶点为M,若点M在以AB为直径的圆的内部,则此双曲线的离心率e的取值范围为 .
正确答案
(2,+∞)
【思路点拨】设出双曲线方程,表示出点F,A,B的坐标,由点M在圆内部列不等式求解.
解:设双曲线的方程为-
=1(a>0,b>0),右焦点F的坐标为(c,0),令A(c,
),B(c,-
),
所以以AB为直径的圆的方程为(x-c)2+y2=.
又点M(-a,0)在圆的内部,所以有(-a-c)2+0<,
即a+c<⇒a2+ac
⇒e2-e-2>0(e=),解得e>2或e<-1.
又e>1,∴e>2.
已知双曲线的左、右焦点分别为
、
,点
在双曲线的右支上,且
,则
= .
正确答案
试题分析:设,
,由双曲线定义可得,
在
中,
=
,∴
=
.
求直线(
为参数)被双曲线
所截得的弦长。 (12分)
正确答案
把直线参数方程代为标准参数方程,代入
即
,得
,设其两根为
,则
从而弦长为
略
如图,双曲线的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1,l2于A,B两点.又已知该双曲线的离心率.
(1)求证:,
,
依次成等差数列;
(2)若F(,0),求直线AB在双曲线上所截得的弦CD的长度.
正确答案
解:(1)由已知e2=,即
=
,故a2=
c2, ①
从而b2=c2-a2=c2, ②
故=
=
,设∠AOF=∠BOF=
,
=
.
故tan∠AOB=tan2=
=
,即
=
.
令=3m(m>0) ,则
=4m,
=5m,满足
+
=2
,
所以,,
,
依次成等差数列.
(2)由已知c2=5,代入①,②得a2=4, b2=1,
于是双曲线的方程为.
设直线AB的斜率为k,则k=tan∠BFx=tan∠AFO=cot=2.
于是直线AB的议程为 y=2(x-).…………………………………………9分
联立消y得15x2-
x+84=0.
故弦CD的长度 | CD |==
×
=
…13分
略
设双曲线的两条渐近线与直线
围成的三角形区域(包含边界)为D,点
为D内的一个动点,则目标函数
的最小值为
正确答案
略
过双曲线-
=1(a>0,b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M,N两点,O为双曲线的中心,
·
=0,则双曲线的离心率为 .
正确答案
如图,由OM⊥ON,MN⊥x轴知,
MF=OF,即=c,
∴c2-a2=ac,∴e2-e-1=0,∵e>1,∴e=.
已知双曲线C∶=1(a>0,b>0)的实轴长为2,离心率为2,则双曲线C的焦点坐标是________.
正确答案
(±2,0)
∵2a=2,∴a=1,又=2,∴c=2,∴双曲线C的焦点坐标是(±2,0).
已知△ABC的两个顶点A,B的坐标分别是(-5,0),(5,0),且AC,BC所在直
线的斜率之积等于m(m≠0),求顶点C的轨迹.
正确答案
当时,点C的轨迹是椭圆
,或者圆
,并除去两点
当时,点C的轨迹是双曲线,并除去两点
……
试题分析:该题考察斜率等基础知识,考察学生基本运算能力,设点,用斜率公式表示
,
,然后先根据已知列方程,其次化简,再根据
讨论轨迹类型(把不满足条件的点去掉,或把遗漏的点补上).
试题解析:设点C的坐标为,由已知,得
直线AC的斜率,
直线BC的斜率,
由题意得,所以
即 7分
当时,点C的轨迹是椭圆
,或者圆
,并除去两点
当时,点C的轨迹是双曲线,并除去两点
10分
(本小题满分12分)已知抛物线:
的准线经过双曲线
:
的左焦点,若抛物线
与双曲线
的一个交点是
.
(1)求抛物线的方程; (2)求双曲线
的方程.
正确答案
(1)(2)
试题分析:(1)由题意抛物线的方程为
,
把代入方程
,得
,
因此,抛物线的方程为
. ……6分
(2)抛物线的准线方程为
,所以,
,而双曲线
的另一个焦点为
,
于是因此
.
又因为,所以
,
于是,双曲线的方程为
. ……12分
点评:求圆锥曲线的标准方程通常用待定系数法,找清楚焦点的位置,开口等,代入条件求解即可.
已知双曲线C:的两个焦点为
,点P是双曲线C上的一点,
,且
.
(1)求双曲线的离心率;
(2)过点P作直线分别与双曲线的两渐近线相交于两点,若
,
,求双曲线C的方程.
正确答案
(1)(2)双曲线C的方程为
(1)设,则
,∵
,∴
,
∴.
(2)由(1)知,故
,从而双曲线的渐近线方程为
,
依题意,可设,
由,得
. ①
由,得
,解得
.
∵点在双曲线
上,∴
,
又,上式化简得
. ②
由①②,得,从而得
.故双曲线C的方程为
.
已知双曲线9y2-m2x2=1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为,则m=______.
正确答案
根据双曲线方程可知a=,b=
所以渐近线y=±x=±
x
取正x-y=0
顶点(0,)
则距离==
解得m2=16
∴m=4
故答案为4
设直线与双曲线
(
)两条渐近线分别交于点
,若点
满足
,则该双曲线的离心率是__________
正确答案
有双曲线的方程可知,它的渐近线方程为,与
,分别于
,联立方程组,解得
,
,由
得,设
的中点为
,则
,
与已知直线垂直,故
,解得
,即
,
.
已知双曲线="1"
的两个焦点为
、
,P是双曲线上的一点,
且满足 ,
(1)求的值;
(2)抛物线的焦点F与该双曲线的右顶点重合,斜率为1的直线经过点F与该抛物线交于A、B两点,求弦长|AB|.
正确答案
(1) (2)16
(1)根据题意,
又,,
,又|P F
|•|PF
|="|" F
F
|
=
, |P F
|<4, 得
在区间(0,4)上有解, 所以
因此,又
,所以
(2)双曲线方程为=1,右顶点坐标为(2,0),即
所以抛物线方程为 直线方程为
由(1)(2)两式联立,解得和
所以弦长|AB|==16
双曲线上横坐标为
的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离,则该双曲线两条渐近线所夹的锐角的取值范围是 。
正确答案
略
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